kon14.doc

(200 KB) Pobierz

PLAN WYKŁADÓW Z PODSTAW AUTOMATYKI

111


	Wykład Podstawy Automatyki Prof. dr hab. inż. Stanisław Płaska

PORÓWNANIE KRYTERIÓW STABILNOŚCI

Omówiono trzy najczęściej stosowane kryteria stabilności. Kryteria Hurwitza i Michajłowa można stosować tylko wtedy, kiedy znamy opis matematyczny układu, natomiast kryterium Nequista również w tych przypadkach, kiedy dysponujemy doświadczalnie wyznaczonymi charakterystykami częstotliwościowymi układu otwartego (opis matematyczny poszczególnych elementów może nie być znany).

Kryterium Hurwitza jest bardzo proste i wygodne w zastosowaniu do układów opisywanych równaniami niższych stopni. Za pomocą tego kryterium można sprawdzić stabilność układu o wszystkich współczynnikach danych, jak i wyznaczyć zakresy (obszary) zmienności niektórych współczynników zapewniające stabilność. Wadą kryterium jest brak możliwości wyznaczenia zapasu stabilności oraz utrudniona jest ocena wpływu poszczególnych parametrów układu na stabilność.

Kryterium Michajłowa umożliwia już przybliżoną ocenę zapasu stabilności (ale nie ujętą ilościowo; o zapasie stabilności może świadczyć najmniejsza odległość krzywej charakterystycznej od początku układu współrzędnych). Łatwiejsze jest również określenie wpływu poszczególnych parametrów układu na stabilność. Natomiast nie można analizować wpływu dodania elementów korekcyjnych do układu.

Największe znaczenie ma kryterium Nequista, które umożliwia nie tylko łatwe sprawdzenie stabilności oraz wyznaczenie zapasów modułu i fazy, lecz pozwala również projektantowi na dokładną, ocenę wpływu poszczególnych parametrów układu na stabilność oraz na kształtowanie własności układu przez dobór określonych wartości tych parametrów lub przez dodanie elementów korekcyjnych.

DOKŁADNOŚĆ STATYCZNA

Wymagania dotyczące dokładności statycznej układów formułowane są zwykle w postaci podania dopuszczalnych wartości odchylenia regulacji (sterowania) w stanie ustalonym, . Odchylenie nazywa się często krócej odchyleniem statycznym, błędem statycznym lub uchybem statycznym.

Schemat blokowy układu zamkniętego

Rozpatrzymy układ automatyki złożony z obiektu o transmitancji operatorowej i regulatora o transmitancji Gr(s) (rys.). Jeżeli wpływ zakłóceń z i wartości zadanej w można rozpatrywać oddzielnie, co zwykle ma miejsce, to odchylenie statyczne jest sumą dwóch składowych:

gdzie:

- odchylenie wywołane zakłóceniami,

- odchylenie wywołane zmianą wartości zadanej.

Wartości dopuszczalne i określa się oddzielnie, w jednostkach wielkości wyjściowej y albo w procentach od wartości ymas lub wmax:,

Liczby i są procentowo wyrażonymi warunkami na dokładność statyczną układu. Jeżeli np. w układzie regulacji temperatury maksymalna wartość wielkości regulowanej i żądany , to dopuszczalna wartość odchylenia statycznego wywołanego zakłóceniami będzie:

Często odchylenie jest równe jednej ze składowych, np. we wszystkich układach regulacji stałowartościowej i , mamy więc

Jeżeli opis matematyczny układu podany jest w formie operatorowej, to wartości i oblicza się na podstawie twierdzenia o wartości końcowej. Dla układu o postaci przedstawionej na rysunku otrzymamy:

Jeżeli zakłócenia z wchodzą w innym miejscu do układu, niż to pokazano na . 7.20, to zmienia się transmitancja występująca w liczniku wzoru (7.40). Zależności (7.40) i (7.41) pozwalają ocenić wpływ typu i nastaw regulatora dokładność na statyczną układu. Bardzo interesujące jest zwłaszcza porównanie odchyleń statycznych, które wystąpią w układzie po wprowadzeniu zakłócenia skokowego, mimo narastającego lub parabolicznego w następujących przypadkach: a) bez regulatora, b) z regulatorem P, c) z regulatorem PI, d) z regulatorem PID.

Takie przypadki powinni samodzielnie przeanalizować studenci.

W ogólnym przypadku transmitancję obiektu można traktować jako iloczyn właściwości następujących elementów:

· elementu wykonawczego ,

· sterowanego procesu ,

· przetwornika pomiarowego

czyli

Zakłócenia na tak zdefiniowany obiekt mogą oddziaływać na wejście każdego z tych elementów.

Z podanych prostych obliczeń wynika następująca reguła: układ regulacji odtwarza z zerowym błędem zmiany wartości zadanej lub też likwiduje wpływ oddziaływujących na obiekt zakłóceń wówczas, gdy rząd astatyzmu układu jest wyższy o jeden od pochodnych zmian wartości zadanej lub pochodnych sygnałów zakłócających.

Astatyzm układu nazywa się liczbą działań całkujących występujących w układzie. Obiekt statyczny (np. opisany za pomocą elementu inercyjnego dowolnego rzędu (patrz zależność na str.93 i tablica str.96) ma astatyzm zerowego rzędu. Obiekt inercyjny z działaniem całkującym ma astatyzm pierwszego rzędu. Regulatory: P, PD mają astatyzm rzędu zerowego. Regulatory PI, PID mają astatyzm rzędu pierwszego. Układ regulacji złożony z obiektu inercyjnego oraz regulatora P lub PD ma astatyzm rzędu zerowego. Ten sam układ z regulatorem PI lub PID ma astatyzm rzędu pierwszego. itd.

Wymuszenie skokowe ma pochodną zerowego rzędu. Zatem w przypadku skokowej zmiany wartości zadanej lub skokowych zakłóceń (niezależnie od miejsca działania) w układzie pojawią siś błędy statyczne o stałej wartości. Ten sam obiekt z regulatorem PI lub PID utworzony układ, w którym błędy będą zerowe. Sygnał liniowo narastający ma pierwszą pochodną, czyli uniknięcie błędów statycznych wymagałoby układu z astatyzmem drugiego rzędu. Niestety układ z jednym sprzężeniem zwrotnym nie może mieć astatyzmu wyższego niż pierwszego rzędu. Każde działanie całkujące przesuwa fazę o . Dwa działania całkujące plus inercja I rzędu układu, to zmiana fazy od do (patrz tablica na str.91). Dla uzyskania stabilności układ taki w całym zakresie częstotliwości musiałby mieć moduł ujemny (kryterium stabilności Nequista str.106), co oznacza b.małe wzmocnienie statyczne układu i związaną z tym małą dokładność.

DOKŁADNOŚĆ DYNAMICZNA

Dla zapewnienia określonych własności dynamicznych układu nie wystarcza wymaganie stabilności. Jeżeli układ jest stabilny, to wiemy jedynie, że przebiegi przejściowe w tym układzie zanikają, nie znamy jednak tak istotnych dla zastosowań praktycznych własności, jak rodzaj przebiegów, wartości odchyleń maksymalnych, czas zanikania przebiegów przejściowych czy pasmo . częstotliwości, w którym zachodzi odtwarzanie sygnałów wymuszających z zadaną dokładnością. Wszystkie te własności składają się łącznie na pojęcie jakości dynamicznej.

Jakość dynamiczną określa się za pomocą szeregu wskaźników, odnoszących się do poszczególnych cech przebiegu przejściowego lub charakterystyk częstotliwościowych, bądź", za pomocą wskaźników całkowych umożliwiających przybliżoną ocenę całego przebiegu przejściowego, a nie jednej z jego odrębnych cech.

CAŁKOWE WSKAŹNIKI JAKOŚCI

Jakość dynamiczną układu regulacji oceniać można na podstawie wielkości pola regulacji, tzn. pola zawartego pomiędzy krzywą odchylenia regulacji i asymptotą, do której dąży ta krzywa

Im mniejsze jest to pole, tym lepsza jest jakość dynamiczna układu (lepsza w sensie ogólnym, gdyż nie wszystkie wskaźniki jakości muszą być lepsze). Podejście takie ma również interpretację ekonomiczną, gdyż często straty są prostą funkcją wielkości i czasu trwania odchylenia regulacji, a celem sterowania jest minimalizacja tych strat.

Rozumowanie jest następujące:

1. Oblicza się odpowiedź układu na wymuszenie skokowe, przy czym: wejściem jest wartość zadana a wyjściem sygnał błędu (uchyb) .

2. Uzyskany przebieg sygnału może:

a) dążyć do wartości zerowej , i dzieje się tak gdy w układzie występuje astatyzm pierwszego rzędu,

b) dążyć do wartości stałej wynoszącej , i dzieje się tak gdy nie występuje astatyzm.

Ponadto zarówno w przypadku (a) jak i (b) przebieg może mieć charakter:

c) aperiodyczny (bez drgań) i dzieje się tak gdy pierwiastki równania charakterystycznego są rzeczywiste,

d) periodyczny (z drganiami) i dzieje się tak gdy występuje w równaniu charakterystycznym przynajmniej jedna para pierwiastków zespolonych sprzężonych.

Uwaga:

Proszę przeanalizować obliczanie odpowiedzi czasowych układu.

3. Na podstawie przebiegu i możliwych kombinacji tego przebiegu opisanego w (2), można zdefiniować całkę określającą pole krzywej funkcją błędu .