zmiennoprzecinkowe_v07.pdf

LICZBY ZMIENNOPRZECINKOWE

Liczby zmiennoprzecinkowe są komputerową reprezentacją liczb rzeczywistych zapisanych w formie wykładniczej

(naukowej). Aby uprościć arytmetykę na nich, przyjęto ograniczenia zakresu mantysy i eksponenty oraz wprowadzono

inne założenia, które reguluje norma IEEE 754 (dla liczb zapisanych w kodzie dwójkowym).

Liczbę zapisuje się jako ciąg zer i jedynek przyjmując umowny podział na “pola”:

w jednostce zmiennoprzecinkowej

G R X/S

znak wykładnik w kodzie spolaryzowanym

ułamek

bity specjalne

podział liczby zmiennoprzecinkowej na pola

S – znak, jest zawsze jedno bitowy i ma wartość 0 jeśli liczba jest dodatnia lub 1 jeśli jest ujemna

E – wykładnik (inaczej: eksponent, cecha), ma długość zależną od długości całej liczby i kodowane jest w kodzie

2 k- 1 -1

M – moduł (inaczej mantysa) ułamka. Ma wartość z przedziału [1,2). Zapisuje się go bez poprzedzającej go jedynki

z kropką (tzw. bit ukryty). Innymi słowy, zapisujemy jedynie część ułamkową modułu przyjmując, że zawsze

(pomijając wyjątki, o których później) część całkowita wynosi 1.

Bity specjalne występują jedynie w wewnętrznej reprezentacji liczy w jednostce zmiennoprzecinkowej

i wykorzystywane są do zniwelowania efektu utraty dokładności przy wykonywaniu działań, przez zaokrąglenie.

Zarówno liczba wejściowa jak i wyjściowa takiego układu nie posiada tych bitów. Oznacza to, że liczby 32/64/128

bitowe, w jednostce zmiennoprzecinkowej, po uzupełnieniu bitami specjalnymi, maja długość odpowiednio 35/67/131

bitów. Bity te są używane tylko dla pojedynczej operacji arytmetycznej po czym wykonywane jest zaokrąglenie.

Mówiąc inaczej, w szeregu operacji arytmetycznych, po każdej pojedynczej operacji następuje zaokrąglenie

porzucenie bitów GRX (gdyż nie ma na nie miejsca poza jednostką zmiennoprzecinkową),

G – bit ochrony (guard)

R – bit zaokrąglenia (round)

X – bit obecności zer na wszystkich pozycjach mniej znaczących od R (sticky)

rozmiar liczby wykładnik E moduł ułamka M nazwa

single

double

128

111

extended

długości poszczególnych pól (w bitach)

Wartość reprezentowaną przez liczbę określa się wg wzoru:

x = S −1 ⋅ M ⋅2 E

PRZYKŁADY:

a) 0 0100 0100 111 1100 1010 0010 0111 1100 = 1,111110010100 01001111100⋅2 −59

= 1 ⋅1,8168060 ⋅2 −59

DŁUGOŚĆ: 32 bity

s (1 bit) = 0 (liczba dodatnia)

E (8 bit) = 0100 0100 = 68-127= -59

M = 1,111 1100 1010 0010 0111 1100 2 = 1,8168060 10

b) 1 0100 0100 111 1100 1010 0010 0111 1100 = −1,11111001010 001001111100⋅2 −59

−1 ⋅1,8168060 ⋅2 −59

DŁUGOŚĆ: 32 bity

s (1 bit) = 1 (liczba ujemna)

E (8 bit) = 0100 0100 = 68-127= -59

M = 1,111 1100 1010 0010 0111 1100 2 = 1,8168060 10

c) 0 0111 1111 000 0000 0000 0000 0000 0000 = 1 ⋅1,0 ⋅2 0

= 1

DŁUGOŚĆ: 32 bity

s (1 bit) = 0 (liczba dodatnia)

E (8 bit) = 0111 1111 = 127-127 = 0

M = 1,000 0000 0000 0000 0000 0000 2 = 1,0 10

Krzysztof Adamski :: http://mr-k.namyslow.eu.org/

TIPS & TRICKS

czyli jak ułatwić sobie życie (czytaj: obliczenia)

Przekodowanie liczb w systemie 2

k-1

-1 na U2

Po co? Ano dla tego, że kochamy U2, w nim wszystko jest proste i traktujemy ten kod prawie tak samo naturalnie jak

zwykły dziesiętny.

Co nam to ułatwi? Np. dzielenie przez dwa wykonywane przy pierwiastkowaniu.

Więc do rzeczy... Przekodowanie liczby z zachowaniem znaku jest trudniejsze a nam zachowanie znaku nie jest

potrzebne (jak dodamy/odejmiemy dwie liczby ujemne lub podzielimy liczbę ujemna a potem zmienimy znów znak to

co do modułu utrzymamy ten sam wynik) więc będziemy przekodowywać ze zmianą znaku.

Sprawa jest niezwykle banalna – należy zanegować wszystkie bity poza najstarszym (najmniej znaczącym albo, jak kto

woli, tym najbardziej na lewo). Oto przykład:

2 k-1 -1

U2 (liczba przeciwna)

10+127=137 10 = 1 0001001

1 1110110 U2 =-10 10

-25

-25+127=102 10 = 0 1100110

0 0011001 U2 =25 10

0+127=127 10 = 0 1111111

0 0000000 U2 =0 10

Zmiana znaku liczb w systemie 2

k-1

-1:

Jak zostało pokazane powyżej, negacja wszystkich bitów poza najstarszym zmienia liczbę na U2 o przeciwnym znaku.

Operacja odwrotna również zmienia znak więc możemy wykonać następujący algorytm:

– przekodowanie liczby na U2 (negacja wszystkich bitów poza pierwszym)

– zmiana znaku (negacja wszystkich bitów i dodanie 1)

– przekodowanie na 2 k-1 -1 (negacja wszystkich bitów poza pierwszym)

Algorytm ten można jednak zoptymalizować. Pierwszy bit zanegowany jest raz a wszystkie pozostałe 3 krotnie.

Podwójne zanegowanie nie daje żadnego rezultatu więc ostatecznie wszystkie bity są negowane tylko raz. Po

przekodowaniu na U2 dodajemy jedynkę a później negujemy więc w ostatecznym rozrachunku jedynka ta jest

odejmowana. Po uwzględnieniu tych faktów napisać można zoptymalizowany algorytm:

– zanegować wszystkie bity

– odjąć 1 od najmłodszego bitu

Przykład:

2 k-1 -1

zanegowana

odjęte 1

10+127=137 10 =10001001

01110110

01110101=117-127 = -10 10

-25

-25+127=102 10 =01100110

10011001

10011000=152-127 = 25 10

0+127=127 10 =01111111

10000000

01111111=127-127 = 2 10

sposób 2:

W systemie z obciążeniem wartość powiększona jest o liczbę O (będącą właśnie tym obciążeniem). W związku z tym

nasza liczba x przedstawiona jest jako:

E = x + O

My chcemy znaleźć liczbę -x na podstawie danej nam liczby E i zapisać ją również w z obciążeniem. Szukana przez nas

wartość powinna wynosić:

-x + O = -(x + O) + 2O = -E + 2O = 2O – E

Wynika z tego, że aby zmienić znak liczby w kodzie z obciążeniem musimy ją odjąć od podwojonego obciążenia.

Brzmi to trudniej niż jest w rzeczywistości. Dla liczb zmiennoprzecinkowych używamy obciążenia 2 k-1 -1 (gdzie k to

liczba bitów przypadających na eksponentę. Dla standardu pojedynczej precyzji (8 bit na wykłądnik) obciążenie

O=127 10 =01111111 2 . Pomnożenie liczby przez 2 to przesunięcie jej o jedną pozycję w lewo więc 2O=11111110 2 . I od

tej liczby należy odjąć naszą wartość obciążoną by dostać jej wartość przeciwną.

Krzysztof Adamski :: http://mr-k.namyslow.eu.org/

KODY SPECJALNE

Do pewnych specjalnych zastosowań zarezerwowano kody, w których wykładnik ma wartość minimalną (same zera)

lub maksymalną (same jedynki).

ZERO:

Ponieważ przy założeniu, że mantysa jest znormalizowana (ma wartość z przedziału [1,2)), nie da się zapisać zera, na tą

liczbę zarezerwowano specjalne kody, w których wszystkie bity poza pierwszym (S) są zerami.

Wyróżnia się więc zero dodatnie (przykład dla liczb 32-bitowych):

+0 = 0 0000 0000 000 0000 0000 0000 0000 0000

I zero ujemne (przykład dla liczb 32-bitowych):

-0 = 1 0000 0000 000 0000 0000 0000 0000 0000

LICZBY BLISKIE ZERU:

Kolejną konsekwencją normalizacji mantysy jest to, że nie da się zapisać liczb z przedziału (-2 Emin , +2 Emin ). Na potrzeby

tych liczb, zarezerwowano kody, w których wykładnik jest równy zero ale mantysa jest różna od zera. W przypadku

tych liczb, przyjmuje się, że mantysa ma bit ukryty równy 0 a nie 1 ( 0<M<1 ), wykładnik jest natomiast równy -2 k-1 +2.

Przykłady:

a) 0 0000 0000 111 1100 1010 0010 0111 1100 = 1⋅0,8168060⋅2 −126

M = 0 ,111 1100 1010 0010 0111 1100 2 = 0 ,8168060 10

E (8 bit) = 0000 0000 = -126 !!

a) 1 0000 0000 111 1100 1010 0010 0111 1100 = −1⋅0,8168060⋅2 −126

M = 0 ,111 1100 1010 0010 0111 1100 2 = 0 ,8168060 10

E (8 bit) = 0000 0000 = -126

NIE-LICZBY:

Nie-liczby (NaN – Not A Number) to kody reprezentujące wyniki niedające się zakodować w postaci liczby

zmiennoprzecinkowej (np. wynik pierwiastkowania kwadratowego liczby ujemnej).

Nie-liczbę kodujemy za pomocą liczby z wykładnikiem składającym się z samych jedynek i modułem różnym od zera.

Wyróżnia się nie-liczby ciche (QNaN) wytwarzane sprzętowo oraz nie-liczby sygnalizacyjne (SNaN) generowane

w programie obsługi wyjątku. Pierwsze charakteryzują się kodem ułamka zaczynającym się od 1xxxx a drugie kodem

ułamka zaczynającym się od 0xxxx.

Przykład kodów NaN (dla liczb 32-bitowych):

1 1111 1111 111 1111 1111 1111 1111 1111 (QNaN)

0 1111 1111 000 0000 0000 0000 0000 0001 (SNaN)

NIESKOŃCZONOŚCI :

Za pomocą liczb zmiennoprzecinkowych można również zakodować nieskończoności. Kodem zarezerwowanym dla

tych wartości jest wykładnik składający się z samych jedynek i moduł z samych zer.

Wyróżnia się minus nieskończoność (przykład dla kodu 32-bitowego):

-∞ = 1 1111 1111 000 0000 0000 0000 0000 0000

Plus nieskończoność (przykład dla kodu 32-bitowego):

∞ = 0 1111 1111 000 0000 0000 0000 0000 0000

PODSUMOWANIE:

Wykładnik

Mantysa

Rodzaj liczby

00....00

zero

00....00

Liczby bliskie zeru

11....11

1x....xx

QNaN

11....11

0x....xx

SNaN

11....11

00....00

Nieskończoność

Krzysztof Adamski :: http://mr-k.namyslow.eu.org/

DZIAŁANIA ARYTMETYCZNE NA LICZBACH ZMIENNOPRZECINKOWYCH

Aby zrozumieć algorytmy działań arytmetycznych na liczbach zmiennoprzecinkowych należy wyobrazić je sobie

w postaci wykładniczej:

x=M*B E

i odnieść się do praw arytmetyki działających na liczbach takiej postaci.

DODAWANIE/ODEJMOWANIE:

Z postaci liczb zmiennoprzecinkowych wynika lekka komplikacja przy operacjach dodawania/odejmowania. Aby je

wykonać należy najpierw sprowadzi składniki do wspólnego wykładnika. Weźmy dwie liczby:

x 1 =M 1 *B E1

x 2 =M 2 *B E2

Jako, że dodawanie jest przemienne (a odejmowanie to też dodawanie) przyjmijmy, że E1>E2. Wynik otrzymujemy wg

wzoru:

x 1 ± x 2 = M 1 *B E1 ± M 2 *B E2 = (M 1 *B E1-E2 ± M 2 )*B E2

Jak to zrobić na papierze:

1. Wyrównaj wykładniki:

○ Wykładniki muszą być równe więc jeden ze składników sumy musi zostać przeskalowany. Oczywiście

zależy nam na jak najmniejszej utracie dokładności więc powinniśmy tracić najmniej znaczące bity co

implikuje przesuwanie mantysy w prawo co wymusza zrównanie wykładnika liczby mniejszej do

większej.

○ Przesunięcie mantysy o jeden bit w prawo równoważymy dodaniem 1 do wykładnika.

○ Należy pamiętać o bicie ukrytym.

2. Dodaj mantysy:

○ Skoro wykładniki są sobie równe możemy śmiało dodać mantysy, pamiętając o bicie ukrytym .

3. Znormalizuj wynik:

○ Jak już wspomniałem może się okazać koniecznym znormalizowanie wyniku co będzie oznaczać

przesunięcie mantysy w prawo (zwiększając wykładnik) bądź w lewo (zmniejszając wykładnik).

4. Zapisz wynik:

○ Pamiętaj o ukryciu bitu.

MNOŻENIE:

W przeciwieństwie do dodawania/odejmowania mnożenie liczb w postaci zmiennoprzecinkowej jest banalne. Dla liczb:

x 1 =M 1 *B E1

x 2 =M 2 *B E2

wynik mnożenia wynosi:

x 1 *x 2 = (M 1 *B E1 ) * (M 2 *B E2 ) = (M 1 *M 2 )*(B E1 *B E2 ) = (M 1 *M 2 )*B E1+E2

Jak to zrobić na papierze:

1. Wymnóż mantysy:

○ Pamiętaj o bicie ukrytym.

2. Dodaj wykładniki:

○ Wykładniki są zapisane w systemie spolaryzowanym co oznacza, że po ich zsumowaniu w wyniku

otrzymamy podwójne obciążenie co wymaga korekcji (przez odjęcie obiciążenia).

3. Znormalizuj wynik:

○ Przesunięcie mantysy w prawo (zwiększenie wykładnika) bądź w lewo (zmniejszenie wykładnika).

4. Zapisz wynik:

○ Pamiętaj o ukryciu bitu.

DZIELENIE:

Dzielenie jest bardzo podobne do mnożenia:

x 1 /x 2 = (M 1 *B E1 ) / (M 2 *B E2 ) = (M 1 /M 2 )*(B E1 / B E2 ) = (M 1 / M 2 )*B E1-E2

Jak to zrobić to na papierze:

1. Podziel mantysy:

○ Pamiętaj o bicie ukrytym.

2. Odejmij wykładniki:

Krzysztof Adamski :: http://mr-k.namyslow.eu.org/

○ Wykładniki są zapisane w systemie spolaryzowanym co oznacza, że po ich odjęciu w wyniku otrzymamy

wynik bez obciążenia co wymaga korekcji (przez dodanie obciążenia).

3. Znormalizuj wynik:

○ Przesunięcie mantysy w prawo (zwiększenie wykładnika) bądź w lewo (zmniejszenie wykładnika).

4. Zapisz wynik:

○ Pamiętaj o ukryciu bitu.

OBLICZANIE ODWROTNOŚCI:

Weźmy liczbę:

x=M*B E

jej odwrotność wynosi:

1/x = x -1 = (M*B E ) -1 = M -1 * B -E = 1/M * B -E

Wynika z tego, że musimy osobno obliczyć odwrotność M i B E . Policzenie odwrotności ostatniej nie powinno stanowić

problemu ponieważ polega jedynie na zmianie znaku wykładnika (opisane wcześniej). Trochę gorzej jest

z odwrotnością mantysy.

Aby obliczyć odwrotność mantysy wykorzystamy własność: 1 x  −1 ≈1− x dla x ≈0

Nasza mantysa jest liczbą w postaci 1+X (gdzie X to odczytana wprost wartość mantysy bez uwzględnienia ukrytej

jedynki). Możemy więc rozpatrzyć z osobna dwa przypadki:

● X ≈0 :

Jeśli tak to możemy bezpośrednio skorzystać z podanego wyżej prawa i zapisać

M -1 =(1+X) =1 =1-X

Obliczenie odwrotności możemy więc obliczyć w 3 krokach:

– negacja wszystkich bitów mantysy

– dodanie 1 na najmłodszym bicie

– normalizacja otrzymanej odwrotności (otrzymamy liczbę w postaci 0,xxxx więc trzeba przeskalować ją do postaci

1,xxxx jednocześnie odpowiednio zmniejszając wykładnik)

● X ≈1

W takim wypadku możemy mantysę zapisać w postaci 2-X zamiast 1+X , w związku z tym nasza liczba ma wartość:

2− X ⋅2 E =2⋅1− X ⋅2 E =1− X ⋅2 E 1

A jej odwrotność:

[1− X ⋅2 E 1 ] −1 =1 X ⋅2 − E 1

Wynika z tego również, że liczba wynikowa będzie już znormalizowana. Dla nas oznacza to jednak, że aby obliczyć

odwrotność mantysy musimy jedynie:

– podzielić mantysę przez 2 (przesunąć o jedną pozycję w prawo) uwzględniając bit ukryty

– dodaj 2 do mantysy i zaneguj ją

– w wyniku otrzymujemy liczbę postaci 1,xxxx więc nie potrzebna jest normalizacja.

Poznane metody są przybliżonymi i będą sprawdzać się jedynie przy liczbach bliskich minimum i maksimum wartości

mantysy. W innych nie możemy ich stosować ale na dziś nie chce mi się więcej pisać.

OBLICZANIE PIERWIASTKA KWADRATOWEGO:

Liczby zmiennoprzecinkowe mają za zadanie przechowywać liczby rzeczywiste więc pierwiastkowanie liczb ujemnych

jest niewykonalne. W związku z tym, pierwszy bit (bit znaku S) powinien być równy 0. W przeciwnym wypadku

wynikiem działania będzie zawsze NaN. Jego postać zależy od implementacji.

W przypad ku, gd y wykładnik jest parzysty sprawa jest prosta:

 M ⋅ B 2n =  M ⋅ B n

Gorzej jest gdy wykładnik nie jest parzysty ponieważ nie możemy łatwo spierwiastkować B E. . W takim wypadku

możemy przeskalować mantysę zmniejszając lub zwiększając wykładnik o jeden (dzięki czemu będzie on parzysty).

Lepszym pomysłem jest zmniejszenie wykładnika dzięki czemu w wyniku pierwiastkowania otrzymamy już liczbę

znormalizowaną i nie trzeba będzie jej znów skalować.

Przykłady:

a)  0 0100 0100 111 1100 1010 0010 0111 1100 =  1,111 1100 1010 0010 0111 1100 ⋅2 −59

Wartość liczby zmiennoprzecinkowej:

E (8 bit) = 0100 0100 = 68-127= -59

M = 1,111 1100 1010 0010 0111 1100

Wykładnik jest nieparzysty co oznacza, że nie możemy z niego łatwo wyciągnąć pierwiastka więc przeskalujemy mantysę.

Krzysztof Adamski :: http://mr-k.namyslow.eu.org/

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: