ROZDZIAŁ-6.PDF

(343 KB) Pobierz
Microsoft Word - fizyka zr6ac.doc
R o z d z i a ł 6
RUCH DRGAJĄCY I FALOWY
6.1. Ruch drgający harmoniczny
Ruch w przyrodzie jest zjawiskiem powszechnym. Wszystkie obserwowane w
przyrodzie ruchy dzielimy na dwie klasy:
- oscylacje (tzw. drgania) – gdy poruszający się obiekt pozostaje w pobliżu ustalonego
miejsca – punktu równowagi. Przykłady takich drgań to: ciężarek na sprężynie, wahadło
matematyczne, ruch elektronów w atomach, ruch fotonów między zwierciadłami lasera;
- fale – gdy obserwowane zjawisko (poruszający się obiekt) przemieszcza się w przestrzeni:
np. fale morskie, ruch elektronów w lampie kineskopowej, ruch odkształcenia biegnącego
wzdłuż napiętej liny.
Ruchem drgającym, lub wprost drganiami nazywamy dowolne zjawisko fizyczne
(każdy ruch lub zmianę stanu) charakteryzujące się powtarzalnością w czasie wielkości
fizycznej A(t) opisującej ten proces.
Rys.6.1. Ruch drgający okresowy
117
74241469.011.png 74241469.012.png 74241469.013.png
Ze względu na opisujący „drgający” parametr A(t) drgania możemy podzielić na:
- mechaniczne: zmieniają się współrzędne opisujące położenie ciała;
- elektryczne: zmienia się np. napięcie U(t) lub ładunek Q(t) na kondensatorze obwodu
RLC;
- elektromagnetyczne: drgają pola elektryczne i magnetyczne. Zmieniają się wektory
() ()
t
i
B
t
opisujące te pola.
Wśród szerokiej klasy drgań możemy wyróżnić drgania harmoniczne.
Drgania harmoniczne to takie drgania, w których wielkość charakteryzująca dany układ
zmienia się z czasem sinusoidalnie lub cosinusoidalnie.
( ) ( )
A
t
=
A
o
cos
ω
t
+
ϕ
o
(6.1)
Rys.6.2. Wykres przedstawia drgania harmoniczne z fazą początkową ϕ o różną od zera,
amplitudą A o i okresem T.
Drgania harmoniczne charakteryzuje:
1. okresowość; tzn. istnieje taki odstęp czasu T, że dla dowolnego czasu t zachodzi:
( ) ( )
A
t
=
A
t
+
T
T – nazywamy okresem drgań;
2. stałość maksymalnego „wychylenia” A o zwanego amplitudą drgań;
3. Stałość okresu T.
Skoro T=const, to wielkość
ν określa liczbę drgań w ciągu jednostki czasu.
=
1
T
Wielkość ν nosi nazwę częstości drgań i spełnia związki
ν
=
1
=
ω
(6.2)
T
2
π
gdzie:
ω to częstość kątowa lub pulsacja drgań.
=
2π
T
118
G
E
G
74241469.014.png 74241469.001.png 74241469.002.png 74241469.003.png
Częstość ν mierzymy w hercach
1
Hz
= .
1
s
1
Argument funkcji cosinus (lub sinus)
ϕ
( )
t
=
ω
t
+
ϕ
o
(6.3)
w wyrażeniu (6.1) nazywamy fazą drgań, a wielkość ϕ o = const fazą początkową.
Jeżeli chcemy opisać matematycznie drgania to musimy podać:
- postać funkcji A(t) albo
- równanie matematyczna – zwane równaniem ruchu, z którego funkcja A(t) może być
obliczona.
6.2. Prędkość i przyspieszenie punktu drgającego
Pamiętamy, że
prędkość ruchu ciała υ wyrażamy
υ
=
lim 0
∆
S
=
ds
zaś
∆
t
→
∆
t
dt
przyspieszenie ruchu ciała a ma postać:
a
=
lim
∆
=
d
υ
=
d
2
s
∆
t
dt
2
∆
t
→
0
dt
zatem dla dowolnej wielkości A(t) prędkość punktu drgającego otrzymujemy, różniczkując
funkcję (6.1) względem czasu
υ
=
dA
=
−
A
ω
sin
( )
ω
t
+
ϕ
(6.4)
o
o
dt
Różniczkując ponownie tę zależność względem czasu, znajdujemy przyspieszenie
a
=
d
υ
=
−
A
o
ω
2
cos
( )
ω
t
+
ϕ
o
(6.5)
dt
Porównując wzory (6.5) i (6.1) widzimy, że przyspieszenie jest proporcjonalne do wychylenia
a
=
−
ω
2
A
()
t
(6.6)
Jak widać wzór (6.6) jest w zgodzie z wiadomościami wyniesionymi uprzednio (ze szkoły
średniej), gdzie definiując ruch harmoniczny mówiono, że jest to taki ruch, w którym siła F(t)
działająca na układ drgający jest wprost proporcjonalna do wychylenia i przeciwnie do tego
wychylenia skierowana
F
()
t
=
m
⋅
a
=
−
m
ω
2
A
()
t
Drgania harmoniczne opisane równaniem (6.1) można także wyrazić w postaci
119
74241469.004.png
A
( ) ( )
=
A
sin
ω
t
+
ϕ
1
przy czym
ϕ
=
ϕ
+
π
.
1
0
2
6.3. Drgania swobodne
Niech na sprężynie będzie zaczepiona masa m, tak jak na rys.6.3.
Rys.6.3. Mechaniczny oscylator
harmoniczny
Gdy wychylamy ciało o masie m z położenia równowagi x = 0 o x to zgodnie z definicją siły
sprężystej na układ działa siła F s :
F s
=
−
kx
(6.7)
Siła sprężystości F s jest proporcjonalna do wychylenia x i przeciwnie do niego skierowana.
Współczynnik proporcjonalności k nazywany jest zwykle współczynnikiem sprężystości lub
stałą siłową sprężyny. Współczynnik sprężystości ( )
k = mówi nam jaka siła jest
F
/
x
potrzebna do wydłużenia sprężyny o jednostkę długości i ma wymiar [N/m].
Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona:
Σ
ma
dla oscylatora harmonicznego możemy zapisać:
−
kx ⋅
=
m
d
2
x
2
dt
120
t
F =
74241469.005.png 74241469.006.png 74241469.007.png 74241469.008.png
czyli
d
2
x
k
=
−
x
(6.8)
dt
2
m
Oznaczając formalnie
k
=
ω
o
2
(6.9)
m
(6.8) przyjmie postać:
d
2
x
2
=
−
ω
x
(6.10)
o
2
dt
Równanie (6.10) nosi nazwę równania ruchu drgań swobodnych punktu materialnego. Jest to
równanie różniczkowe rzędu drugiego jednorodne.
Aby znaleźć funkcję x(t) opisującą drgania oscylatora swobodnego należy rozwiązać
równanie (6.10).
Na podstawie rozważań prowadzonych w podrozdziale 6.1. postulujemy, że funkcja typu
( ) ( )
x
t
=
A
o
cos
ω
t
+
ϕ
o
(6.11)
winna być rozwiązaniem równania ruchu (6.10).
Podstawiając (6.11) i wyrażenie (6.12)
d
2
x
2
( )
=
−
ω
A
cos
ω
t
+
ϕ
(6.12)
o
o
2
dt
obliczone z (6.11) do równania (6.10) otrzymujemy:
−
ω
2
A
o
cos
( )
ω
t
+
ϕ
o
=
−
ω
o
2
A
o
cos
( )
ω
t
+
ϕ
o
(6.13)
Widzimy, że równość (6.13) zachodzi jeżeli
ω
=
ω
o
gdzie
ω
o =
k
6.14)
m
jest częstotliwością kołową drgań własnych układu.
Jeżeli znamy stałą siłową k sprężyny i masę m ciała zawieszonego na tej sprężynie, to
możemy obliczyć ω o (okres T) drgań własnych układu. Drgania swobodne (własne) są zatem
drganiami harmonicznymi opisanymi funkcją
( ) ( )
x
t
=
A
o
cos
ω
o
t
+
ϕ
o
(6.15)
121
74241469.009.png 74241469.010.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin