JAGIELSKI-rozdz8.pdf

(767 KB) Pobierz
Rozdział 7:
183
Rozdział 8:
Podstawowe zadania geodezyjne z rachunku współrzędnych
8.1. Orientacja pomiarów geodezyjnych
W rozdziale 1 przedstawiliśmy krótką charakterystykę układów współrzędnych
stosowanych w geodezji, w tym wykorzystywane najczęściej płaskie układy prawoskrętne:
prostokątny i biegunowy. Orientację boku osnowy lub kierunku względem osi układu
określa się za pomocą azymutu lub kąta kierunkowego, które tym różnią się od siebie, że
stałym ramieniem azymutu jest kierunek północy, zaś w przypadku kąta kierunkowego
ramieniem tym jest dodatni kierunek osi x układu, która nie musi być zorientowana według
północy. W rachunku współrzędnych wielkościami wyjściowymi lub szukanymi mogą być
zarówno elementy liniowe, do których zalicza się: współrzędne punktów X, Y , przyrosty
współrzędnych odcinków  x, y , długości zredukowane (poziome) d , jak i elementy
kątowe: azymuty, kąty kierunkowe, kąty wierzchołkowe w sieciach osnów poziomych
i figurach geometrycznych .
Azymutem A AB boku AB nazywamy kąt
poziomy, zawarty w przedziale od 0 do 360,
pomiędzy kierunkiem północy wychodzącym
z punktu A a danym bokiem AB , liczony od
kierunku północy w prawo, czyli zgodnie
z ruchem wskazówek zegara (rys. 8.1).
Jeśli punktem początkowym boku, dla
którego określamy azymut jest punkt B , wtedy po
wyprowadzeniu z niego kierunku północy
i zakreśleniu kąta w prawo pomiędzy północą
a bokiem BA otrzymamy azymut boku
odwrotnego , oznaczony symbolem: A BA . Zgodnie
z rys. 8.1 azymut ten różni się od azymutu boku
AB o wartość kąta półpełnego:
A BA = A AB 180 (8.1)
W powyższym wzorze znak plus odnosi się do azymutów wyjściowych
mniejszych od 180 (lub 200 g ), zaś znak minus dotyczy azymutów wyjściowych
przekraczających 180.
Kierunek północy występujący w definicji azymutu może być określany w różny
sposób, w związku z czym wyróżnia się kierunki północy: geograficznej, topograficznej
i magnetycznej (rys. 8.2).
Kierunek północy geograficznej (astronomicznej) wychodzący z danego punktu
ziemskiego jest kierunkiem północnej części południka geograficznego, łączącego ten
punkt z geograficznym biegunem północnym Ziemi. Wyznaczenie kierunku północy
geograficznej i azymutu przedmiotu ziemskiego stanowią jedno z ważniejszych zadań
astronomii geodezyjnej. Dość dokładnie kierunek ten wskazuje Gwiazda Polarna
( -Ursae Minoris ) w gwiazdozbiorze Małej Niedźwiedzicy. Kierunek północy
B
A AB
A AB
180 A BA
A
Rys. 8.1. Azymuty: boku wyjściowego
A AB i boku odwrotnego A BA
1685583.009.png
 
184
magnetycznej jest wskazywany przez igłę magnetyczną busoli, umieszczonej w punkcie
początkowym A .
Bieguny magnetyczne Ziemi odznaczają się
zmiennością położenia i z reguły nie pokrywają się
z biegunami geograficznymi, toteż kierunki
południków: geograficznego i magnetycznego są od
siebie odchylone o zmieniający się w czasie
i przestrzeni kąt  zwany deklinacją magnetyczną.
Azymut geograficzny A g obliczymy na podstawie
azymutu magnetycznego A m i deklinacji po dodaniu
tych kątów do siebie.
Kierunek północy topograficznej
(kartograficznej) jest ściśle związany z przyjętym
odwzorowaniem kartograficznym oraz z zależnym od
niego układem współrzędnych prostokątnych. Dodatni
kierunek osi x układu pokrywa się przeważnie
z kierunkiem północy geograficznej (południka
geograficznego), lecz dla punktów znajdujących się
poza osią x, kierunek północy topograficznej stanowi prostą równoległą do półosi + x ,
natomiast południki wyznaczające północ geograficzną w różnych punktach terenowych nie
są równoległe, lecz zbiegają się w punkcie N – biegunie północnym Ziemi, toteż odchylenie
kierunku północy topograficznej danego punktu A od północy geograficznej tego punktu
jest równe kątowi , zwanemu zbieżnością południków (rys. 8.2). Dodając kąt  do azymutu
topograficznego A t , otrzymamy azymut geograficzny.
Dla ułatwienia obliczania azymutu, przyjmującego wartości w przedziale od 0 do
360, wygodne jest posługiwanie się kątem ostrym  noszącym nazwę czwartaka, który
jako kąt nie przekraczający 90° występuje tylko w pierwszej ćwiartce kąta pełnego (stąd
nazwa – czwartak). Wszystkie funkcje trygonometryczne czwartaka są więc dodatnie, zaś
wyznaczenie wartości kąta na podstawie wartości tych funkcji ma charakter jednoznaczny.
Czwartak AB jest definiowany jako kąt ostry zawarty pomiędzy linią osi x , czyli jej
dodatnim lub ujemnym kierunkiem, a danym bokiem AB . W ćwiartkach: I i IV ramieniem
wyjściowym czwartaków jest prosta skierowana na północ, natomiast w ćwiartkach: II i III
ramię to stanowi prosta skierowana na południe.
Na podstawie rysunku 8.3 można określić zestawione w tabeli 8.1 zależności
pomiędzy azymutem a czwartakiem w poszczególnych ćwiartkach układu współrzędnych
prostokątnych. Zależności te pozwalają na ustalenie orientacji dowolnego kierunku, czyli
obliczenie jego azymutu na podstawie wartości czwartaka φ i znajomości numeru lub
oznaczenia ćwiartki ( NE, SE , SW, NW ).
⋆
A
A m
A g
A t
B
Rys. 8.2. Azymuty: geograficzny,
topograficzny, magnetyczny
1685583.010.png
185
Tabela 8.1. Azymut A i czwartak φ
Nr i oznaczenie
ćwiartki
Zakres azymutu
Związek między
azymutem
a czwartakiem
I ( NE )
0 − 90 A =
II ( SE )
90 − 180 A = 180 –
III ( SW )
180 − 270 A = 180 +
IV ( NW )
270 − 360 A = 360 –
N
N
N
N
+x
+x
+x
+x
A
A
D
W
E
W
A
E
W
O
E
W
E
+y
O
O
+y
A
+y
O
+y
C
A
B
S
S
S
S
I ćw.
A=
II ćw. A= 180° -
III ćw. A= 180°
+
IV ćw. A= 360° -
Rys. 8.3. Zależności pomiędzy azymutem A i czwartakiem  w
poszczególnych ćwiartkach układu współrzędnych
W geodezji niższej na ogół nie uwzględnia się krzywizny Ziemi, a więc wyniki
pomiarów wykonywanych na małych obszarach, odnoszone są do płaszczyzny. Z tego
względu linie południków traktowane są jako proste równoległe do osi x, zaś równoleżniki
jako proste prostopadłe do południków. Linie te naniesione w stałych odstępach
wynoszących 10 cm, tworzą na arkuszach mapy siatkę kwadratów , zorientowaną względem
stron świata. Opis współrzędnych X, Y linii siatki umożliwia graficzne określenie położenia
dowolnego punktu na mapie względem układu współrzędnych prostokątnych.
8.2. Podstawowe związki w układzie współrzędnych prostokątnych
+x
K y AB
B
Dla uproszczenia dalszych rozważań
załóżmy, że rozpatrywany bok AB znajduje
się w I ćwiartce układu współrzędnych
prostokątnych, płaskich, zaś jego azymut A AB
jest kątem ostrym (rys. 8.4). Po zrzutowaniu
punktów A,B na osie układu możemy
odczytać ich współrzędne: X A , Y A , X B , Y B ,
natomiast rzuty prostokątne boku AB na obie
osie stanowią graficzną ilustrację tzw.
przyrostów współrzędnych :  x AB ,  y AB ,
będących różnicami pomiędzy
współrzędnymi punktów: A, B , a więc:
X B
A AB d AB
X A
A
y AB
Y A Y B + y
O
Rys. 8.4. Związki pomiędzy azymutem,
długością i przyrostami boku AB
Δ
x
AB
X
B
X
A
Δ
y
AB
Y
B
Y
A
(8.2)
O
1685583.011.png 1685583.001.png
186
końcowego boku, współrzędnych jego punktu początkowego. W zapisie symbolu przyrostu
... AB zawarty jest zwrot boku, lecz podczas odejmowania współrzędnych w celu obliczenia
przyrostu kolejność wprowadzania współrzędnych jako odjemnej i odjemnika jest
odwrotna: tzn. przyrost równa się: współrzędna punktu B minus współrzędna punktu A .
Z wzorów (8.2) i zależności geometrycznych w trójkącie ABK (rys. 8.4) można
określić następujące podstawowe wzory rachunku współrzędnych:
od odpowiednich współrzędnych punktu
X
B
X
A
Δ
x
AB
(8.3)
Y
B
Y
A
Δ
y
AB
tg A
y
x
AB
(8.4)
AB
AB
d
 
 
x
2
y
2
(8.5)
AB
AB
AB
Δ
x
d
cos
A
cos
A
Δ
x
AB
AB
AB
AB
AB
d
(8.6) oraz
AB
(8.6a)
Δ
y
Δ
y
d
sin
A
sin
A
AB
AB
AB
AB
AB
d
AB
8.3. Obliczenie azymutu i długości boku ze współrzędnych
Zadanie obliczenia azymutu i długości boku AB na podstawie danych
współrzędnych jego punktów końcowych występuje w obliczeniach geodezyjnych bardzo
często i opiera się na podanych wyżej wzorach: (8.4) i (8.5). Korzystając z wzoru (8.4)
otrzymujemy jednak tangens azymutu, a więc na podstawie wartości tej funkcji nie
możemy określić jednoznacznie wartości kąta A AB . Z tego powodu podczas obliczania
wartości liczbowej azymutu korzystamy ze związku pomiędzy azymutem boku a jego
czwartakiem  wyrażonym poprzez jeden z wzorów zawartych w tabeli 8.1. Wybór
odpowiedniego przeliczenia wymaga znajomości przedziału kątowego (ćwiartki), w którym
występuje poszukiwany azymut. Ćwiartkę tę ustalamy na podstawie znaków przyrostów
x ,  y , które zgodnie z wzorami (8.6) są takie same jak znaki funkcji trygonometrycznych
azymutu: sin A , cos A . Określonej ćwiartce azymutu odpowiada więc tylko jedna
kombinacja pary znaków (tabela 8.2).
Ta bela 8.2. Znaki przyrostów w zależności od ćwiartki azym utu
Numer
ćwiartki
azymutu
Znaki przyrostów
x
(cos A )
y
(sin A )
Zależność między
azymutem A
i czwartakiem 
I
+
+
A =
II
–
+
A = 200 g –
III
–
–
A = 200 g +
IV
+
–
A = 400 g ––
O
Na podstawie wzorów (8.2) można ustalić ogólną zasadę obliczania przyrostów
x ,  y danego boku. Jest nią odejmowanie
1685583.002.png 1685583.003.png 1685583.004.png
187
Przebieg obliczenia azymutu A AB i długości d AB boku AB na podstawie
współrzędnych punktów A , B : X A , Y A ; X B , Y B obejmuje następujące etapy:
1. Obliczenie przyrostów  x AB , y AB zgodnie z wzorami (8.2).
2. Obliczenie tangensa czwartaka  z zależności:
tg  AB
y
x
AB
(8.7)
AB
3. Obliczenie wartości czwartaka  na podstawie jego funkcji tangens.
4. Ustalenie numeru ćwiartki według znaków przyrostów (tabela 8.2).
5. Obliczenie azymutu A z zależności między azymutem a czwartakiem ,
wybranej zgodnie z ustalonym numerem ćwiartki azymutu (tabela 8.2).
6. Obliczenie długości boku d AB w oparciu o wzór (8.5).
7. Wykonanie obliczeń kontrolnych azymutu i długości.
Obliczenia kontrolne azymutu i długości polegają na ich ponownym obliczeniu
w oparciu o wzory kontrolne. Kontrola obliczenia azymutu opiera się na uzyskaniu
azymutu A powiększonego o kąt 45 (50 g ).
Na podstawie wzoru na tangens sumy kątów i wzoru (8.4) możemy napisać:
Δ
y
1
tg tg
tg tg
 
  
A
45
Δ
x
 
tg
A
  
45
,
1
A
45
Δ
y
1
Δ
x
stąd:
tg A
 
  
45
 
 
x
AB
y
AB
(8.8)
AB
x
y
AB
AB
Kontrola obliczenia azymutu w oparciu o wzór (8.8) polega na podzieleniu sumy
przyrostów przez różnicę przyrostów, a następnie po odrzuceniu znaku otrzymanego
ilorazu, uzyskamy wartość tg  , gdzie  jest czwartakiem kąta ( A +45°) tj. azymutu
powiększonego o 45.
tg
x
AB
y
AB
x
y
AB
AB
Jego obliczenie odbywa się na tej samej zasadzie co obliczenie azymutu A , tzn.
znaki sumy:  x+ y oraz różnicy:  x– y , traktujemy tak samo jak podczas obliczenia
wynikowego znaki przyrostów potrzebne do określania ćwiartki azymutu. Należy
zauważyć, że ćwiartka kąta ( A+ 45) albo pozostaje bez zmian w stosunku do ćwiartki
azymutu A albo zmienia się na następną.
Po kontrolnym obliczeniu kąta ( A+ 45), sprawdzamy, czy otrzymaliśmy tą samą
wartość, co po bezpośrednim dodaniu kąta 45do wartości azymutu z obliczenia
wyjściowego. Dokładna zgodność obydwu wyników świadczy o poprawności rachunku.
W ramach kontroli obliczenia długości
d AB można określić długość boku AB na
podstawie przekształconych wzorów (8.6), czyli:
d
x
AB
y
AB
(8.9)
AB
cos
A
sin
A
AB
AB
1685583.005.png 1685583.006.png 1685583.007.png 1685583.008.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin