ŚREDNICA PRZEWDZIAŁU Pn: d(Pn) = max {k=1..n} {Xk-Xk-1=DXk}
(Pn)¥n=1 jest normalny « d(Pn)®0 podział na równe części to podział normalny, podział na nierówne – nie jest normalny
DEFINICJA WARUNKOWA CAŁKI: jeśli dla każdego ciągu normalnego podziału (przedziału) <a,b> i niezależnie od wyboru ciągów punktów pośrednich Xk $! granica ciągu Sn (sum całkowych) to tę granicę nazywamy całką oznaczoną na przedziale <a,b> i oznaczamy òab f(x)dx
òG fdm(n)=lim{dn®0,b->¥} åk=1n f(Xk) |Gk|
òG 1dm(n)=lim{dn®0}åk=1n1|Gk|=|G|
INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA CAŁKI OZNACZONEJ: Gdy f(x)>=0 "xÎ<a,b> wartość całki òab f(x)dx jest polem trapezu krzywoliniowego czyli polem figury zawartej między osią X a wykresem funkcji i płaszczyznami x=a i x=b
WARUNEK DOSTATECZNY CAŁKOWALNOŚCI: fÎC°(<a,b>)
WARUNEK KONIECZNY: f jest ograniczona na <a,b>
TW. NEWTONA LEIBNITZA: òabf(x)dx=F(b)-F(a)
TW O WARTOŚCI ŚREDNIEJ: $xÎ(a,b): f(x)=(òabf(x)dx)/(b-a)«
$xÎ(a,b):òabf(x)dx=f(x)(b-a)
CAŁKOWANIE PRZEZ PODSTAWIENIE: Z: g:<a,b>®g(a)=a, g(b)=b, gÎC1(<a,b>) i fÎC°(<a,b>),
T: òabf(g(x))*g’(x)dx=íg(x)=t, g’(x)dx=dt, x|a|b/t|a|bý=òabf(t)dt
CAŁKOWANIE PRZEZ CZĘŚCI: (f,gÎC1(<a,b>)
T: òabf ’(x)*g(x)dx=[f(x)*g(x)]ba-òabf(x)g’(x)dx
ADDYTYWNOŚĆ WZGLĘDEM PRZEDZIAŁU CAŁKOWANIA: òabf+òbcf=òacf
òabf= --òbaf
"xÎ<a,b> f(x)>=<0®òabf(x)dx>=<0
f(x)<=g(x)®òabf(x)dx<=òabg(x)dx
TW WEISTRASSA: $m,MÎR "xÎ<a,b> m<=f(x)<=M
T: m(b-a)<=òabf(x)dx<=M(b-a)
ò-aaf. parzystej=2ò0af, ò-aaf. nieparzystej=0
ò0¥f(x)dx=lim{b®¥}òabf(x)dx=lim{b®¥}(f(b)-f(a))=F(¥)-F(a) F(¥)ÎR($)®c. zbieżna, F(a)ÏR(nie$)®c. rozbieżna
ò-¥¥f(x)dx=ò-¥cf(x)dx+òc¥f(x)dx=F(¥)-F(-¥) ¬c. zbieżna gdy obie są zbieżne
ò@bf(x)dx=lim{a®a+}òabf(x)dx=lim{a®a+}(F(b)-F(a))=F(b)-F(a+)
òaff(x)dx=lim{b®b-}òabf(x)dx=F(b-)-F(a)
ò@ff(x)dx=ò@cf(x)dx+òcff(x)dx=F(b-)-F(a+)
òaÓbf(x)dx=òaÓf(x)dx+òÓbf(x)dx
DŁUGOŚĆ ŁUKU: |lAB|=òabÖ(x’(t)2+y’(t)2)dt
|P|=òaby(t)x’(t)dt
CAŁKI WIELOKROTNE:
przedział jest NIEZDEGENEROWANY«"kÎIn={1..n} ak<bk
ZDEGENEROWANY«ak<=bk i $i: ai=bi
OBJĘTOŚĆ PRZEDZIAŁU n- WYMIAROWEGO: vol P(n)=(b1-a1)(b2-a2)..(bn-an) dla zdegenerowanego vol P(n)=0, volF=0
TWORZYMY figurę utworzoną ze skończonej liczby przedziałów n- wymiarowych o wnętrzach parami rozłącznych. Objętość tej figury to suma objętości figur przedziałów. Figura jest WPISANA w G« zawiera się w tym zbiorze (OPISANA gdy zawiera zbiór G). Każda figura ma miarę wewnętrzną i zewnętrzną: zewnętrzna – kres dolny objętości wszystkich możliwych figur opisanych, wewnętrzna – kres górny wpisanych.
MIARA JORDANA: (zbiór ograniczony i niepusty) jeśli miara zewnętrzna = wewnętrznej ®ta wartość to miara Jordana |G| lub m(G) ®zbiór jest MIERZALNY
ZBIÓR NIEMIERZALNY w sensie Jordana ® zewnętrzna> wewnętrznej
jeśli G jest mierzalny to intG też i |G|=|intG| i |dG|=0 (|dG| - miara brzegu)
DEFINICJA ò n- WYMIAROWEJ: G- zbiór ograniczony, domknięty, mierzalny, f –ograniczona na G: Jeśli $ granica IÎR (skończona) dla wszystkich normalnych ciągów sum całkowych i przy dowolnym wyborze ciągów punktów pośrednich w elementach podziału to ta granica to òG fdm(n)
|òGf|<=òG|f|
Jeśli f jest ograniczona i ciągła (prawie wszędzie) na G to f jest CAŁKOWALNA na G
Jeśli obszar jest normalny w kierunku x i y to wynik całkowania nie zależy od przyjęcia wypukłości a do obliczania stosujemy dowolną iterację.
Uogólnieniem całkowania po obszarze normalnym jest całka po obszarze regularnym który jest sumą obszarów wypukłych w kierunku jakiejś osi o wnętrzach parami rozłącznych.
ZAMIANA WSPÓŁRZĘDNYCH PROSTOKĄTNYCH NA BIEGUNOWE: x=r*cosj, y=r*sinj, J=|dx/dr,dx/dj¿dy/dr,dy/dj| òòDf(x,y)dxdy=òòDf(r*cosj,r*sinj)r*djdr (D- obszar regularny i domknięty)
ZAMIANA WSPÓŁRZĘDNYCH PROSTOKĄTNYCH NA SFERYCZNE: j- kąt poziomy, Q- kąt od cienia do promienia: x=r*cosjcosQ, y=r*sinjcosQ, z=r*sinQ, J=r2*cosQ
MASA: mD=ògmdm, MOMENT STATYCZNY: MF=òDejd(x,F)dm, MOMENT BEZWŁADNOŚCI: BF=òDjd(x,F)dm, PARCIE CIECZY F=gòòDd((x,y),l)dxdy, PRACA NA WYPOMPOWANIE CIECZY: L=gòòòDd((x,y,z),H), ŚRODEK CIĘŻKOŚCI: (Xs,Ys,Zs):
Xs=(òDgxdm)/(òDgdm)
DEF ŁUKU REGULARNEGO: łuk regularny o początkach A i B K=AB to HONOGRAF (obraz) funkcji wektorowej r: tÎ<ab>®r(t)=[x(t),y(t),z(t)]ÎR3(2) dla z(t)=0®łuk płaski
F wektorowa r określa jednoznacznie uporządkowanie punktów (orientację) na honografie
KRZYWA jest ZAMNIĘTA jeśli r(a)=r(b) i r jest różnowartościowa w przedziałach <a,b) lub (a,b>
KRZYWA KAWAŁKAMI REGULARNA: skończona suma łuków regularnych (łamana): koniec jednego = początek drugiego
DEF CAŁKI KRZYWOLINIOWEJ: Jeśli $! rzeczywista liczba taka, że jest granicą dowolnego ciągu sum całkowych Sn I=lim {n®¥, dn®0} Sn przy normalnym ciągu podziału łuku i niezależnie od wyboru punktów pośrednich Ak to nazywamy ją wartością całki krzywoliniowej
òK=AB Wodl INTERPRETACJA: praca potrzebna na przeniesienie jednostkowej masy wzdłuż łuku K przy działaniu siły W. Gdy K jest zamknięta to ò ta to cyrkulacja pola W wzdłuż krzywej K
òK=ABf(x,y,z)dl=òabf|K=AB |r’(t)|dt=òabf|K=ABÖ(x’(t)2+y’(t)2+z’(t)2)dt
òK=ABWo...
marcza1