RAMOWY ELEMENT SKOŃCZONY
W ramach pod wpływem obciążeń powstają trzy siły wewnętrzne:
· Moment zginający M
· Siła tnąca T
· Siła osiowa N
W stosunku więc do elementu belkowego należy uwzględnić również wpływ siły osiowej.
Wektor przemieszczeń węzłowych elementu ramowego ma postać:
Wektor odpowiadającym przemieszczeniom sił węzłowych ma natomiast postać:
Równania równowagi elementu ramowego
Równania te można przedstawić rozdzielając stan zgięciowy i stan napięć podłużnych:
Aby określić macierz sztywności związaną ze stanem napięć podłużnych rozpatrzmy element przy uwzględnieniu jedynie tego stanu.
Funkcje przemieszczeń poziomych w obszarze elementu aproksymujemy wielomianem:
więc
Zatem:
Więc funkcje kształtu mają postać:
Macierz sztywności:
Siła podłużna , więc macierz
Wykonując odpowiednie całkowania otrzymamy macierz sztywności od stanu napięć:
Uwzględniając stan zgięciowy i napięciowy otrzymamy macierz sztywności elementu ramowego:
Wyprowadzone równania równowagi elementu odnoszą się do układu lokalnego.
Ponieważ pręty ramy mają różną orientację w płaszczyźnie ramy, konieczna staje się transformacja współrzędnych lokalnych do globalnych , opisanych w jednym, globalnym układzie współrzędnych.
TRANSFORMACJA WSPÓŁRZĘDNYCH
Zrzutujmy siły na osie układu lokalnego
Siła osiowa:- suma rzutów na oś x
Siła poprzeczna:- suma rzutów na oś y
Na osi x:
Na osi y:
Zapisując macierzowo mamy:
Ponadto mamy więc:
Analogicznie dla węzła ‘2’. Zatem
Macierz występującą w powyższej zależności nazywamy macierzą transformacji.
Mamy:
Powtarzając rzutowanie dla przemieszczeń otrzymamy analogicznie:
W równaniach równowagi należy uwzględnić wyprowadzone związki. Otrzymuje się:
Stąd:
Oznaczając : otrzymamy:
Macierz jest macierzą ortogonalną, która posiada właściwości:
Gdzie i są odpowiednio macierzą sztywności i wektorem sił węzłowych elementu w układzie globalnym.
PRZYKŁAD
1.Dyskretyzacja układu
Wektor przemieszczeń węzłowych układu
2.Macierze sztywności elementów (układ lokalny)
Macierz sztywności elementu ramowego
Element 1 l=2m
Element 2 l=1m
Element 3 l=1m
Element 4 l=1,5m
MACIERZE TRANSFORMACJI
Element 1:
Element 2:
Element 3:
Element 4:
GLOBALNA MACIERZ SZTYWNOŚCI
Warunki brzegowe:
Macierz globalna po uwzględnieniu warunków brzegowych:
...
alvin888