1. Rozwiązanie belki równaniem 3 momentów – rozwiązanie dokładne
Schemat belki
Dane:
P1 = 10 kN
P2=8 kN
q = 3 kN/m
l =1 m
1.1 Stopień statycznej niewyznaczalności.
n = r – 3 = 5 – 3 = 2
belka jest 2-krotnie statycznie niewyznaczalna
1.2 Przyjęcie układu podstawowego.
l1 = 1,8 m
l2 = 1,8 m
l3 = 1,8 m
1.3 Długości sprowadzone
l’ = l* JcJ EJ=const.
l1’ = l1=1,8 m
l2’ = l2=1,8 m
l3’ = l3=1,8 m
1.4 Równanie 3 momentów
Dla k-tej podpory
Xk-1*lk'+2Xklk'+lk+1'+Xk+1*lk+1'=Nkp
Dla k=1
X0*1,8+2X11,8+1,8+X2*1,8=N1p
Dla k=2
X1*1,8+2X21,8+1,8+X3*1,8=N2p
N1p=-P2*l1*l1'*ωξ-14*q*l22*l2'=-14,094
N2p=-14*q*l22*l2'-14*q*l32*l3'=-8,748
Rozwiązanie układu równań:
-9*1,8+2X1*3,6+X2*1,8=-14,094X1*1,8+2X2*3,6=-8,748
X1=0,292-0,25X21,8X1+7,2X2=-8,748
1,8*0,292-0,25X2+7,2X2=-8,748
0,5256-0,45X2+7,2X2=-8,748
6,45X2=-8,222
X2=-1,27 kNmàX1=0,609 kNm
1.5 Wyznaczenie momentów zginających.
M = MP + M1X1 + M2X2
2. Rozwiązanie metodą różnic skończonych.
2.1 Sformułowanie zagadnienia brzegowego.
EJ d4f(x)dx4=q(x)
Warunki brzegowe:
w(x=0,9l) = w(x=2,7l) = w(x=4,5l) = w(x=6,3l) =0
M(x=0) = M(x=6,3l) = 0
T(x=0)=0
2.2 Dyskretyzacja
2.3 Postać dyskretna równania EJ d4f(x)dx4=q(x)
EkJkd4wdx4|k=qk
2.4 Równania różnicowe
W1: w1’’-4w1’+6w1-4w2+w3= q1 * Δx4EJ
W2: w1’-4w1+6w2-4w3+w4= = q2* Δx4EJ=0
W3: w1-4w2+6w3-4w4+w5= = q3* Δx4EJ
W4: w2-4w3+6w4-4w5+w6= = q4* Δx4EJ=0
W5: w3-4w4+6w5-4w6+w7= q5* Δx4EJ=1,968EJ
W6: w4-4w5+6w6-4w7+w8= q6* Δx4EJ=0
W7: w5-4w6+6w7-4w8+w8’= q7* Δx4EJ=1,968EJ
W8: w6-4w7+6w8-4w8’+w8’’= q8* Δx4EJ=0
2.5 Wyeliminowanie wielkości fikcyjnych przy wykorzystaniu warunków brzegowych
M1 = 0 à -EJ d2fdx2 |1 = 0 à -EJ w2-2w1+w1'Δx2=0, w2 = 0 à w1’=2w1
T1 = -10 à -EJ d3fdx3 |1 = -10 à -EJ -w1''+2w1'-2w2+w3Δx3=-10, w2=0, w1’=2w1 à w1’’=4w1+w3+
M8 = 0 à -EJ d2fdx2 |8 = 0 à -EJ w7-2w8+w8'Δx2=0, w8=0 à w8’=-w7
Należy zastąpić obciążenie rzeczywiste skupione, obciążeniem równomiernym statycznym zgodnie z rysunkiem.
...
alvin888