Równanie różniczkowe zupełne
Niech , gdzie D jest obszarem jednospójnym, ,
oraz niech
.
Definicja
Równanie różniczkowe
lub równoważne
nazywamy równaniem różniczkowym zupełnym, gdy istnieje funkcja taka, że jest różniczką zupełną funkcji U.
Przypomnienie.
,
i wtedy
Twierdzenie
Jeśli , gdzie D jest prostokątem ,
to wzór
, gdzie
określa całkę ogólną równania różniczkowego zupełnego. Ponadto przez każdy punkt przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa tego równania.
Przykład
Znaleźć całkę ogólną równania
Sprawdzamy czy jest to równanie zupełne:
czyli
więc równanie jest zupełne dla czyli dla .
Załóżmy, że Wtedy
więc
Zatem
, gdzie - funkcja różniczkowalna.
Ponieważ musi zachodzić
Stąd
oraz
Ostatecznie równanie
określa całkę ogólną równania.
Załóżmy, że równanie
nie jest zupełne przy założeniu, że .
Niech .
Mówimy, że funkcja jest czynnikiem całkującym powyższego równania, gdy
jest równaniem różniczkowym zupełnym w obszarze D.
Uwaga
jest czynnikiem całkującym
(*)
- równanie różniczkowe
cząstkowe.
Przypadki, w których możemy wyznaczyć w łatwy sposób:
Jeśli , to , ,
i wstawiając do równania (*) otrzymujemy
Jeśli prawa strona równości jest funkcją zależną od x, to całkujemy
i dla otrzymujemy
Jeśli , to ,
a stąd
i jeśli prawa strona równości zależy od y, to całkujemy
Jeśli , gdzie , to
i jeśli prawa strona równości zależy od iloczynu , to całkujemy
Reasumując
Jeśli , to .
Rozwiązać równanie
Sprawdzamy czy jest to równanie różniczkowe zupełne.
więc nie jest to równanie różniczkowe zupełne. Poszukujemy czynnika całkującego.
dla .
i w konsekwencji
jest czynnikiem całkującym.
Mnożymy równanie przez czynnik całkujący
Korzystając z twierdzenia wystarczy wyznaczyć funkcję U, gdzie U jest dana wzorem
Ponieważ czynnik całkujący wymusza aby , więc możemy wskazać punkt dla którego , np.: .
Zatem równanie
określa całkę ogólną zadanego równania.
20
Minnie_