Analiza stateczności słupów stalowych obiążonych ściskaniem zmiennym w czasie.pdf

(258 KB) Pobierz
Microsoft Word - Ignatowicz_Kubica_got.doc
XLVIII KONFERENCJA NAUKOWA
KOMITETU INŻ YNIERII LĄ DOWEJ I WODNEJ PAN
I KOMITETU NAUKI PZITB
Opole – Krynica
2002
Rajmund Leszek IGNATOWICZ 1
Ernest KUBICA 2
ANALIZA STATECZNOŚ CI SŁ UPÓ W STALOWYCH
OBCIĄŻ ONYCH Ś CISKANIEM ZMIENNYM W CZASIE
1. Wprowadzenie
Współczesne metody obliczania konstrukcji stalowych, ujęte w formie przepisó w i wytycz-
nych w normatywach krajowych i europejskich, dotyczą analiz konstrukcji dla obciążeń o
charakterze quasi-statycznym. Pojawienie się w konstrukcji oddziaływań dynamicznych np.
ś ciskanie słupa siłą wzrastają cą w czasie, nie pozwala na wyznaczenie współczynnikó w
niestatecznoś ci ogó lnej j z zależ noś ci zawartych w opracowaniach [1], [6], [8], [9]. Wartość
krytyczna obciążenia zależ y od jego przebiegu [3], [7], jest inna dla obciążeń szybkozmien-
nych, inna w przypadku obciążeń mają cych charakter wolnozmienny. W pracy podjęto pró bę
wyznaczenia ś cież ki równowagi dynamicznej supa stalowego obciążonego ś ciskaniem
zmiennym w czasie. W celu uproszczenia analiz teoretycznych i numerycznych, przyj ęto
założ enie, ż e przekró j poprzeczny słupa jest w klasie 1 wg kryterió w zawartych w polskiej
normie [9].
a.
wybuch
b.
awaryjne napełnianie
zbiornika buforowego
Rys. 1. Wybrane przykłady obciążeń szybko (a) i wolno zmiennych (b)
1 Dr inż ., Wydział Budownictwa Lą dowego i Wodnego Politechniki Wrocławskiej
2 Dr hab. inż ., Prof. PWr, Wydział Budownictwa Lą dowego i Wodnego Politechniki Wrocławskiej
76290663.029.png 76290663.030.png 76290663.031.png 76290663.032.png 76290663.001.png 76290663.002.png
54
Wyboczenie dynamiczne pręta jest stanem ruchu, podczas któ rego ugięcia wykazują tenden-
cję nieograniczonego wzrostu. Ruch ten został wzbudzony ś ciskaniem podłuż nym.
Pochodzenie siły ś ciskają cej dynamicznie pręt moż e być rezultatem uderzenia pewnego
ciała sztywnego i nazywa się to wyboczeniem uderzeniowym. Siła ś ciskają ca moż e pocho-
dzić od fali ciś nienia (np. po wybuchu), wó wczas obciążenie wzrasta do wartoś ci maksymal-
nej w okreś lonym czasie (rys.1).
Wzbudzenie ruchu poprzecznego przez obciążenie wzrastają ce w czasie wymaga ist-
nienia pewnych czynnikó w inicjują cych tzn.: wstępnego wygięcia, mimoś rodowoś ci siły
ś ciskają cej, niejednorodnoś ci materiałowej, imperfekcji strukturalnych itp. W rozważ aniach
analitycznych najczęś ciej uwzględnia się tylko jeden z tych czynnikó w, mianowicie odstęp-
stwo od prostoliniowoś ci osi geometrycznej pręta.
Współczesne badania ś wiatowe dotyczą analiz konstrukcji pod obciążeniami typu uda-
rowego tzn. obciążenia typu kró tkotrwałego impulsu [3], [5].
2. Schemat statyczny i obciążenie słupa
Analiza dotyczy zachowania się pręta zginanego siłą ś ciskają cą w kierunku osiowym z po-
minięciem sił bezwładnoś ci w tym kierunku. Pomija się w ten sposó b problem drgań po-
dłuż nych, a więc sprzęż eń , jakie w rzeczywistoś ci istnieją pomiędzy ruchem poprzecznym i
podłuż nym. Przyjęcie takiego założ enia jest moż liwe, gdy są spełnione dwa warunki [3].
Pierwszy z nich stanowi, ż e obliczenia dotyczą wyłą cznie późniejszej fazy ruchu (stłumienie
drgań podłuż nych) [7], [3], [5], zaś dominują cą formą ruchu stały się quasi-stacionarne drga-
nia giętne. To oczywiś cie moż na sprowadzić do przyjęcia intensywnego tłumienia we-
wnętrznego (cecha większoś ci materiałó w konstrukcyjnych). Drugi warunek dotyczy obcią -
ż enia tzn. obciążenie musi działać przez dostatecznie długi czas i zmieniać się stosunkowo
powoli; przyrost obciążenia w czasie ró wnym okresowi drgań podłuż nych pręta powinien
być mały wobec wartoś ci maksymalnej.
Pominięcie w rozważ aniach bezwładnoś ci osiowej znacznie upraszcza analizę, pozwa-
lają c sprowadzić problem z układu ró wnań różniczkowych do ró wnania o pochodnych czą st-
kowych ze współczynnikiem funkcyjnym.
Zakłada się, ż e materiał podlega prawu Hooke’a – rozwią zanie dotyczy tylko obszaru
spręż ystego. Przyjęto następują ce falowe ró wnanie różniczkowe drgań giętnych pręta ś ci-
skanego (model Bernoulliego-Eurela):
4
w
2
w
2
w
4
w
+
e
+
=
0
(1)
x
4
x
2
t
2
x
4
gdzie:
w
(
x,t
)
=
w
(
x,t
)/
L
;
x
=
x
/
L
;
t
=
t
E
J
;
e
=
N
(
t
)
;
x
˛
[
0
);
t
‡
0;
2
L
ρ
F
E
F
L - długość pręta, t - czas, E - współczynnik spręż ystoś ci podłuż nej, J - moment bezwładno-
ś ci przekroju słupa, r - cięż ar objętoś ciowy materiału, F - pole przekroju słupa.
Pierwsze sformułowanie zagadnienia statecznoś ci dynamicznej pręta, o przyrastają cym
w czasie skró ceniu podał Hoff [3] uzyskują c rozwią zanie asymptotyczne, któ re zostało roz-
wią zane z większą dokładnoś cią przez Schoenberg’a [3].
76290663.003.png
55
N[t]
D = s t
f o
Rys. 2. Model statyczny słupa
W analizie przyjęto schemat statyczny jak na rys.2, zaś funkcje przemieszczeń w posta-
ci następują cych wyraż eń :
l = L/r
w
(
x
,
t
)
=
r
f
m
( ) (
t
sin
m
π
x
)
,
(2)
w
0
(
x
)
=
r
f
o
sin
(
m
p
x
)
,
(3)
x .
Rozpatrują c zachowanie się pręta dwuprzegubowego z wygię ci em wstępnym, obcią ż o-
nego siłą ś ciskają cą powodują cą jednostajne zbliż anie koń có w (
˛
(
0
1
D
=
s
t
, gdzie s - stała),
moż na skró cenie słupa wyrazić wzorem:
m
π
2
(
)
.
(4)
e
(
t
)
=
s
t
-
Ł
ł
f
(
t
)
-
f
2
2λ
m
0
Podstawiają c powyż sze wzory (2), (3) do ró wnania (1) i odpowiednio przekształcają c
otrzymuje się następują ce ró wnanie ró wnowagi [3],[7]:
..
Ø
m
2
(
)
2
2
2
2
4
,
(5)
f
+
m
Ω
º
m
-
τ
+
f
-
f
ß
f
=
m
Ω
f
m
4
m
o
m
0
c
2
p
2
l
2
s
t
d
2
f
..
gdzie:
W
=
Ł
ł
;
τ
=
Ł
ł
;
f
=
m
;
c
=
E
r
.
s
l
2
p
L
m
d
t
2
Ró wnanie (5) jest ró wnaniem nieliniowym ze współczynnikiem funkcyjnym i z tego
powodu nie ma rozwią zania zamkniętego. Rozwią zania ró wnania (5) moż na poszukiwać za
pomocą rozwią zań asymptotycznych jak to uczynił Hoff [3]. Druga moż liwość, to nume-
ryczne całkowanie ró wnania (5) np. metodą Rungego-Kutty. Taką drogę przyjęto w pracy
rozwią zują c zagadnienie numerycznie w zintegrowanym ś rodowisku modelowania matema-
tycznego programu Mathematica v.3.0 [10] dla każ dego przypadku osobno.
Poszukiwanie siły krytycznej dla słupa obciążonego ś ciskaniem w sposó b powyż ej opi-
sany, obarczonego wstępnym wygięciem w o (t) nie jest moż liwe przy takim sformułowaniu
zagadnienia. Jest to zagadnienie teorii II rzędu. Warunki rzeczywistej pracy słupó w o duż ych
gdzie: r – promień bezwładnoś ci przekroju poprzecznego pręta,
ø
76290663.004.png 76290663.005.png 76290663.006.png 76290663.007.png
56
smukłoś ciach zmuszają do analizy pręta z wstępnym wygięciem, bowiem w istotny sposó b
wpływa ono na przebieg ś cież ki ró wnowagi i wartość maksymalnego obcią ż enia.
Zagadnienie to moż na ograniczyć do takich wartoś ci sił osiowych przy któ rych pojawia
pierwsze gwałtowne przejś cie ze stanu spoczynku w wyraźny ruch drgają cy. Przy znanym
przebiegu funkcji f m (t) moż liwe staje się wyznaczenie pierwszego lokalnego maksimum sił
osiowych z zależ noś ci:
m
p
2
(
)
N
( )
=
E
F
Ł
s
t
-
Ł
ł
f
(
t
)
2
-
f
2
ł
,
(6)
2
l
m
0
co moż na uznać za tzw. umowną ,,siłę krytyczną ’’.
Tak opracowany algorytm rozwią zywania pozwala sporzą dzić procedurę obliczeniową
w programie Mathematica v.3.0 [10]. Przykładowe schematyczne zależ noś ci do wyznaczenia
tzw. "umownych parametró w krytycznych" pokazano na rys. 3.
f m ( t )
N m ( t )/ N kr
f m stat. / f m dyn
0.005
1
4
3
rozwiazanie
statyczne
2
1
t
t
t
1.0
1
1
a)
b)
c)
Rys. 3. Przykładowo wyznaczone zależ noś ci uzyskane drogą numerycznego całkowania
ró wnania (5): a) przemieszczenia względne ś rodka słupa f m (t), b) zależ ność siły osiowej
N m (t), c) stosunek przemieszczeń statycznych do dynamicznych, w funkcji umownego czasu
Na podstawie tak sporzą dzonych wykresó w wykonano obliczenia słupó w o różnych
smukłoś ciach, dla różnych wielkoś ci wygięć wstępnych. Obliczenia wykonano dla wybra-
nych prędkoś ci przyrostu siły ś ciskają cej.
3. Wybrane wyniki analiz teoretycznych i numerycznych
W pierwszym kroku analiz podjęto pró bę okreś lenia wielkoś ci wpływu wstępnego wygięcia na
wielkość maksymalnej siły osiowej. Na rys. 4 pokazano zależ ność N m (t) dla ró ż nych wielkoś ci
wygięcia wstępnego pręta o smukłoś ci l = 250 i prędkoś ci przyrostu skró cenia koń có w s =
0,0002. Wyraźnie widać, ż e im większa strzałka wstępnego wygięcia tym mniejsza wartość
maksymalnej siły osiowej, jednak w każ dym przypadku jest ona większa niż wartość siły kry-
tycznej dla obciążeń statycznych. Całe zjawisko ma bezpoś rednie przełoż enie na chwilową
sztywność słupa. Na rys. 5 poró wnano przemieszczenia ś rodka słupa dla obciążeń zmiennych i
quasi-statycznych. Moż na stwierdzić, ż e przemieszczenia dla obciążeń dynamicznych są nawet
kilkakrotnie mniejsze od swoich odpowiednikó w dla obciążeń statycznych.
t
76290663.008.png 76290663.009.png 76290663.010.png 76290663.011.png
 
57
fo =1/1000
N m ( t )/ N kr
fo =1/500
1.2
fo =1/250
1.0
0.8
l = 250
s = 0,00021
N [ t ]
0.6
f m [ t ]
0.4
0.2
t
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
Rys. 4. Zależ ność maksymalnej siły osiowej od wielkoś ci począ tkowego wygięcia
dla słupa o smukłoś ci prętowej l = 250.
f m stat. / f m dyn.
3
fo=1/1000
N[ t ]
l = 250
s = 0,00021
f m [ t ]
2
fo=1/500
fo=1/250
1
t
1
1.4
Rys. 5. Poró wnanie ugięć statycznych i dynamicznych dla słupa
o smukłoś ci prętowej l = 250
76290663.012.png 76290663.013.png 76290663.014.png 76290663.015.png 76290663.016.png 76290663.017.png 76290663.018.png 76290663.019.png 76290663.020.png 76290663.021.png 76290663.022.png 76290663.023.png 76290663.024.png 76290663.025.png 76290663.026.png 76290663.027.png 76290663.028.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin