regulatory.doc

ANALIZA PRACY JEDNOWYMIAROWEGO UKŁADU REGULACJI AUTOMATYCZNEJ

              Układem regulacji automatycznej nazywamy układ sterowania ze sprzężeniem zwrotnym, który (bez ingerencji człowieka — w przeciwnym razie byłby to układ regulacji ręcznej) ma za zadanie realizacje. odpowiednich przebiegów jednej lub kilku wielkości charakteryzujących proces, zwanych wielkościami regulowanymi.

              Schemat blokowy układu regulacji automatycznej składa się z członu o transmitancji reprezentującego obiekt regulacji i członu o transmitancji reprezentującego regulator.

Rys. Różne postacie schematu blokowego jednowymiarowego układu regulacji
automatycznej: a) postać ogólna; b) uwzględnienie transmitancji od zakłóceń

              Obiektem regulacji (krótko obiektem) nazywamy proces technologiczny lub urządzenie, w którym zachodzi proces podlegający regulacji, a regulatorem - urządzenie, które poprzez odpowiednią zmianę wielkości sterującej (sterowania) x(t) dąży do utrzymania wymaganej zmienności wielkości regulowanej y(t). Porównanie wielkości regulowanej y(t) z jej wartością zadaną y0(t) (wielkością zadającą lub wielkością odniesienia) dokonuje się w węźle sumacyjnym. Różnicę nazywamy uchybem regulacji. Układ regulacji pracuje dobrze, jeżeli mimo działających na obiekt zakłóceń , , ..., uchyb regulacji e(t) jest możliwie mały (teoretycznie równy zeru). Wprowadzając transmitancje operatorowe , , ..., dla poszczególnych zakłóceń , , ..., możemy schemat blokowy tego układu przedstawić w postaci podanej na rys. b.

              Ze schematu tego wynika następująca zależność między transformatami uchybu regulacji E(s), wartości zadanej wielkości regulowanej i zakłóceń , , ...,

Skąd mamy

przy czym

jest transmitancją układu otwartego (układu z przerwaną pętlą sprzężenia zwrotnego), zaś

- transmitancją uchybową, określaną jako stosunek transformaty E(s) do przy braku zakłóceń i zerowych warunkach początkowych i wreszcie

- transmitancją zakłóceniową (w układzie zamkniętym) określoną jako stosunek transformaty E(s) do dla i zerowych warunków początkowych.

Ze wzoru

wynika, że dla dowolnej wartości i dowolnych zakłóceń , , ..., uchyb regulacji jest równy zeru, jeżeli . Wymaga to nieskończenie wielkiego współczynnika wzmocnienia układu otwartego. Przy wzroście tego współczynnika zwykle układy przechodzą ze stanu stabilnego do stanu niestabilnego. Projektant układu regulacji automatycznej musi zatem znaleźć rozwiązanie kompromisowe miedzy wymaganiami dokładności i stabilności regulacji.

              Miarą dokładności statycznej (dokładności w stanie ustalonym) układu są wartości uchybu regulacji w stanie ustalonym.

              Uchyb regulacji e(t) wywołany przez można przedstawić w otoczeniu punktu jako sumę szeregu nieskończonego o postaci

przy czym

nazywamy współczynnikami uchybowymi.

              Rozwijając w szereg Maclaurina transmitancję uchybową

i podstawiając do zależności:

dla otrzymamy:

Wzór:

jest oryginałem zależności:

,

słusznej w otoczeniu punktu .

              Wartości ustalone uchybu regulacji można również wyznaczyć na podstawie E(s) korzystając ze wzoru

wynikającego z twierdzenia o wartości końcowej obowiązującego w rachunku operatorowym.

              Układami statycznymi nazywamy układy, których transmitancja układu otwartego nie ma biegunów zerowych, a układami astatycznymi - układy, których transmitancja ta ma przynajmniej jednokrotny biegun zerowy. Rozróżnia się pojęcie statyzmu (lub astatyzmu) względem wartości zadanej i względem zakłóceń. Różnica w sformułowaniach wynika z różnych postaci transmitancji uchybowej

względem wartości zadanej i transmitancji zakłóceniowej

względem zakłóceń. Stopniem astatyzmu układu nazywamy krotność bieguna zerowego. Układ zamknięty jest układem astatycznym l-tego stopnia, jeżeli układ otwarty zawiera l połączonych łańcuchowo członów całkujących, a jego transmitancja ma postać

W tym przypadku współczynniki uchybowe , , ..., są równe zeru, a , i następne są różne od zera. Oznacza to, że układ astatyczny l-tego rzędu odtwarza z uchybem ustalonym równym zeru tylko te sygnały , dla których , dla

              Na przykład układ statyczny (astatyczny zerowego stopnia ) dla ma niezerowy uchyb w stanie ustalonym, zwany uchybem statycznym, określony wzorem

przy czym jest współczynnikiem wzmocnienia układu otwartego.

              Układ astatyczny pierwszego stopnia dla ma uchyb w stanie ustalonym równy zeru, a dla uchyb niezerowy, zwany uchybem prędkościowym, określony wzorem

Uchyb regulacji w stanie nieustalonym jest sumą składowej ustalonej eu i składowej przejściowej

Podstawową miarą jakości układu regulacji jest czas regulacji tr, określany jako czas od chwili pobudzenia (pojawienia się ) do chwili, gdy składowa przejściowa uchybu zmaleje trwale poniżej założonej wartości , przyjmowanej zwykle od 2 do 5% wartości początkowej lub maksymalnej (rys.).

Przykładowe przebiegi uchybu regulacji e(t) przy wymuszeniu skokowym:

a) przy skoku wartości zadanej; b) przy skoku zakłócenia

Inną miarą jakości odpowiedzi układu regulacji na wymuszenie jest przeregulowanie określane wzorem (rys.)

przy czym jest wartością początkową lub maksymalną składowej przejściowej uchybu , a - najmniejszą wartością uchybu o znaku przeciwnym niż .

              Powyższe określenia mają sens dla wymuszeń będących, co najwyżej wielomianami (stopnia 0, l, 2,...) zmiennej t. W przypadku wymuszeń sinusoidalnych uchyb ma przebieg również sinusoidalny.

KOREKCJA LINIOWYCH UKŁADÓW STACJONARNYCH

ISTOTA KOREKCJI ORAZ PODSTAWOWE RODZAJE REGULATORÓW I CZŁONÓW KOREKCYJNYCH

              Przy projektowaniu układów regulacji automatycznej zagadnienie syntezy często sprowadza się do następującego zadania: Jest dany obiekt regulacji o znanej transmitancji operatorowej . Należy zaprojektować układ regulacji tak, aby spełniał on warunek żądanej dokładności, dostatecznego zapasu stabilności i szybkości działania.

              W najprostszym przypadku układu liniowego ciągłego jednej wielkości regulowanej, zadanie syntezy polega często na wyborze regulatora z danej klasy oraz doborze jego parametrów tak, aby jakość regulacji była zadowalająca w sensie określonego, najczęściej uproszczonego, wskaźnika jakości. Jako uproszczone wskaźniki jakości przyjmuje się dokładność statyczną oraz pewne wybrane parametry charakterystyki skokowej lub charakterystyk częstotliwościowych.

              Podstawowymi parametrami charakterystyk częstotliwościowych układu otwartego są: pulsacja (częstotliwość) graniczna modułu określana równością:

                            lub                           

oraz pulsacja (częstotliwość) graniczna fazy (argumentu) określana równością

Odchylenie logarytmicznej charakterystyki amplitudowej układu otwartego od wartości 0 dB dla pulsacji granicznej fazy nazywamy zapasem modułu, a odchylenie logarytmicznej charakterystyki fazowej od wartości -180° dla pulsacji granicznej modułu - zapasem fazy

Zapasy modułu i fazy określają zapas stabilności układu zamkniętego.

              Ważnym parametrem charakterystyk częstotliwościowych układu zamkniętego jest pulsacja (częstotliwość) rezonansowa określana jako pulsacja, dla której moduł transmitancji widmowej układu zamkniętego osiąga wartość maksymalną. Wartość maksymalna modułu tej transmitancji, zwana modułem rezonansowym (współczynnikiem oscylacji)

jest miarą zapasu stabilności układu.

              Regulator proporcjonalny (typu P) wytwarza sygnał sterujący liniowo zależny od uchybu regulacji . Zapewnia on dość szybką regulację przy niezbyt dużej dokładności statycznej.

Regulator całkowy (typu I) wytwarza sygnał sterujący proporcjonalny do całki uchybu regulacji . Zaletą tego regulatora jest astatyzm układu, a wadą wydłużenie czasu regulacji. Dla osiągnięcia stosunkowo szybkiej regulacji przy zachowaniu astatyzmu stosuje się regulatory proporcjonalno-calkotoe (typu PI). Jeżeli szybkość regulatora PI jest niewystarczająca, można ją zwiększyć przez dodanie składowej proporcjonalnej do pochodnej uchybu regulacji czyli przez zastosowanie regulatora proporcjonalno-całkowo-różniczkowego (typu PID). Działanie różniczkowe regulatorów wpływa również zwykle korzystnie na stabilność układu.

              W tablicy podano transmitancje operatorowe, równania, charakterystyki skokowe, charakterystyki amplitudowo-fazowe oraz charakterystyki logarytmiczne amplitudowe i fazowe regulatorów liniowych ciągłych typu P, I, PI, PD i PID.