skrypt równania różniczkowe.pdf

Równaniaró»niczkowe

KrzysztofFr¡czek

Version1.0b,2003/07/07

SPISTRECI 2

Spistre±ci

1Równaniaró»niczkowe 3

1.1Przykłady............................. 3

1.2Cotojestrównanieró»niczkowezwyczajne?.......... 6

1.3Interpretacjageometryczna.................... 8

1.4Równanieorozdzielonychzmiennych.............. 8

2Istnienieijednoznaczno±¢rozwi¡za« 10

2.1Istnienieijednoznaczno±¢....................10

2.2Rozwi¡zaniaglobalne.......................17

3Schematynumeryczne 25

3.1Deﬁnicjeipodstawowewłasno±ci ................25

3.2SchematyRungego-Kutty....................31

3.3Praktycznezastosowaniaschematównumerycznych......33

4Układyrówna«liniowych 37

4.1Równanialinioweostałychwspółczynnikach..........43

4.2Równanialiniowewy»szychrz¦dów...............49

4.3Liniowerównaniaró»nicowe...................52

4.4Linioweschematywielokrokowe.................53

5Zale»no±cirozwi¡za«odwarunkówpocz¡tkowych 67

6Równaniaró»niczkowecz¡stkowepierwszegorz¦du 75

6.1Podstawowedeﬁnicjeiwłasno±ci.................75

6.2Rozmaito±ci(przypomnienie)..................76

6.3Rozwi¡zywanierówna«liniowych................77

6.4Równaniaquasi-liniowe......................84

7Równaniaró»niczkowecz¡stkowedrugiegorz¦du 90

7.1Równaniestruny.........................91

8ProblemDirichleta 99

8.1Metodasiatek...........................103

1RÓWNANIARÓNICZKOWE 3

1Równaniaró»niczkowe

1.1Przykłady

Przykład 1.1.1 . Dobankuwkładamywchwili t 0 pewienkapitałpocz¡tkowy

N 0 .Bankoferujenamoprocentowanie k ( t )(wstosunkurocznym)-zmienne

wczasie.Jakab¦dziewarto±¢wkładuwchwili t ?Zale»ytooczywi±cieod

tegojakcz¦stobankkapitalizuje(doliczaodsetki)naszwkład.Je±liokres

kapitalizacjiwynosi h ,to:

N ( t + h )= N ( t )+ h · k ( t ) N ( t ) (1.1.1)

Como»emypowiedzie¢natemat N ( t )je±likapitalizacjaprzebiegawsposób

ci¡gły,czyli h ! 0?

N ( t + h ) − N ( t )

h = k ( t ) N ( t ) (1.1.2)

Przechodz¡cz h ! 0otrzymujemy

dt = k · N

N ( t 0 )= N 0

(1.1.3)

3 .Załó»my,»enacz¡stk¦znajduj¡c¡

si¦w x 2 R 3 iporuszaj¡c¡si¦zpr¦dko±ci¡ −! v 2 R 3 wchwili t działasiła

F ( t,x,v ) 2 R

3 .Wówczasruchcz¡stki x ( t ) 2 R

3 opisujerównanieNewtona:

m · x 00 ( t )= F ( t,x ( t ) ,x 0 ( t ))

x ( t 0 ) = x 0

x 0 ( t 0 ) = v 0

x ( t )=( x 1 ( t ) ,x 2 ( t ) ,x 3 ( t ))

m · x 00 i ( t )= F ( t,x 1 ( t ) ,x 2 ( t ) ,x 3 ( t ) ,x 0 1 ( t ) ,x 0 2 ( t ) ,x 0 3 ( t ))

i =1 , 2 , 3 .

(1.1.4)

Powy»szerównaniemo»nasprowadzi¢do,wpewnymsensie,prostszegorów-

3 iporuszasi¦zpr¦dko±ci¡ −! v 0 2 R

Przykład 1.1.2 . (Drugazasadadynamiki)

Obserwujemyruchpewnejcz¡stkiwR 3 .Wiemy»ewchwili t 0 znajdujesi¦w

x 0 2 R

1RÓWNANIARÓNICZKOWE 4

nania.Oznaczmy v ( t )= x 0 ( t ).Wówczas:

m · v 0 ( t )= m · x 00 ( t )= F ( t,x ( t ) ,x 0 ( t ))= F ( t,x ( t ) ,v ( t ))

x 0 ( t )= v ( t )

x (0)= x 0

v (0)= v 0

(1.1.5)

Wówczasposzukiwanafunkcjajestpostaci t 7! ( x ( t ) ,v ( t )) 2 R

3 × R

3 .

Przykład 1.1.3 . (Wahadłomatematyczne)

Wahadłodługo±ci l ,któreposiadaci¦»arekomasie m ,wprawionowruch

wchwili t 0 podk¡tem 0 zpr¦dko±ci¡k¡tow¡ 0 .Jakieb¦dziepoło»enie

wahadłaorazjegopr¦dko±¢k¡towawchwili t ?

Nawahadłodziałaj¡dwiesiły:siłaci¦»ko±ci # mg orazsiłazjak¡sznurek

trzymaci¦»arek.Niech( x,y )=( l sin ,l cos ).

Zatemsiładziałaj¡canawahadłowpoło»eniu( l sin ,l cos )wynosi

F ( l sin ,l cos )= mg sin ( − cos , sin ).Niech x ( t )= l (sin ( t ) , cos ( t ))

oznaczapoło»eniewahadławchwili t ,czyli ( t )jestk¡temjegowychylenia.

Drugazasadadynamikimówi:

x 00 ( t )= F ( x ( t )) (1.1.6)

Zatem

x 0 ( t )= l (cos ( t ) · 0 ( t ) , − sin ( t ) · 0 ( t ))

x 00 ( t )= l ( − sin ( t )( 0 ( t )) 2 +cos ( t ) · 00 ( t ) , − cos ( t )( 0 ( t )) 2 − sin ( t ) · 00 ( t )) .

(1.1.7)

1RÓWNANIARÓNICZKOWE 5

St¡d

ml ( − sin ( t )( 0 ( t )) 2 +cos ( t ) · 00 ( t ))= − mg sin ( t )cos ( t ) / cos ( t )

ml ( − cos ( t )( 0 ( t )) 2 − sin ( t ) · 00 ( t ))= mg sin 2 ( t ) / − sin ( t )

l 00 ( t )= − g sin ( t ) .

(1.1.8)

Je±li ( t )= 0 ( t ),to <

0 ( t )= ( t )

0 ( t )= − g l sin ( t )

( t 0 )= 0

( t 0 )= 0 .

(1.1.9)

Przykład 1.1.4 . (Rozwójpopulacji)

Niech N ( t )b¦dziewielko±ci¡populacji(np.ilo±¢królików,bakteriiitp.)na

jakim±zamkni¦tymobszarze.Wiemy,»ewchwili t 0 wielko±¢populacjiwynosi

N 0 .Jakieprawarz¡dz¡rozwojempopulacji?Przyrostpopulacji N 0 ( t )jest

proporcjonalnydojejwielko±ci,czyli

N 0 ( t )= k ( N ( t )) · N ( t ) , (1.1.10)

gdzie k ( N )jestwspółczynnikiemwzrostupopulacjigdyjejwielko±¢wyno-

si N .Poniewa»ilo±¢pokarmujeststała,wi¦cfunkcja k jestmalej¡ca.Dla

uproszczeniamo»emyprzyj¡¢ k ( N )= a − b · N .Zatemdynamik¦populacji

opisujerównanie: <

N 0 ( t )=( a − b · N ( t )) N ( t )

N ( t 0 )= N 0

(1.1.11)

Przykład 1.1.5 . (Współistnieniegatunków)

Nadanymterenie»yj¡dwagatunki:drapie»nikiioﬁary.Niech x ( t )oznacza

liczb¦drapie»ników, y ( t )liczb¦oﬁarwchwili t .

x 0 ( t )=( b · y ( t ) − a ) x ( t )

y 0 ( t )=( e − d · x ( t )) y ( t )

(1.1.12)

(RównanieVolterry-Lotki)

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: