uklady_rownan.pdf
(
237 KB
)
Pobierz
Wyznacznik macierzy
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
Definicja 1.
Układ równań liniowych to następujący układ:
(1)
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ … + a
1m
x
m
= b
1
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ … + a
2m
x
m
= b
2
……………………………………………….
……………………………………………….
a
n1
x
1
+ a
n2
x
2
+ … + a
nm
x
m
= b
n
a
ij
, b
i
– dane
x
i
– szukane
Rozwiązaniem układu 1 nazywamy każdą „emke” liczb które spełniają
każde z równań.
Definicja 2.
Jeżeli wszystkie elementy po prawej są równe zero to jest to układ
nazywamy jednorodnym. W przeciwnym przypadku jest to układ
niejednorodny.
∀
i
=
1,2,...,
n
:
b
=
0
Definicja 3.
...
...
... ... ... ...
...
11
12
1
m
A
=
21
22
2
m
aa a
n
1
n
2
nm
Macierz A nazywamy macierzą współczynników układu (1).
Gdy:
b
b
1
2
...
- jest koluną wyrazów wolnych
b
n
to:
...
...
... ... ... ... ...
...
11
12
1
m
1
Macierz U nazywamy macierzą
uzupełnioną układu (1)
U
=
21
22
2
m
2
aa ab
n
1
n
2
nm n
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 1 z 6
Część 11 - Układy równań liniowych
aa a
aa a
aa ab
aa ab
Uwaga:
Jeżeli:
x
x
1
X
=
2
...
b
=
to układ zapisujemy:
A Xb
x
m
b
Definicja 4:
Jeżeli układ (1) posiada nieskończenie wiele rozwiązań to układ nazywamy
nieoznaczonym.
Definicja 5:
Jeżeli układ (1) nie posiada rozwiązań to jest to układ sprzeczny.
Definicja 6:
Jeżeli w układzie (1) ilość niewiadomych jest równa ilości równań to jest to
układ kwadratowy.
Definicja 7:
Układ (1) jest układem Cramera jeżeli:
1
o
A
n
x
n
2
o
detA ≠ 0
Twierdzenie 1.
Jeżeli układ jest układem Cramera to posiada dokładnie 1 rozwiązanie i:
x
=
D
x
D
- wyznacznik macierzy powstałej z macierzy
A przez zastąpienie i-tej kolumny (kolumny
współczynnika przy x
i
) przez wyrazy wolne
i
det
A
Uwaga
Układ Cramera można rozwiązywać stosując wzór Cramera.
WNIOSEK
1
o
A
n
x
m
i
AX
0
⋅ =
układ jednorodny nie jest sprzeczny.
2
o
A
n
x
n
i
AX
⋅ =
0
układ ma nieskończenie wiele rozwiązań
⇔=
det
A
0
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 2 z 6
Część 11 - Układy równań liniowych
b
b
1
⋅ =
2
...
n
PRZYKŁAD 1.
2x
1
+ 3x
2
- x
3
= 1
x
1
- x
2
+ x
3
= 2
3x
1
+ x
2
- 2x
3
= 3
23 1
111
31 2
−
A
=−
det
A
=+−−−+=
4 9 1 3 2 6 13
−
D
1
x
−
=− =7
13 1
2111
31 2
21 1
12 1 6
33 2
−
D
2
x
=
= −
D
3
x
=− 5
211
112
313
x
1
=
17
13
x
2
=−
6
13
3
13
x
3
=
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 3 z 6
Część 11 - Układy równań liniowych
Twierdzenie 2.
Kroneckera-Capelliego
Z:
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ … + a
1m
x
m
= b
1
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ … + a
2m
x
m
= b
2
……………………………………………….
……………………………………………….
a
n1
x
1
+ a
n2
x
2
+ … + a
nm
x
m
= b
n
...
...
... ... ... ...
...
12
1
m
aa ab
aa ab
...
...
... ... ... ... ...
...
12
1
m
1
A
T:
Układ ten posiada co najmniej 1 rozwiązanie <=> rzA=rzU
=
21
22
2
m
U
=
21
22
2
m
2
aa a
aa ab
n
n
2
nm
n
1
n
2
nm n
Twierdzenie 3.
a)
Układ ten posiada dokładnie 1 rozwiązanie jeżeli rzA=rzU=m gdzie m
jest ilością niewiadomych
b)
Jeżeli rzA=rzU=r gdzie r<m to układ ten posiada nieskończenie wiele
rozwiązań zależnych od m-r parametrów (to znaczy, że m-r
niewiadomych można przyjąć dowolnie).
PRZYKŁAD 2.
x – 3y - 3z = 9
x - y - z = 4
-x - y - 2z = 4
1 239 1239
−
−
1239
rz
1 114
−
rz
01 2 5
− − =
rz
01 2 5
− − => =
rzA rzU
=
3
−−
1124 0353 00 12
−
−−
układ ten posiada dokładnie 1 rozwiązanie
x – 2y + 3z = 9 x= 7
y - 2z =-5 y=-1
-z =-2 x= 2
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 4 z 6
Część 11 - Układy równań liniowych
aa a
aa a
11
11
1
−
=
PRZYKŁAD 3.
x + 2y + z = 5
2x + y - z = 4
x - y - 2z =-1
12 2 5 12 1 5 12 1 5
21 14 0336 0336
1121 0336 0000
rz
− = −−−= −−−
rz
rz
−−−
−−−
rzA=2 rzU=2
Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od 1 parametru.
x + 2y + z = 5
- 3y - z =-6
0 = 0
Uwaga
1 niewiadomą można przyjąć dowolnie ale nie zawsze dowolną
niewiadomą.
z
y
=−
z
=
α
2
α
α∈
\
=
α
Uwaga
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ … + a
1m
x
m
= b
1
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ … + a
2m
x
m
= b
2
……………………………………………….
……………………………………………….
a
n1
x
1
+ a
n2
x
2
+ … + a
nm
x
m
= b
n
...
...
... ... ... ...
...
11
12
1
m
1
A
=
21
22
2
m
x
=
b
=
aa a
x
b
n
n
2
nm
m
n
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 5 z 6
Część 11 - Układy równań liniowych
aa a
aa a
x
x
b
b
1
2
...
2
...
1
Plik z chomika:
logistyka.swspiz
Inne pliki z tego folderu:
wyznaczniki.pdf
(188 KB)
uklady_rownan.pdf
(237 KB)
extrema funkcji.pdf
(144 KB)
Inne foldery tego chomika:
Ekonomia
Języki obce
Podstawy logistyki
Prawo
Socjologia
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin