LINIE WPĹYWU-przyk3[1].pdf

(313 KB) Pobierz
Microsoft Word - LW-przyk3.doc
LINIE WPŁYWU – przykład 3 – Obliczenia komputerowe
1. SPORZĄDZENIE LINII WPŁYWU SIŁ I PRZEMIESZCZEŃ
W RAMIE HIPERSTATYCZNEJ
P = 1
1.1. DANE WYJŚCIOWE DO OBLICZEŃ
Dana jest rama jak na rysunku.
Wyznaczyć linie wpływu sił przekrojowych w
przekroju α, reakcji R i przemieszczeń w
miejscach i kierunkach β oraz γ.
β
EI
α
EI
sin ϕ =0.6
γ
ϕ
cos ϕ =0.8
L
L
L
L
L
1.2. SPOSÓB BEZPOŚREDNI
Sposób ten, w przypadku wyznaczania wielkości statycznych (sił przekrojowych lub
reakcji), nazywany jest sposobem statycznym.
Polega on na tym, że odczytuje się szukane wielkości dla różnych ustawień siły jednostkowej
tak by móc sporządzić wykresy zależności szukanych wielkości od położenia siły jednostkowej.
W rozwiązywanym zadaniu dokonano odczytów
szukanych wielkości dla 22 ustawień siły jednostkowej w
punktach zaznaczonych na rysunku obok (po 5 ustawień dla
każdego przedziału co 0.25 L) .
Należy pamiętać, że każdego
rozwiązania dokonujemy od obciążenia tylko
jedną siłą jednostkową ustawioną w
określonym miejscu.
Ustawienia 5 i 6 są różne tylko w
odniesieniu do siły tnącej i osiowej w przekroju α. W
obliczeniach komputerowych ustawienia 5 i 6 jako ustawienia nieskończenie bliskie przekroju α z
jego lewej i prawej strony mogą być zrealizowane poprzez jedno ustawienie w przekroju α i odczyt
odpowiednich sił przekrojowych nieskończenie blisko z lewej i prawej strony siły, przy czym gdy
odczytujemy siły przekrojowe w punkcie z prawej strony siły odpowiada to ustawieniu nr 5 to jest
ustawieniu siły z lewej strony przekroju a gdy odczytujemy siły przekrojowe w punkcie z lewej strony
siły odpowiada to ustawieniu nr 6 to jest ustawieniu siły z prawej strony przekroju.
Wyniki zestawiono w tabeli poniżej. Wykresy przedstawiono w punkcie 1.4.
R 1
P = 1
11
10
13
12
14
15
17
16
19
18
21
20
22
δ βj
9
8
6
5
7
EI
M α
V α N α
4
3
EI
2
α
1
x
δ γj
L
L
L
L
L
R 1
Położenie siły
M α j = M α (x) V α j = V α (x)
N α j = N α (x) R 1 j = R 1 (x) δ βj = δ β (x) δ γj = δ γ (x)
j
x
1
0
0
0
0
1
0
0
2
0.25
0.1279
-0.0977
0.0192
0.9103
0.0297
0.1353
3
0.5
0.2574
-0.1941
0.0397
0.8209
0.0579
0.225
4
0.75
0.3901
-0.288
0.063
0.7318
0.083
0.2753
5
1
0.5276
-0.3779
0.0906
0.6433
0.1035
0.2927
6
0.4221
-0.5094
7
1.25
0.4215
0.3372
-0.4764
0.5556
0.1178
0.2835
8
1.5
0.3235
0.2588
-0.4363
0.4688
0.1244
0.254
9
1.75
0.2351
0.1881
-0.3879
0.3832
0.1217
0.2108
10
2
0.158
0.1264
-0.3298
0.299
0.1083
0.16
11
2.25
0.0948
0.0758
-0.2601
0.2167
0.0829
0.108
12
2.5
0.0472
0.0378
-0.1799
0.1382
0.0509
0.0602
13
2.75
0.0155
0.0124
-0.0923
0.0653
0.0205
0.0223
14
3
0
0
0
0
0
0
15
3.25
-0.0061
-0.0049
0.0768
-0.0499
-0.0106
-0.0104
16
3.5
-0.0097
-0.0078
0.1228
-0.0799
-0.0169
-0.0167
17
3.75
-0.0113
-0.009
0.1427
-0.0928
-0.0196
-0.0194
18
4
-0.0111
-0.0089
0.1404
-0.0913
-0.0193
-0.0191
19
4.25
-0.0095
-0.0076
0.1206
-0.0785
-0.0166
-0.0164
20
4.5
-0.0069
-0.0056
0.0878
-0.0571
-0.0121
-0.0119
21
4.75
-0.0036
-0.0029
0.0461
-0.03
-0.0063
-0.0063
22
5
0
0
0
0
0
0
Mnożnik
L
L
L 3 /EI
L 2 /EI
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
1
167443691.032.png 167443691.033.png 167443691.034.png 167443691.035.png 167443691.001.png 167443691.002.png 167443691.003.png 167443691.004.png 167443691.005.png 167443691.006.png
LINIE WPŁYWU – przykład 3 – Obliczenia komputerowe
1.3. SPOSÓB WYKORZYSTUJĄCY TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI
1.3.1. PODSTAWY TEORETYCZNE
Sposób ten, w przypadku wyznaczania wielkości statycznych (sił przekrojowych lub reakcji),
nazywany jest sposobem kinematycznym.
Sposób ten wykorzystuje, wynikające z zasady prac wirtualnych, twierdzenie o wzajemności reakcji i
przemieszczeń
ji
δ = w przypadku wyznaczania linii wpływu
ij
δ
ji
przemieszczeń.
1.3.2. SPOSÓB KINEMATYCZNY SPORZĄDZANIA
LINII WPŁYWU WIELKOŚCI STATYCZNYCH
Twierdzenie o wzajemności reakcji i przemieszczeń
ij r −= stwierdza, że dowolna wielkość
ji
( ij r traktowana jako reakcja w miejscu i kierunku i wywołana siłą jednostkową przyłożoną
w miejscu i kierunku j jest równa ze znakiem przeciwnym przemieszczeniu
− w miejscu i
kierunku j wywołanemu jednostkowym przemieszczeniem wymuszonym w miejscu i kierunku i
( 1
(
ji
)
∆ i
=
. Uwzględniając, że
−
δ
ij
∆
i
=
1
=
δ
ij
∆
i
=
−
1
z twierdzenia tego wynika, że dowolna wielkość
( ij r traktowana jako reakcja w miejscu i kierunku i wywołana siłą jednostkową przyłożoną
w miejscu i kierunku j jest równa przemieszczeniu
( ji δ w miejscu i kierunku j wywołanemu
jednostkowym przemieszczeniem wymuszonym z przeciwnym zwrotem w miejscu i kierunku i
(
)
∆ i
=
.
Wynika stąd, że zamiast wyznaczać wielkość statyczną )
( ij r w miejscu i od ustawień siły
jednostkowej w miejscach j można wyznaczać przemieszczenia j δ w punktach j (rzędne linii
ugięcia „toru siły jednostkowej) od przemieszczenia
∆ i wymuszonego w miejscu i kierunku
szukanej wielkości statycznej ze zwrotem przeciwnym do przyjętego zwrotu tej wielkości )
=
−
( ij r .
Zatem aby wyznaczyć linię wpływu
reakcji R wymuszamy jednostkowe
przemieszczenie podpory
11
10
13
12
14
15
17
16
19
18
21
20
22
9
∆ R ze
zwrotem przeciwnym niż przyjęty zwrot
reakcji (rysunek obok) i odczytujemy rzędne
linii ugięcia (składowe pionowe
przemieszczeń) „toru siły jednostkowej”,
które są rzędnymi linii wpływy reakcji
1 =
1
8
6
5
7
EI
4
3
EI
2
1
x
L
L
L
L
L
≡ δ .
Wyniki zestawiono w tabeli w punkcie 1.3.4.
Aby wyznaczyć linię wpływu momentu
zginającego w przekroju α wymuszamy
wzajemny obrót w przekroju α
1
r
R
j
=
−
jR
1
=
v
jR
1
∆ R1 = 1
R 1
11
10
13
12
14
15
17
16
19
18
21
20
22
9
8
∆ ϕ ze
zwrotem przeciwnym niż przyjęte jako dodatnie
momenty zginające (rysunek obok - jako dodatni
przyjęto moment zginający, który rozciąga
włókna dolne) i odczytujemy rzędne linii ugięcia
(składowe pionowe przemieszczeń) toru siły
jednostkowej, które są rzędnymi linii wpływy momentu zginającego
=
1
6
5
7
EI
4
3
EI
2
∆ϕ = 1
1
α
L
L
L
L
L
=≡ .
Jeśli program komputerowy nie daje możliwości wymuszenia wzajemnego obrotu przekrojów
to wymuszenie to można zastąpić równoważnym obciążeniem statycznym. W tym celu należy wstawić
przegub w przekroju α, przyłożyć po obu jego stronach (w przekrojach 5 i 6) momenty jednostkowe
M
α
α
j
−
δ
j
α
=
v
α
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
ij r −= w przypadku wyznaczania linii wpływu wielkości statycznych
i twierdzenie o wzajemności przemieszczeń
statyczna )
statyczna )
−
R
1
r
j
2
167443691.007.png 167443691.008.png 167443691.009.png
LINIE WPŁYWU – przykład 3 – Obliczenia komputerowe
(rysunek obok) i odczytać kąty obrotu tych przekrojów.
Wynoszą one:
δ
=
−
4
5520
L /
2
EI
5
6
5
δ .
Wzajemny obrót przekrojów 5 i 6 wynosi, więc
i
6 =
3
5497
L /
2
EI
M = 1
α
δ
=
−
δ
+
δ
=
(
−
(
−
4
5520
)
+
3
5497
)
L /
2
EI
=
L
L
L
L
L
αα
α
5 α
6
=
8
1017
L /
2
EI
Momenty
M
α
=
−
1
/
δ
αα
=
−
EI
/
8
1017
/
L
2
=
−
0
123431
EI
/
L
2
stanowią obciążenie statyczne, które
∆ α . Jako obciążenie statyczne
równoważne wymuszeniu kinematycznemu
=
−
1
11
10
13
12
15
17
16
19
18
21
20
22
14
∆ α
=
−
9
8
7
EI
5
należy, więc przyłożyć momenty
2
M α = 1/ δ αα
4
α ze zwrotami przeciwnymi niż
zwroty momentów jednostkowych (rysunek obok) i
odczytać rzędne linii ugięcia (składowe pionowe
przemieszczeń) toru siły jednostkowej, które są
rzędnymi linii wpływy momentu zginającego. Wyniki zestawiono w tabeli w punkcie 1.3.4.
Dla kontroli należy sprawdzić, czy wzajemny obrót przekrojów przy przegubie wynosi
1
0
123431
EI
/
L
3
EI
2
1
L
L
L
L
L
α (minus przed jedynką został uwzględniony poprzez zmianę zwrotów momentów
przyłożonych jako obciążenie). W rozwiązywanym zadaniu otrzymano:
56186
=
∆
α
5
−
∆
α
6
=
∆ α
5 =
0
,
∆ α
6
=
−
0
43814
,
∆
α
=
∆
α
5
−
∆
α
6
=
0
56186
−
(
−
0
43814
)
=
1
.
Aby wyznaczyć linię wpływu siły tnącej w przekroju α
wymuszamy wzajemny przesuw poprzeczny w przekroju α
1
11
10
13
12
14
15
17
16
19
18
21
20
22
9
∆ h ze zwrotem przeciwnym niż dodatnie zwroty sił
tnących (rysunek obok) i odczytujemy rzędne linii
ugięcia (składowe pionowe przemieszczeń) toru siły
jednostkowej, które są rzędnymi linii wpływu siły
tnącej
=
8
5
7
EI
∆h = 1
α
4
3
EI
2
1
V
α
≡
r
α
j
=
−
δ
j
α
=
v
α
.
L
L
L
L
L
Jeśli program komputerowy nie daje możliwości wymuszenia
wzajemnego przesuwu poprzecznego przekrojów to wymuszenie to
można zastąpić równoważnym obciążeniem statycznym.
W tym celu należy wstawić połączenie umożliwiające
wzajemny przesuw poprzeczny, przyłożyć po obu
stronach (przekroje 5 i 6) jednostkowe siły poprzeczne
(rysunek obok) i odczytać przesunięcia poprzeczne
(prostopadłe do osi pręta) przekrojów 5 i 6. Wynoszą
one:
11
10
13
12
14
15
17
16
19
18
21
20
22
9
8
7
6
5
4
3
2
1
V = 1
α
L
L
L
L
L
δ .
Wzajemne przesunięcie poprzeczne przekrojów 5 i 6 wynosi, więc
δ
5 =
5
9809
L /
3
EI
i
=
−
6
6788
L /
3
EI
6
δ
=
δ
−
δ
=
(
9809
−
(
−
6
6788
))
L
3
/
EI
=
12
.
6597
L
3
/
EI
.
αα
α
5
α
6
Siły poprzeczne
V
=
−
1
/
δ
=
−
EI
/
12
.
6597
/
L
3
=
−
0
07899
EI
/
L
3
stanowią obciążenie statyczne,
α
αα
które spowoduje wzajemny przesuw
∆ h
=
−
1
. Jako obciążenie statyczne równoważne wymuszeniu
kinematycznemu
∆ α należy, więc przyłożyć siły poprzeczne
3
=
−
13
12
21
20
11
10
15
17
16
19
18
α ze zwrotami przeciwnymi niż zwroty sił
jednostkowych (rysunek obok) i odczytać rzędne linii ugięcia
(składowe pionowe przemieszczeń) toru siły jednostkowej,
które są rzędnymi linii wpływy siły tnącej w przekroju
α.
0
083599
EI
/
L
14
22
9
8
7
6
5
4
3
2
1
V α = 1/ δ αα
Wyniki zestawiono w tabeli w punkcie 1.3.4.
L
L
L
L
L
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
3
spowoduje wzajemny obrót
M =
∆
j
V =
167443691.010.png 167443691.011.png 167443691.012.png 167443691.013.png 167443691.014.png 167443691.015.png 167443691.016.png 167443691.017.png 167443691.018.png
LINIE WPŁYWU – przykład 3 – Obliczenia komputerowe
α (minus został uwzględniony poprzez zmianę zwrotów sił).
W rozwiązywanym zadaniu otrzymano:
4724
=
−
∆
α
5
+
∆
α
6
=
∆ α
5
=
−
0
,
∆ α
6 =
0
5276
,
11
10
13
12
15
17
16
19
18
21
20
14
22
α .
Aby wyznaczyć linię wpływu siły osiowej w
przekroju α wymuszamy skrócenie pręta
∆
=
−
∆
+
∆
=
−
(
−
0
4724
)
+
0
5276
=
1
9
α
5
α
6
8
6
5
7
EI
∆ L w
przekroju α (rysunek obok) i odczytujemy rzędne linii
ugięcia, które są rzędnymi linii wpływy.
Wyniki zestawiono w tabeli w punkcie 1.3.4.
Jeśli program komputerowy nie daje możliwości
wymuszania skrócenia pręta to można to zastąpić równoważnym obciążeniem statycznym. W tym celu
należy wstawić połączenie umożliwiające wzajemny przesuw
podłużny, przyłożyć po obu stronach (przekroje 5 i 6)
jednostkowe siły podłużne (rysunek obok) i odczytać
przesunięcia wzdłuż osi pręta przekrojów 5 i 6. Wynoszą
one:
=
−
1
4
3
EI
2
∆L = -1
1
α
L
L
L
L
L
10
11
13
12
14
15
17
16
19
18
21
20
22
9
8
7
5
6
4
3
3
2
δ .
Wzajemne przesunięcie wzdłuż osi pręta przekrojów 5 i
6 wynosi, więc
δ i
5 =
0
=
−
2
3473
L /
EI
N = 1
6
1
α
L
L
L
L
L
δ
=
δ
−
δ
=
(
0
−
(
−
2
.3473
))
EL =
3
/
2
.3473
L
3
/
EI
.
αα
α
5
α
6
Siły podłużne
N
=
−
1
/
δ
=
−
EI
/
2
3473
/
L
3
=
−
0
4260
EI
/
L
3
stanowią obciążenie statyczne, które
α
αα
spowoduje wzajemny przesuw
∆ L
=
−
1
. Jako obciążenie statyczne równoważne wymuszeniu
kinematycznemu
∆ α należy, więc przyłożyć
=
−
10
11
13
12
14
15
17
16
19
18
21
20
22
9
3
α ze zwrotami
przeciwnymi niż zwroty sił jednostkowych
(rysunek obok) i odczytać rzędne linii ugięcia
(składowe pionowe przemieszczeń) toru siły
jednostkowej, które są rzędnymi linii wpływy siły
osiowej w przekroju α.
Dla kontroli należy sprawdzić, czy wzajemny
przesuw podłużny przekrojów 5 i 6 wynosi
N =
0
426
EI
/
L
8
7
5
4
3
2
N α = 1/ δ αα
1
L
L
L
L
L
∆
α
=
−
∆
α
5
+
∆
α
6
=
1
(minus został uwzględniony poprzez
zmianę zwrotów sił). W rozwiązywanym zadaniu otrzymano:
0
5 =
,
∆ α ,
6 =
1
∆
α
=
−
∆
α
5
+
∆
α
6
=
−
0
+
1
=
1
.
i δ w
miejscu i kierunku i wywołana siłą jednostkową przyłożoną w miejscu i kierunku j jest równa
przemieszczeniu ( )
δ = stwierdza, że przemieszczenie ( )
ij
δ
ji
j δ w miejscu i kierunku j wywołanemu jednostkową siłą przyłożoną w miejscu i
kierunku i . Wynika stąd, że zamiast wyznaczać przemieszczenie w określonym miejscu i kierunku i
od ustawień siły jednostkowej w punktach j można wyznaczać przemieszczenia w punktach j od
siły jednostkowej przyłożonej w miejscu i kierunku szukanego przemieszczenia i (rysunki poniżej).
W rozwiązywanym zadaniu rzędne linii wpływu przemieszczenia j
δ otrzymamy odczytując rzędne
δ j to jest rzędne linii ugięcia (składowe pionowe przemieszczeń) w punktach 1-22 od obciążenia siłą
jednostkową przyłożoną w miejscu i kierunku szukanego przemieszczenia
β
P
=
1
. Analogicznie
rzędne linii wpływu przemieszczenia j
δ otrzymamy odczytując rzędne γ
δ j to jest rzędne linii ugięcia
w punktach 1-22 od obciążenia siłą jednostkową
P
=
1
(rysunki poniżej).
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
Dla kontroli należy sprawdzić, czy wzajemny przesuw poprzeczny przekrojów 5 i 6 wynosi
1
∆
siły podłużne
∆ α
1.3.3. WYZNACZENIE LINII WPŁYWU PRZEMIESZCZEŃ
Twierdzenie o wzajemności przemieszczeń
4
167443691.019.png 167443691.020.png 167443691.021.png 167443691.022.png 167443691.023.png 167443691.024.png 167443691.025.png 167443691.026.png 167443691.027.png
LINIE WPŁYWU – przykład 3 – Obliczenia komputerowe
11
10
14
15
17
16
19
18
21
20
22 P = 1
11
10
13
12
14
15
17
16
19
18
21
20
22
9
β
9
8
8
6
5
7
EI
6
5
7
EI
4
4
3
EI
3
EI
2
2
1
1
L
L
L
L
L
P = 1
γ
L
L
L
L
L
Wyniki zestawiono w tabeli w punkcie 1.3.4.
1.3.4. ZESTAWIENIE WYNIKÓW ROZWIĄZAŃ Z WYKORZYSTANIEM TWIERDZEŃ O
WZAJEMNOŚCI
W tabeli poniżej zestawiono wartości rzędnych linii wpływu uzyskane z wykorzystaniem twierdzeń o
wzajemności. Są one, oczywiście, identyczne jak wartości uzyskane sposobem bezpośrednim punkt
1.2).
Punkty odczytu
rzędnych
M α j = M α (x) V α j = V α (x) N α j = N α (x) R j = R(x) δ βj = δ β (x) δ γj = δ γ (x)
j
x
= v jα
= v jα
= v jα
= v j∆r
= v jβ
= v jγ
1
0
0
0
0
1
0
0
2
0.25
0.1279
-0.0977
0.0192
0.9103
0.0297
0.1353
3
0.5
0.2574
-0.1941
0.0397
0.8209
0.0579
0.225
4
0.75
0.3901
-0.288
0.063
0.7318
0.083
0.2753
5
1
0.5276
-0.3779
0.0906
0.6433
0.1035
0.2927
6
0.4221
-0.5094
7
1.25
0.4215
0.3372
-0.4764
0.5556
0.1178
0.2835
8
1.5
0.3235
0.2588
-0.4363
0.4688
0.1244
0.254
9
1.75
0.2351
0.1881
-0.3879
0.3832
0.1217
0.2108
10
2
0.158
0.1264
-0.3298
0.299
0.1083
0.16
11
2.25
0.0948
0.0758
-0.2601
0.2167
0.0829
0.108
12
2.5
0.0472
0.0378
-0.1799
0.1382
0.0509
0.0602
13
2.75
0.0155
0.0124
-0.0923
0.0653
0.0205
0.0223
14
3
0
0
0
0
0
0
15
3.25
-0.0061
-0.0049
0.0768
-0.0499
-0.0106
-0.0104
16
3.5
-0.0097
-0.0078
0.1228
-0.0799
-0.0169
-0.0167
17
3.75
-0.0113
-0.009
0.1427
-0.0928
-0.0196
-0.0194
18
4
-0.0111
-0.0089
0.1404
-0.0913
-0.0193
-0.0191
19
4.25
-0.0095
-0.0076
0.1206
-0.0785
-0.0166
-0.0164
20
4.5
-0.0069
-0.0056
0.0878
-0.0571
-0.0121
-0.0119
21
4.75
-0.0036
-0.0029
0.0461
-0.03
-0.0063
-0.0063
22
5
0
0
0
0
0
0
Mnożnik
L
L
L 3 /EI
L 2 /EI
δ α 5
-4.5520
5.9809
0.0000
δ α6
3.5497
-6.6788
-2.3473
δ αα
8.1017
12.6597
2.3473
1/δ αα
0.123431
0.078991
0.426021
- 1/δ αα
-0.123431
-0.078991
-0.426021
∆ α5
0.56186
-0.47244
0.00000
∆ α6
-0.43814
0.52756
1.00000
∆ α
1.00000
-1.00000
-1.00000
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
5
13
12
167443691.028.png 167443691.029.png 167443691.030.png 167443691.031.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin