Typy zdan.doc

http://www.sciaga.pl/tekst/30305-31-rachunek_zdan_kwantyfikatory_definicje_i_twierdzenia

Rachunek zdań, kwantyfikatory, dowód, twierdzenie

Zdaniami w logice nazywamy zdania orzekające, o których decydujemy, że są prawdziwe lub fałszywe.(to znaczy można określić wartość logiczną zdania).    Np. Łódź jest stolicą Polski (zdanie uznane za fałszywe) , Kot jest ssakiem (zdanie uznane za prawdziwe)

Zdania proste można łączyć funktorami zdaniotwórczymi: (lub), (i), (jeżeli...to...), , ~ (nieprawda, że...), tworząc w ten sposób zdanie złożone.

Zdania proste zapisujemy: p, q, r, s,

a.    zdanie Ø p (nieprawda, że p) nazywamy zaprzeczeniem (negacją zdania).

Negacja zmienia wartość logiczną zdania na przeciwną

b.    zdanie pq (p i q) nazywamy koniunkcją zdań p i q. Koniunkcja zdań jest prawdziwa, gdy oba zdania są prawdziwe. W przeciwnym wypadku jest fałszywa.

c.     Zdanie pq (p lub q) nazywamy alternatywą zdań p i q. Alternatywa dwóch zdań jest prawdziwa, gdy co najmniej jedno ze zdań jest prawdziwe, a fałszywa, gdy obydwa zdania są fałszywe.

Zdanie p Þ q  (jeśli p to q) to  okres warunkowy nazywany dziś często implikacją zdań p i q. Zdanie p nazywamy poprzednikiem okresu warunkowego implikacji, zdanie q jego następnikiem.                                                 Okres warunkowy Implikacja   jest fałszywy tylko wtedy, gdy poprzednik jest prawdziwy a następnik fałszywy.

Okresem warunkowym Implikacją zdań: Dzisiaj jest niedziela (np. fałsz). Nie idę do szkoły (np. prawda), jest zdanie:                                                                                                         Jeśli dzisiaj jest niedziela to nie idę do szkoły,(wobec powyższego wyboru wartości logicznych -prawda).

Zdanie pq (p wtedy i tylko wtedy gdy q) nazywamy równoważnością zdań p i q. Równowartość jest prawdziwa gdy zdania p i q są obydwa prawdziwe, albo obydwa fałszywe.

Równoważnością zdań: Punkt x jest równo odległy od ramion kąta. Punkt k leży na dwusiecznej kąta, jest zdanie: Punkt k jest równo odległy od ramion kąta wtedy i tylko wtedy, gdy leży na dwusiecznej tego kąta.

Niektóre prawa rachunku zdań.

~~

Prawa de Morgana

~

~

Prawo podwójnego przeczenia.

Prawa przemienności

Prawa łączności

Prawa rozdzielności

Prawa tautologii

Kwantyfikatorami nazywamy zwroty: “dla każdego x” i oznaczamy symbolem   (kwantyfikator ogólny),

“istnieje x, takie że” i oznaczamy symbolem (kwantyfikator szczegółowy).

Definicje i twierdzenia

Wśród pojęć matematycznych wyróżniamy takie, których nie określamy – pojęcia pierwotne (np: punkt, liczba, zbiór) oraz takie, które należy określić czyli zdefiniować.

Definicja jest wyrażeniem opisującym znaczenie określonego terminu przy pomocy pojęć pierwotnych lub wcześniej definiowanych.

np: równoległobokiem nazywamy czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych.

Dwie definicje tego samego pojęcia nazywamy równoważnymi.

Matematyka jest sformułowana w twierdzeniach. Mają one zwykle postać implikacji pq.

Zdanie p jest założeniem twierdzenia, a zdanie q jego tezą.

Aksjomaty (pewniki) są twierdzeniami, które przyjmujemy bez dowodu. Wszystkie pozostałe twierdzenia wymagają dowodu.

W dowodzie wprost, wychodzimy od założeń twierdzenia, uważając je wszystkie za prawdziwe i wyciągając kolejne wnioski, dochodzimy do prawdziwości tezy.

Np.: twierdzenie: Niech a, b, c będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi to:

a>ba+c>b+c

dowód: a>ba-b>0a+c-b-c>0a+c-(b+c)>0a+c>b+c. C.n.d.

Dowód nie wprost polega na uznaniu założeń twierdzenia za prawdziwe i dołączeniu do nich hipotezy z.d.n. Øp, która jest zaprzeczeniem tezy p  twierdzenia.

Następnie, poprzez kolejne wnioski, otrzymujemy:

a] koniunkcję sprzeczności założeń i  hipotezy

lub

b]  fałszywe zdanie wyprowadzane z   hipotezy z.d.n..

Założenia twierdzenia uznaliśmy za prawdziwe. Z z.d.n. wyprowadziliśmy   zaprzeczenie tezy. Sprzeczność.  Absolutna – wedle aksjomatów.

Lub wyprowadziliśmy jakie inne zdanie nieprawdziwe.

Ponieważ okres warunkowy z prawdy [domniemanej w  z.d.n. ]  wyprowadza tylko i wyłącznie prawdę, musi prawda do prawdy prowadzić, że nie może być inaczej! nie może bo tak zdecydował aksjomat---     to

to    z.d.n. pociąga fałsz [a przecie pociąga!] jeno wtedy gdy z.d.n..  jest fałszywe.

Czyli  teza  p   jest prawdziwa  

wobec                ØØ p = p        «     (P c)  c = P.

po prostu:

Dowód nie wprost to

wykazanie prawdziwości lewej strony równoważności

( p ® q )  « [ ( p Ù Øq) ®  0]

poprzez wykazanie prawdziwości prawej

pamiętamy przecież, że:        ( p ® q )  « Ø ( p Ù Øq)

Np.: Twierdzenie: Liczba à jest liczbą niewymierną.dowód: Przypuśćmy, że liczba à jest liczbą wymierną, to znaczy, że Ã=p/q gdzie p i q są liczbami całkowitymi. Z tego wynika że, [p/q]2  =2, czyli p2=2q2, a zatem p× p=2q× q. Jeżeli liczby p i q rozłożymy na czynniki pierwsze, czynnik 2 występuje w iloczynie p× p parzystą liczbę razy (taką samą liczbę razy w każdym czynniku p), lub nie występuje wcale, a w iloczynie 2× q× q nieparzystą liczbę razy. Zatem obydwa iloczyny nie mogą być równe. Z tego wynika, że Ãnie jest liczbą wymierną. C.n.d.

Typy          Zdanie w postaci

p Þ q         zwiemy twierdzeniem prostym,

q Þ p         zwiemy twierdzeniem odwrotnym,          

Øp Þ Øq     zwiemy twierdzeniem przeciwnym,       kontrapozycja

Øq Þ Øp     zwiemy twierdzeniem przeciwstawnym kontrapozycja

kontrapozycja = zaprzeczeń odwrócenie kolejności

Twierdzenie proste i twierdzenie przeciwstawne kontrapozycja są

jednocześnie prawdziwe, albo jednocześnie fałszywe.

p Þ q    º  Øq Þ Øp

Twierdzenie odwrotne i twierdzenie przeciwne kontrapozycja są

jednocześnie prawdziwe, albo jednocześnie fałszywe.

Prawo  transpozycji

...