Rownania(2).pdf

(191 KB) Pobierz
Równaniaró»niczkowezwyczajne
ZadaniadlastudentówkierunkuAutomatykaiRobotykaWEAIiEAGH(studianiestacjonarne)
MichałGóra
WydziałMatematykiStosowanejAGH
894979042.011.png
 
Zadaniazrówna«ró»niczkowychzwyczajnych
Studianiestacjonarne
I.Równaniaozmiennychrozdzielonych: y 0 =f 1 (y)f 2 (t)
Zadanie1. Rozwi¡»podanerównaniaró»niczkoweozmiennychrozdzielonych:
a)y 0 =2y (t+1 );
b)1=(1+t+y+ty)y 0 ;
c)y 0 = p 1y 2 ;
d)y 0 = 1t
y+1 ;
e)(1+e y )yy 0 =e t ;
f)y 0 sint=ylny;
h)y 0 +4y=y e t +4 ;
g)(ye y +1)y 0 =2t;
i)y 0 = siny
j)y 0 +y 2 sint=3(ty) 2 ;
sint ;
l) d dt =e yt .
k)y 0 =e y+t+1 ;
Zadanie2. Rozwi¡»podanezagadnieniapocz¡tkowe:
a) y 0 sint=ylny,y( 2 )=e;
b) t(y+1)y 0 =y,y(e)=1;
c) y 0 =y 2 1+t 2 ,y(0)=2;
d) e y (y 0 1)=1,y(0)=0;
e) t p 1y 2 dt+y
p
1t 2 dy=0,y(0)=1;
f) p y 2 +1dx=xydy,y(0)=e 2 ;
g) x 2 1 y 0 +2xy 2 =0,y(0)=1;
h) y 0 ctgx+y=2,y 3 =4.
II.Równaniaró»niczkowejednorodne: y 0 =f t
Zadanie1. Rozwi¡»podanerównaniaró»niczkowejednorodne:
a)yt 0 =t+y;
b)y 0 = t + y ;
d)ty 0 =3y2t2 p tyt 2 ;
c)y 2 dt+t 2 dy=tydy;
(ty) 2 t 4
y 0 =(ty) 2 y 4 ;
e)t 2 y 0 =tyy 2 ;
f)
h)y 0 = t 2 y 2
g)tyy 0 =y 2 t 2 ;
t 2 +y 2 ;
i)t 2 dy= y 2 ty+t 2 dt;
j)t d dt =y(lnylnt).
Zadanie2. Rozwi¡»podanezagadnieniapocz¡tkowe:
a) (ty)dt+tdy=0,y(1)=0;
b) ty 0 =y+te y t ,y(1)=0;
c) ty 0 =y p t 2 +y 2 ,y(1)=0;
d) x 0 = x
t+x ,x(1)=1;
e) x 0 = txx 2
t 2 ,x(1)=0;
f) (t 2 +tx+3x 2 )dt+(t 2 +2tx)dx=0,x(1)=1.
2
894979042.012.png 894979042.013.png 894979042.001.png 894979042.002.png 894979042.003.png 894979042.004.png 894979042.005.png
 
Zadaniazrówna«ró»niczkowychzwyczajnych
Studianiestacjonarne
III.Równanialiniowepierwszegorz¦du :y 0 =a(t)y+b(t)
Zadanie1. Wyznaczcałkipodanychrówna«ró»niczkowychliniowych:
a)y 0 +ytgx= 1
b)xy 0 2y=2x 4 ;
cosx ;
d)2x x 2 +y dx=dy;
c)(xy+e x )dxxdy=0;
e) x+y 2 dy=ydx;
f)(2x+y)dy=ydx+4lnydy;
g)ty 0 +t 2 +ty=y;
h)y 0 costysint=1;
i)y 0 + 2 t = cost
j)y 0 =t+2y+ty+2;
t 2 ;
k) t 2 +4 y 0 +3ty=1;
l)y 0 +ytgt= sint
cos 2 t .
Zadanie2. Rozwi¡»podanezagadnieniapocz¡tkowe:
a) y 0 =2y+e t t,y(0)=1=4;
b) ty 0 +2y=cost,y(=2)=0;
p
c) ty 0 +y=t
t,y(1)=2;
d) x 0 =2tx+3t 2 e t 2 ,x(0)=1;
e) ty 0 =y+te t 2 ,y(1)=2;
f) y 0 =2y+e t 2sintcost,x(0)=1.
IV.Równaniaró»niczkoweBernoulliego: y 0 =a(t)y r +b(t)y
Zadanie1. Wyznaczcałkipodanychrówna«ró»niczkowychBernoulliego:
a)y 0 +y=y 2 ;
b)y 0 t =2 y ;
c) 1+t 2 y 0 2ty=4 p y(1+t 2 )arctgt; d)dy= y 2 e t y dt;
e)t 3 y 0 2ty=y 3 ;
f)2ty 0 = t+16y 2 y;
g)y 0 + 8 t =2y 2 ;
h)z 0 =z(2x2)z 2 ;
i)y 0 =y 2 ;
j)y 0 =4yy 2 ;
k)t x 0 +x 2 =x;
l) d dt + t =tx 2 .
Zadanie2. Rozwi¡»podanezagadnieniapocz¡tkowe:
a) t x 0 +x 2 =x,x(1)=1;
b) y 0 +y=y 2 ,y(1)=1;
c) y 0 ycost=y 2 cost,y(0)=1;
d) ty 2 y 0 +y 3 =1,y(1)=2;
e) y 0 +4t 3 y 3 +2ty=0,y(0)=1;
f) (y 0 ) 2 ty 2 +y 2 =0,y(1)=0.
3
894979042.006.png 894979042.007.png 894979042.008.png 894979042.009.png
 
Zadaniazrówna«ró»niczkowychzwyczajnych
Studianiestacjonarne
V.Równaniaró»niczkoweliniowerz¦du n : a n y (n) +:::+a 1 y 0 +a 0 y=f(t)
Zadanie1. Wyznaczcałkipodanychrówna«ró»niczkowychliniowych:
a)y 00 5y 0 +4y=2e x ;
b)y V 2y 000 +y 0 =0;
c)y 00 4y 0 +4y=x 2 ;
d)y 00 +2y 0 +5y=e x ;
e)y 00 +2y 0 +y=8e x +x;
f)y 00 +y=cosx+2e 2x ;
g)y 0 2y=2e t ;
h)y 00 +4y 0 =0;
i)y 00 +y=0;
j)y 00 4y 0 +13y=0;
l)y 00 y 0 = e t
k)y 00 +y 0 2y=tgt;
1+e t .
Zadanie2. Rozwi¡»podanezagadnieniapocz¡tkowe:
a) y 00 4y 0 +3y=0,y(0)=7,y 0 (0)=16;
b) y 00 +2y 0 3y=0,y(0)=4; y 0 (0)=0;
c) 4y 00 y=0,y(0)=y 0 ,y 0 (0)=0;
d) 2y 00 =0,y(0)=1,y 0 (0)=1;
e) y 00 +100y=0,y(0)=1,y 0 (0)=10;
f) y 00 +3y 0 +2y=sine t ,y(0)=sin1,y 0 (0)=cos1.
VI.Układyrówna«ró»niczkowychliniowych: x 0 (t)=Ax(t)
Zadanie1. Rozwi¡»podaneukładyrówna«:
8
<
:
( _x=2x+y
_y=3x+4y ;
_x=x+zy
_y=x+yz
_z=2xy
a)
b)
;
8
<
:
8
<
:
_x=2x+2zy
_y=x+2z
_z=y2xz
_x=xzy
_y=x+y
_z=3x+z
c)
;
d)
;
8
<
8
<
_x=2xyz
_y=3x2y3z
_z=2zx+y
_x=3x2yz
_y=3x4y3z
_z=2x4y
e)
;
f)
;
:
:
0 1
2 2
!
3 3
2 2
!
g)x 0 =
h)x 0 =
x;
x;
0
1
0
1
0
1
_x
_y
!
1 2
0 3
! x
y
!
_x
_y
_z
100
020
001
x
y
z
@
A =
@
A
@
A .
i)
=
;
j)
4
894979042.010.png
 
Zadaniazrówna«ró»niczkowychzwyczajnych
Studianiestacjonarne
Zadanie2. Rozwi¡»podanezagadnieniapocz¡tkowe:
0 1
3 4
!
1
1
!
a) x 0 =
x,x(0)=
;
0 3
1 2
!
1
0
!
;
b) x 0 =
x,x(0)=
0
@
1
A =
0
@
1
A
0
@
1
A ,
0
@
1
A =
0
@
1
A ;
_x
_y
_z
100
020
001
x
y
z
x(1)
y(1)
z(1)
1
e
e 2
c)
( _x=x+y
_y=2xy ,
( x(0)=1
y(0)=0 .
d)
VII.Układyrówna«ró»niczkowychliniowych: x 0 (t)=Ax(t)+b(t)
Zadanie1. Rozwi¡»podaneukładyrówna«:
( _x=2yx
_y=4y3x+ e 3 t
( _x=4x2y+ 2
e t 1
_y=6x+3y 3
a)
; b)
;
e 2 t +1
e t 1
( _x=xy+t
_y=3xy+e t ; d)
( _x=y+t
_y=8xt
c)
;
( _x=2x+y+sin3t
_y=8x2y
5 3
2 10
!
e 2t
1
!
f)x 0 =
e)
;
x+
;
2 5
1 2
!
4t
1
!
01
10
!
sint
2cost
!
g)x 0 =
; h)x 0 =
x+
x+
;
0
@
1
A =
0
@
1
A
0
@
1
A +
0
@
1
A .
( _x=xy+te t
_y=te t
_x
_y
_z
1 11
1 00
1 11
x
y
z
t
2
t+1
i)
;
j)
Zadanie2. Rozwi¡»podanezagadnieniapocz¡tkowe:
2 1
1 2
!
e t
e t
!
,x(0)=
2:5
0:5
!
a) x 0 =
x+
;
01
10
!
sint
2cost
!
2
0
!
b) x 0 =
x+
,x(0)=
;
( _x=2x+y+sin3t
_y=8x2y ,
( x(1)=1
y(1)=1 :
c)
5
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin