Funkcja homograficzna

Funkcją homograficzną nazywamy funkcję wymierną określoną wzorem:

gdzie liczby a, b, c i d są ustalone, przy czym liczba c¹0.  Liczba c musi być różna od zera, w przeciwnym wypadku mianownik byłby liczbą stałą i dany iloraz byłby tylko funkcją liniową.

Jest jeszcze jedna własność, którą muszą spełniać współczynniki funkcji, a mianowicie tzw. wyznacznik D=ad-bc¹0. Chodzi o to, aby ani licznik, ani mianownik nie miał w sobie takiej samej funkcji liniowej, co po skróceniu dałoby funkcję stałą.

Dziedziną funkcji homograficznej jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych oprócz liczby będącej miejscem zerowym mianownika (D=R\{-d/c}). Natomiast przeciwdziedziną jest zbiór Y=R\{a/c}. Miejscem zerowym tej funkcji jest x0= . Jeżeli liczba b jest równa zeru, to funkcja nie ma miejsca zerowego.  

Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola.

Wykres funkcji homograficznej

Hiperbola ma dwie asymptoty (poziomą i pionową). Asymptota pozioma jest funkcją stałą wyrażoną wzorem y =, natomiast asymptota pionowa jest zależna od dziedziny (argument nie należący do dziedziny) i ma postać x= .

Funkcja homograficzna może być na całej swojej długości (poza punktem x = - asymptotą pionową) malejąca lub rosnąca. Przy określaniu tego faktu korzysta się ze znaku wyznacznika D:

1.      Jeśli D>0 - funkcja jest rosnąca.

2.      Jeśli D<0 - funkcja jest malejąca.

                                          Funkcja malejąca                            Funkcja rosnąca

Wzór  funkcji homograficznej nazywamy postacią ogólną tej funkcji.  Przekształcając ten wzór możemy sprowadzić do postaci zwanej postacią kanoniczną

.

Wzór ten jest wykorzystywany do sporządzania wykresu funkcji homograficznej. Gdy jednak funkcja dana jest w postaci ogólnej, to aby narysować jej wykres przekształcamy go właśnie do postaci kanonicznej. Można to zrobić na dwa sposoby.

Przykład 1

              Zapisz wzór funkcji w postaci kanonicznej:

                            a)  

                            b)  

                            c)  

                            d)  

Rozwiązanie

              a)  

              b)  

c)  

              d)  

By przedstawić funkcję w postaci kanonicznej można również wykonać dzielenie licznika przez mianownik.

                                          (5x + 4)   :    (x-1)   =  5

                                          -5x + 5

                                                   9             

                            5x + 4 = 5(x – 1) + 9

              Zatem

                            .

Przykład 2

Naszkicuj wykres funkcji 

 Rozwiązanie:

Dana jest funkcja : .

Trzeba tak przekształcić jej wzór, aby wyznaczyć wzór funkcji, której wykres po przesunięciu jest wykresem danej funkcji:

Wykresem danej funkcji jest więc hiperbola, powstała w wyniku przesunięcia wykresu funkcji  o wektor:    .

Wykres funkcji przedstawia rysunek:

              Ćwiczenie 1

              Rozwiąż  zadania 1- 4  str. 47, 6 -  str.48 z podręcznika.