40zad_pr.pdf

(69 KB) Pobierz
mat-60-zr
Matematyka
Poziom rozszerzony
1. W pude∏ku jest 5 kul bia∏ych i n kul czarnych. Z tego pude∏ka b´dziemy jednoczeÊnie losowaç
2 kule. Oblicz, ile powinno byç kul czarnych, by prawdopodobieƒstwo wylosowania kul ró˝nokoloro-
wych by∏o nie mniejsze ni˝ 9
5 pkt
5 .
2. Wyznacz wszystkie wartoÊci parametru m , dla których uk∏ad równaƒ
*
xm y
+- =
^ h
21
ma rozwià-
xy
-=-
2
5 pkt
zanie a ^
spe∏niajàce warunek
ab 0
$
>
.
3. Liczba 3 jest pierwiastkiem wielomianu Wx x x mx
^h
3 2
=- + -
4
3
. Wyka˝, ˝e wielomian W nie ma
4 pkt
innych pierwiastków.
4. Funkcja f dana jest wzorem fx
^h
=
2331
x x
2
- + -
. Uzasadnij, ˝e funkcja f ma dwa dodat-
4 pkt
nie miejsca zerowe.
5. Sprawdê, czy równoÊç
sin
x
+
1
+
cos
x
=
2
jest to˝samoÊcià.
4 pkt
1
+
cos
x
sin
x
sin
x
6. W równoleg∏oboku przekàtne majà d∏ugoÊci równe 2 cm i 6 cm , a kàt mi´dzy nimi ma miar´ rów-
nà 60 c . Oblicz d∏ugoÊci boków tego równoleg∏oboku.
4 pkt
i i . Wyka˝, ˝e styczne do tego okr´gu
poprowadzone przez poczàtek uk∏adu wspó∏rz´dnych sà prostopad∏e.
_
2 2
-+-=
2
_
y
4 10
5 pkt
8. W graniastos∏upie prawid∏owym trójkàtnym poprowadzono p∏aszczyzn´ r wyznaczonà przez wy-
sokoÊç dolnej podstawy i ten z wierzcho∏ków górnej podstawy, ˝e p∏aszczyzna r z p∏aszczyznà pod-
stawy graniastos∏upa tworzy kàt o mierze 90 c
5 pkt
a . Pole przekroju graniastos∏upa wyznaczonego
przez p∏aszczyzn´ r jest równe S . Oblicz obj´toÊç graniastos∏upa.
!
9. Przekrój sto˝ka wyznaczony przez wierzcho∏ek i ci´ciw´ podstawy jest trójkàtem równobocznym,
o polu równym 36 3 . P∏aszczyzna r , do której nale˝y ten przekrój, tworzy z p∏aszczyznà podstawy
sto˝ka kàt o mierze równej 60 c . Oblicz obj´toÊç sto˝ka.
5 pkt
10. Rozwià˝ równanie sin
2
x
+= .
cos
x 1
3 pkt
11. Funkcje f i g sà równe wtedy i tylko wtedy, gdy majà równe dziedziny i dla tych samych
argumentów przyjmujà równe wartoÊci. Zbadaj, czy funkcje fx
3 pkt
_ _ _
i
=+ -
x
i i
x
3
oraz
=+ -
1
$
x
3
sà sobie równe. Uzasadnij swojà odpowiedê.
. Wyznacz
wszystkie wartoÊci parametru m , dla których wielomian W jest podzielny przez dwumian x - .
_i
3
=+ -
3 pkt
Matematyka. Poziom rozszerzony
7. Dany jest okràg o równaniu x
1
gx x
_i
12. Wielomian W zmiennej x z parametrem m jest dany wzorem Wx x mx 2
96483298.009.png 96483298.010.png 96483298.011.png 96483298.012.png 96483298.001.png
ZADANIA TESTOWE. PRÓBNA MATURA Z OPERONEM I „GAZETÑ WYBORCZÑ”
■
13. Ciàg geometryczny a _i nie jest ciàgiem monotonicznym. Drugi wyraz tego ciàgu jest równy 8- ,
a wyraz czwarty jest od niego o 60 wi´kszy. Oblicz, ile poczàtkowych wyrazów ciàgu a _i nale˝y do-
daç, aby suma tych wyrazów by∏a równa 106 8
6 pkt
7 .
14. W równoleg∏oboku ABCD d∏ugoÊç boku AB wynosi 8 , d∏ugoÊç boku BC jest równa 5 , a miara
kàta ostrego ma wartoÊç 60 c . Oblicz d∏ugoÊci przekàtnych danego równoleg∏oboku.
3 pkt
15. Rzucono 3 monetami. Oblicz prawdopodobieƒstwo, ˝e wyrzucono dok∏adnie 2 or∏y lub co naj-
mniej 1 reszk´.
7 pkt
16. Rozwià˝ równanie: x
36 55
+--= .
x
7 pkt
17. Na trójkàcie ostrokàtnym ABC o bokach d∏ugoÊci AB 10 3
=
i BC 55
=
opisano okràg
4 pkt
o Êrodku w punkcie O i promieniu 10 . Oblicz cosinus kàta ABC .
2 2
+- = i punkt P nale˝à do prostej l ,
która przecina okràg w punktach A i B . Oblicz pole trójkàta ABO , gdzie O oznacza poczàtek uk∏adu
wspó∏rz´dnych.
P 14
= _ . Ârodek okr´gu o równaniu xy 80
;
4 pkt
19. Wyka˝, ˝e zbiór A jest dwuelementowy, jeÊli
Axx
= &
:
2
H
9
/
x
G
3
0 .
3 pkt
xx
9
--
6
20. Sprawdê, czy dziedzina funkcji fx
_i
=
zawiera si´ w dziedzinie funkcji
11 pkt
-
x
2
xx
9
--
6
gx
=
.
2
-
x
i i wpisano kwadrat ABCD . Jedna z przekàtnych te-
go kwadratu zawiera si´ w prostej l o równaniu x 340
_
2 2
-+-=
2
_
y
2 10
6 pkt
-+= . Wyznacz wspó∏rz´dne wierzcho∏ków
kwadratu ABCD i oblicz pole tego kwadratu.
22. Trójkàt o bokach d∏ugoÊci równej 9 i 12 oraz kàcie mi´dzy tymi bokami o mierze 120 c obraca si´
dooko∏a najd∏u˝szego boku. Oblicz pole przekroju osiowego i obj´toÊç powsta∏ej bry∏y.
5 pkt
23. Liczby 4 , x , 9 tworzà ciàg arytmetyczny, a liczby 4 , y , 9 tworzà rosnàcy ciàg geometryczny. Jakim
procentem liczby x jest liczba y ? Wynik podaj z dok∏adnoÊcià do ,%
001 .
5 pkt
24. Funkcja ym x m x
2
=+ - + -
_
1
i
_
2 4
i
7
jest rosnàca w zbiorze
- _ i i malejàca w zbiorze
3
;4
5 pkt
_ i . Wyznacz parametr m .
3
25. Dla jakich wartoÊci parametru m reszta z dzielenia wielomianu Wx x mx mx
_i
3 2 2
=- + +
3
7
3 pkt
przez wielomian x 1
_ i wynosi 6 ?
26. Dla jakich wartoÊci parametru m prosta o równaniu yxm
=- + i hiperbola o równaniu y
=
12
x
5 pkt
majà dok∏adnie jeden punkt wspólny?
- _i i 50 wstaw 2 takie liczby, aby 3 pierwsze tworzy∏y ciàg arytmetyczny, a 3 ostat-
nie – geometryczny.
5 pkt
Matematyka. Poziom rozszerzony
18. Dany jest punkt
2
2
_i
21. W okràg o równaniu x
4
+
x
27. Mi´dzy liczby 6
96483298.002.png 96483298.003.png 96483298.004.png 96483298.005.png 96483298.006.png
ZADANIA TESTOWE. PRÓBNA MATURA Z OPERONEM I „GAZETÑ WYBORCZÑ”
■
28. Rozwiàzaniem nierównoÊci x xc
--+ jest zbiór 5- . Wyznacz parametry b , c .
4
2
H
0
3 pkt
29. Reszta z dzielenia wielomianu W _i przez dwumian x 2
_ i wynosi 4
- _ , a reszta z dzielenia te-
5 pkt
go wielomianu przez x 3
_ i wynosi 5 . Wyznacz reszt´ z dzielenia tego wielomianu przez xx 6
2
-- .
30. Naszkicuj wykres funkcji
fx
_i
=+
sin
x
sin
x
. Sprawdê, czy najmniejsza i najwi´ksza wartoÊç
8 pkt
funkcji
=+
sin
x
sin
x
w zbiorze liczb rzeczywistych jest równa odpowiednio najwi´kszej i naj-
mniejszej wartoÊci funkcji gx
_i
=-
1
x x
+
2
w przedziale 06 .
2
31. Dane sà dwa wierzcho∏ki trójkàta
A
=- _ i ,
35
;
B 41
= _ i . Wyznacz wspó∏rz´dne wierzcho∏ka C ,
;
7 pkt
wiedzàc, ˝e le˝y on na prostej y 32
=+ i pole trójkàta jest równe P 1= .
32. Dane sà zbiory
Axx n
==
&
:
2
n
/
!
N
+
/
n
G
5
0 ,
Bxxnn n N
==
:
4
// !
<
- . Wymieƒ
3 pkt
elementy tych zbiorów. Wyznacz AB .
33. Kàt dwuÊcienny mi´dzy Êcianami ostros∏upa prawid∏owego czworokàtnego ma miar´ 120 c ,
a przekàtna podstawy ma d∏ugoÊç 20 . Oblicz obj´toÊç ostros∏upa.
8 pkt
34. Sprawdê to˝samoÊç
1
sin
cos
2
2
x
= .
tg
x
6 pkt
Z
x
+
1
y
=
4 pkt
x
-
3
35. Rozwià˝ algebraicznie i graficznie uk∏ad
[
.
1
1
]
y
=- -
x
2
2
\
36. Trzy kolejne boki czworokàta opisanego na okr´gu tworzà ciàg geometryczny o pierwszym wyra-
zie 10 i sumie 70 . Wyznacz d∏ugoÊci boków tego czworokàta.
6 pkt
37. Wyka˝, ˝e jeÊli d∏ugoÊci kolejnych boków czworokàta opisanego na okr´gu tworzà ciàg arytme-
tyczny, to ten czworokàt jest rombem.
3 pkt
38. Rzucono 2 kostkami do gry. Oblicz prawdopodobieƒstwo, ˝e na obu kostkach wyrzucono t´ samà
liczb´ oczek lub ˝e suma wyrzuconych oczek jest równa 8 .
7 pkt
- a sà trzema poczàtkowymi wyraza-
mi ciàgu geometrycznego? Dla najmniejszej dodatniej wartoÊci a wyznacz sum´ poczàtkowych 6 wy-
razów i wynik przedstaw w najprostszej postaci.
12 2
cos
9 pkt
40. Rozwià˝ równanie cos sin
x
+
x 20
= .
3 pkt
Matematyka. Poziom rozszerzony
fx
_i
2
#
+
x
]
39. Dla jakich wartoÊci parametru a liczby 1 , co2 a ,
96483298.007.png 96483298.008.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin