Funkcje zespolone funkcji rzeczywistej.pdf

1.Funkcjezespolonezmiennejrzeczywistej

Je»elika»dejliczbierzeczywistej t , t 2 [ , ]przyporz¡dkujemyliczb¦zespolon¡

z = z ( t )= x ( t )+ iy ( t )

tootrzymujemyfunkcj¦zespolon¡zmiennejrzeczywistej.Ci¡gło±¢takiejfunkcji,po-

chodn¡icałk¦okre±lamywnaturalnysposób,przyjmuj¡c,»eobiefunkcje x ( t ), y ( t )s¡

ci¡głe,ró»niczkowalneb¡d¹całkowalne.Poniewa»równania:

x = x ( t ) ,y = y ( t ) , t 2 [ , ]

stanowi¡parametrycznyopiskrzywejnapłaszczy¹nie,wi¦crównanie z = x ( t )+ iy ( t )

jestte»opisemkrzywej.

Przykłady 1.Jak¡krzyw¡przedstawiarównanie:

a) z =1 − i + (1+ 2 i ) t , −1 <t< 1

2.Funkcjezespolonezmiennejzespolonej

Je»elizarównoargumentem,jakiwarto±ci¡funkcji z = f ( w )s¡liczbyzespolone,to

mówimy,»eokre±lonajestfunkcjazespolonazmiennejzespolonej.Mo»natak¡funkcj¦

traktowa¢jakoodwzorowaniejednejpłaszczyzny(którejpunktamis¡liczby z )wdrug¡

płaszczyzn¦(którejpunktamis¡liczby w ).

Podstawiaj¡c

z = x + iy,w = u + iv

mamy

f ( x + iy )= u ( x,y )+ iv ( x,y ) .

Funkcje u ( x,y )i v ( x,y )nazywamycz¦±ci¡rzeczywist¡icz¦±ci¡urojon¡funkcjizespo-

lonej f ( z ).

Przykłady 1.Okre±li¢dziedzin¦funkcji

w = z +1

z − 1

orazpoda¢jejcz¦±¢rzeczywist¡iurojon¡.

2.Jakijestobrazkrzywej:a) x 2 + y 2 =9;b) x =1przyprzekształceniu w = 1 z ?

Rozwi¡zanie .a)Mamy

w = 1

z = ¯ z

| z | 2 = x

x 2 + y 2 − y

x 2 + y 2 i.

St¡d

x 2 + y 2

! 2

x 2 + y 2

! 2

= 1

u 2 + v 2 =

x 2 + y 2 .

Zatemgdy x 2 + y 2 =9,to u 2 + v 2 = 1 9 .

b) z = t + i p 1 − t 2 ,0 ¬ t ¬ 1.

2.Napisa¢równanieprostejprzechodz¡cejprzezpunkty z 1 =4+3 i , z 2 =5+2 i .

b)Prost¡ x =1zapisujemywpostaci z =1+ it imamy

1+ it = 1

1+ t 2 − t

1+ t 2 i.

1+ t 2 .Ruguj¡cparametr t

(przezpodniesienieoburówno±cidokwadratuidodanie)otrzymamy u 2 + v 2 = u .Jest

torównanieokr¦gu.

1+ t 2 , v = − t

3.Podstawowefunkcjezmiennejzespolonej

Funkcjawykładnicza:

w = e z = e x + iy = e x (cos y + i sin y )

mawłasno±ci:

a) e z jestfunkcj¡okresow¡ookresie2 i .Wszczególno±ci e z =1dla z =2 ki , k 2 Z

b)Je»eli z = iy ,to | e z | =1.St¡d | e z | = e Re z .

Funkcjetrygonometryczneokre±lamywzorami

2 i , cos z def = e iz = e − iz

2 .

S¡tofunkcjeokresowe,ookresie2 ,alenieograniczone!

4.PrzekształcenieLaplace’a

Deﬁnicja1 Funkcj¦f ( t ) zmiennejrzeczywistej,przedziałamici¡gł¡,nazywamy orygi-

nałem ,gdy

1.f ( t )=0 dlat< 0 ;

2.f ( t )= 1 2 ( f ( t − 0)+ f ( t +0)) (symbolef ( t − 0) if ( t +0)) oznaczaj¡granic¦

lewostronn¡iprawostronn¡wpunkciet);

3.istniej¡liczbyMitakie,»e | f ( t ) |¬ Me t dlat> 0 .

Powy»szewarunkiokre±laj¡pewienzbiórfunkcji—klas¦oryginałów.Natymzbiorze

okre±limyterazpewneprzekształcenie.

Deﬁnicja2 Dlafunkcjif ( t ) nale»¡cejdoklasyoryginałów,okre±lamyfunkcj¦zespolo-

n¡:

1 Z

F ( s )=

f ( t ) e − st dt,s 2 C

Funkcj¦t¦nazywamy transformat¡Laplace’a oryginałuf ( t ) ipiszemy L [ f ( t )]= F ( s ) .

Warunkisformułowanewdeﬁnicjioryginałuzapewniaj¡zbie»no±¢całki.Zatemprzypo-

rz¡dkowanie:

oryginał f ( t ) 7! transformata F ( s ),

w = 1

Zatemrównaniamiparametrycznymiobrazus¡ u = 1

sin z def = e iz − e − iz

jestprzeksztaceniemklasyoryginałówwpewienpodzbiórzbiorufunkcjizespolonych.

Toprzekształcenienazywamy przekształceniem(transformacj¡)Laplace’a .U»ywanyjest

tak»etermin operatorLaplace’a .

Przykłady Znajdziemyzdeﬁnicjitransformat¦funkcji:

2 ,t =0

1 ,t> 0

Funkcjatanazywasi¦ funkcj¡Heaviside’a .

Obliczamy:

1 ( t )=

0 ,t< 0

1 Z

e − st dt = − 1

s e − st | 1 0 = 1

L [ 1 ( t )]=

s .

Podobnieznajdziemy

L [ e at ]= 1

s − a ,

L [ t n ]= n !

s n +1 ,

L [cos at ]= s

s 2 + a 2 ,

L [sin at ]= a

s 2 + a 2 ,

iinnetransformaty.

Zeznanychwłasno±cicałkiwynika,»eprzekształcenieLaplace’ajestliniowe,tzn.

L [ af ( t )+ bg ( t )]= a L [ f ( t )]+ b L [ g ( t )] .

Np.

L [2 e 3 t − 5sin2 t ]=2 L [ e 3 t ] − 5 L [sin2 t ]=2 1

s − 3 − 5 2

s 2 +4 .

PrzekształcenieLaplace’ajesttak»eró»nowarto±ciowe,awi¦cka»dejtransformacieod-

powiadajednoznacznieokre±lonyoryginał.Mo»nagoznale¹¢stosuj¡cwzórna odwrotne

przekształcenieLaplace’a :

L − 1 [ F ( s )]= 1

2 i

s + i 1

e st F ( s ) ds.

s − i 1

Jesttojednakniepraktyczne.Elementarn¡metod¡znajdowaniaoryginałuwsytuacji

gdytransformata F ( s )jestfunkcj¡wymiern¡jestjejrozkładnaułamkiprosteiznale-

zienieoryginałówprzypomocytablic.

Przykład .Je»eli F ( s )= s − 1

s 2 + s ,toznajdujemyrozkład:

F ( s )= 2

s +1 − 1

s ,

iodczytujemyztablic:

s +1 ]= e − t , L − 1 [ 1

s ]=1

wi¦c f ( t )=2 e − t − 1.

Inn¡metod¡,któr¡omówimypó¹niej,jestposłu»eniesi¦tzw. residuami .

Obecniepodamykluczowedlazastosowa« twierdzenieotransformaciepochodnej .

L − 1 [ 2

Twierdzenie1 Je»eliistniejen-tapochodnafunkcjif,to

L [ f ( n ) ( t )]= s n L [ f ( t )] − s n − 1 f (0+) − s n − 2 f 0 (0+) −···− f ( n − 1) (0+) .

gdziesymbolef (0+) ,f 0 (0+) ,...oznaczaj¡prawostronnegranicewpunkcie0.

Wszczególno±cidla n =1i n =2otrzymujemy:

L [ f 0 ( t )]= s L [ f ( t )] − f (0+) ,

L [ f 00 ( t )]= s 2 L [ f ( t )] − sf (0+) − f 0 (0+) .

5.ZastosowanieprzekształceniaLaplace’adorozwi¡zywania

równa«ró»niczkowych

Interpretuj¡ctwierdzenie1mo»emypowiedzie¢,»eró»niczkowaniuoryginałuodpowiada

mno»enietransformatyprzez s .Zatemje±limamyrównanieró»niczkowezfunkcj¡nie-

wiadom¡ y ( t ),topoobliczeniutransformatobustronrównaniaotrzymamy równanie

algebraiczne zfunkcj¡niewiadom¡ L [ y ( t )]= Y ( s ).Nale»ywyznaczy¢terazfunkcj¦

Y ( s ),anast¦pnieznale¹¢odpowiadaj¡cyjejoryginał y ( t )—b¦dzietorozwi¡zanie

równaniaró»niczkowego.

Przykład Znale¹¢rozwi¡zanieszczególnerównania y 00 +2 y 0 +2 y =0, y (0)=1, y 0 (0)=0.

Rozwi¡zanie .Transformuj¡cotrzymamy:

s 2 Y − s +2( sY − 1)+2 Y =0

(zwró¢myuwag¦,»ewmiejscegranicprawostronnychoktórychmowawtwierdzeniu1

podstawiamywarunkipocz¡tkowe).

Wyznaczamy Y irozkładamynaułamki:

s 2 +2 s +2 = s +1+1

( s +1) 2 +1 = s +1

( s +1) 2 +1 + 1

( s +1) 2 +1

Terazztablicznajdziemy

( s +1) 2 +1 ]= e − t cos t, L − 1 [ 1

( s +1) 2 +1 ]= e − t sin t,

awi¦c

y ( t )= L − 1 [ Y ]= e − t cos t + e − t sin t = e − t (cos t +sin t ) .

Zauwa»my,»egdybyniebyłowarunkówpocz¡tkowych,towmiejscegraniclewostron-

nychnale»ałobywpisa¢stałedowolne.Tooczywi±cieskomplikowałobyrachunki.Dlatego

te»tametoda(nazywanarównie» metod¡operatorow¡ )jeststosowananajcz¦±ciejdo

zagadnie«zwarunkamipocz¡tkowymi.

Y = s +2

L − 1 [ s +1

Transformatywa»niejszychfunkcji

OryginałTransformata

1. 1 1 s

2. t n n !

s n +1

3. e t 1

s −

4. sin t

s 2 + 2

5. cos t s

s 2 + 2

6. sinh t

( s − ) 2 + 2

10. e t cos t s −

( s − ) 2 + 2

11. t sin t 2 s

( s 2 + 2 ) 2

12. t cos t s 2 − 2

( s 2 + 2 ) 2

13. te t 1

( s − ) 2

Przykład Znale¹¢rozwi¡zanieszczególnerównania

y 00 +4 y =2cos2 x,y (0)=0 ,y 0 (0)=4 .

Rozwi¡zanie .Transformuj¡cotrzymamy:

s 2 Y − 4+4 Y = 2 s

s 2 +4

Wyznaczamy Y irozkładamynaułamki:

Y = 4 s 2 +2 s +16

( s 2 +4) 2 = 4

s 2 +4 + 1

4 s

( s 2 +4) 2

Terazztablicznajdziemy

s 2 +4 ]=2sin2 t, L − 1 [ 1

( s 2 +4) 2 ]= 1

4 s

2 t sin2 t,

awi¦c

y ( t )= L − 1 [ Y ]=2sin2 t + 1

2 t sin2 t.

6.Residuumfunkcjizespolonej

Deﬁnicja3 Niechf ( s ) b¦dziefunkcj¡wymiern¡zmiennejzespolonejs:

f ( s )= P ( s )

Q ( s ) , gdzie P ( s ) ,Q ( s )s¡wielomianami .

Liczb¦s 0 nazywamyk-krotnymbiegunemfunkcjif ( s ) ,gdys 0 jestk-krotnympierwiast-

kiemQ ( s ) orazP ( s 0 ) 6 =0 .

s 2 − 2

7. cosh t s

s 2 − 2

8. t n e t n !

( s − ) n +1

9. e t sin t

L − 1 [ 4

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: