Pappus_Guldin.pdf

(175 KB) Pobierz
4
4.3. Twierdzenia Pappusa-Guldina
Do wyznaczania środków ciężkości jednorodnych linii płaskich i jednorodnych
figur płaskich stosuje się dwa twierdzenia Pappusa-Guldina. Podamy je bez
dowodów, a ich zastosowanie zilustrujemy prostymi przykładami. Zaznajomienie
się z dowodami podanych niżej twierdzeń pozostawiamy Czytelnikowi.
Pierwsze twierdzenie Pappusa-Guldina
Pole powierzchni F, powstałej przez obrót jednorodnej i płaskiej linii o długości
L dookoła osi leżącej w płaszczyźnie tej linii i nie przecinającej jej, jest równe
długości linii pomnożonej przez długość okręgu opisanego przy obrocie przez jej
środek ciężkości:
F
= 2π , .)
h C L
gdzie jest odległością środka ciężkości linii od osi obrotu.
Drugie twierdzenie Pappusa-Guldina
Objętość bryły V , powstałej przy obrocie figury płaskiej o polu F dookoła osi
leżącej w płaszczyźnie tej figury i nie przecinającej jej, jest równe polu powierzchni
figury pomnożonemu przez długość okręgu opisanego przy obrocie przez jej środek
ciężkości:
Vh C F
= 2π , .)
przy czym jest tutaj odległością środka ciężkości figury od osi obrotu.
h C
h C
Przykład 4.2. Wyznaczyć położenie środka ciężkości jednorodnego łuku
ćwiartki koła przedstawionego na rys. 4.6.
y
r
C
y C
O
x C
x
Rys. 4.6. Zastosowanie pierwszego twierdzenia Pappusa-Guldina do
wyznaczenia środka ciężkości łuku kołowego
Rozwiązanie . Z uwagi na to, że przedstawiony łuk ma oś symetrii, jego środek
ciężkości będzie leżał na tej osi. Ponieważ oś symetrii jest dwusieczną kąta
prostego zawartego między osią x i y, współrzędne środka ciężkości C
będą równe: . Wystarczy zatem wyznaczyć jedną z nich. Wyznaczymy
współrzędną , korzystając z pierwszego twierdzenia Pappusa-Guldina. Przy
obrocie łuku wokół osi y otrzymamy powierzchnię w postaci połowy kuli o
powierzchni
x i CC
C =
x C
y
C
F
= 2
π .
r
Długość łuku
L
= π
2
r
.
Po podstawieniu tych wartości do wzoru (4.16) otrzymamy równanie:
2
2 π π
r
=
2
x
π
r
,
C
2
stąd
x
=
y
=
2
r
.
C
C
π
x
66237369.002.png 66237369.003.png
Przykład 4.3. Wyznaczyć położenie środka ciężkości figury płaskiej
przedstawionej na rys. 4.7.
y
r
r/2
O
x
Rys. 4.7. Zastosowanie drugiego twierdzenia Pappusa-Guldina do
wyznaczenia środka ciężkości figury płaskiej
Rozwiązanie . Do wyznaczenia współrzędnych środka ciężkości
przedstawionej na rysunku figury płaskiej zastosujemy drugie twierdzenie
Pappusa--Guldina. Współrzędną wyznaczymy przez obrócenie figury wokół
osi x, a współrzędną przez obrót wokół osi y. Przy obrocie figury wokół osi x
otrzymamy bryłę o objętości równej różnicy półkuli o promieniu r i kuli o promie-
niu 0,5r.
x i CC
y C
x C
2
3
4
32 2
⎛
⎜
r
⎞
3
π
r
3
Vr
= −
π π
3
⎟ =
.
Pole figury
π π
r
2
⎛
⎜
r
⎞
⎟ =
2
π
r
2
F
= −
.
422 8
Po podstawieniu obliczonych wartości V i F do wzoru (4.17) otrzymamy:
π
r
3
π
r
2
=
2
π
y
,
2
C
8
stąd
y
C = 2
π .
r
Przy obrocie figury wokół osi y otrzymamy bryłę o objętości
66237369.004.png
 
′ =Vx C
2
π . )
V 1 półkuli o promieniu r i połowy torusa
o objętości V 2 , powstałego z obrotu półkuli o promieniu 0,5r wokół osi y:
jest różnicą objętości V
VVV
′ = −
1
2 .
Do obliczenia objętości V 2 połowy torusa również zastosujemy drugie twierdzenie
Pappusa-Guldina. Do wzoru (4.17) zamiast h C wstawimy 0,5r.
⎛
⎜
r
⎞
⎟
π
⎛
⎜
r
⎞
2
π r
23
V
=
2
π
⎟ =
.
2
222
8
Zatem
2
ππ
r
3
2 3
r
( )
π π r 3
V
′ = − = −
16 3
.
3
8
24
Po podstawieniu tej wartości oraz wyliczonej uprzednio powierzchni F do wzoru
(a) otrzymamy równanie:
( )
π π
r
3
π
r
2
16 3
−
=
2
π
x
,
24
C
8
a stąd
x
C =−
( )
16 3
π
π .
6
Wielkość
r
66237369.001.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin