PochFun1.pdf

(89 KB) Pobierz
Rachunek rozniczkowy funkcji jednej zmiennej
RACHUNEK RÓśNICZKOWY
FUNKCJI
JEDNEJ ZMIENNEJ
Niech
x
0
Î
R
oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej
na otoczeniu
U
( 0 r
,
)
, gdzie 0
r
>
.
D
x
– przyrost zmiennej niezaleŜnej x , taki Ŝe
x
0
+
D
x
Î
U
(
x
0
,
r
)
D
y
, f
– przyrost wartości funkcji
D
f
=
f
(
x
0
+
D
x
)
-
f
(
x
0
)
Definicja 1 ( ilorazu róŜnicowego )
Ilorazem róŜnicowym funkcji f w punkcie
x odpowiadającym
0
przyrostowi x
D
zmiennej niezaleŜnej nazywamy
D
f
=
f
(
x
0
+
D
x
)
-
f
(
x
0
)
.
D
x
D
x
FUNKCJA JEDNEJ ZMIENNEJ 2 / 20
x
D
251793554.018.png
Definicja 2 ( pochodnej właściwej funkcji )
Pochodną (właściwą) funkcji f w punkcie 0
x nazywamy granicę
właściwą
f
'
(
x
)
=
lim
f
(
x
0
+
D
x
)
-
f
(
x
0
)
.
0
D
x
®
0
D
x
Inne oznaczenia:
df
(
x
)
,
Df
(
x
)
,
f
(
x
)
.
dx
0
0
x
0
FUNKCJA JEDNEJ ZMIENNEJ 3 / 20
251793554.019.png
POCHODNE FUNKCJI ELEMENTARNYCH
(
c
)'
=
0
, R
c
Î
(
e
x
)'
=
e
x
(
x
n
)'
=
nx
n
-
1
,
n
Î
N
(log
x
)'
=
1
x >0,
a
x
ln
x
a >0, a
¹ 1
1
(
a
x
)'
=
a
x
ln
a
,
a
>
0
,
a
¹
1
(ln
x
)'
=
,
x
>
0
x
(sin
x cos
)'
=
x
(
tg
x
)'
=
1
=
1
+
tg
2
x
,
cos
x
¹
0
cos
2
x
(cos
x
)'
=
-
sin
x
(
ctg
x
)'
=
-
1
=
-
1
-
ctg
2
x
,
sin
x
¹
0
sin
2
x
(arcsin
x
)'
=
1
,
x
<
1
(
arctg
x
)'
=
1
1
-
x
2
1
+
x
2
(arccos
x
)'
=
-
1
,
x
<
1
(
arcctg
x
)'
=
-
1
1
-
x
2
1
+
x
2
FUNKCJA JEDNEJ ZMIENNEJ 4 / 20
251793554.020.png 251793554.021.png 251793554.001.png 251793554.002.png 251793554.003.png 251793554.004.png 251793554.005.png 251793554.006.png 251793554.007.png 251793554.008.png 251793554.009.png 251793554.010.png 251793554.011.png 251793554.012.png 251793554.013.png 251793554.014.png 251793554.015.png 251793554.016.png
Fakt 1 (r ównania stycznej i normalnej do wykresu funkcji )
f
' 0
x
)
=
tg
a
, gdzie
a jest kątem nachylenia stycznej do osi O x .
Równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie
(
x
0
,
f
(
x
0
))
ma
postać
y
=
f
(
x
0
)
+
f
'
(
x
0
)(
x
-
x
0
)
.
Równanie normalnej do wykresu funkcji f w punkcie
(
x
0
,
f
(
x
0
))
ma
postać
y
=
f
(
x
)
-
1
(
x
-
x
)
.
0
f
'
(
x
)
0
0
FUNKCJA JEDNEJ ZMIENNEJ 5 / 20
(
251793554.017.png
Zgłoś jeśli naruszono regulamin