Algebra liniowa 1 - Definicje i wzory.pdf

(633 KB) Pobierz
0
1. LICZBY ZESPOLONE
1.1 PODSTAWOWE DEFINICJE I WŁASNOŚCI
Def. 1.1.1 (liczba zespolona, płaszczyzna zespolona)
Liczbą zespoloną nazywamy uporządkowaną parę liczb rzeczywistych np. ( x , y ), ( u , v ), ( a , b ). Liczby zespolone oznaczamy
krótko przez z , w itp. Zbiór wszystkich liczb zespolonych oznaczmy przez C . Mamy zatem
C
def
z
(
x
,
y
)
:
x
,
y
R
.
Uwaga . Liczbę zespoloną z = ( x , y ) przedstawiamy na płaszczyźnie w postaci punktu o współrzędnych ( x , y ) lub w postaci
wektora o początku w punkcie (0,0) i końcu w punkcie ( x , y ). W tej interpretacji zbiór wszystkich liczb zespolonych nazywamy
płaszczyzną zespoloną.
z będą liczbami zespolonymi.
1. Równość liczb zespolonych określamy przez warunek:
(
x
,
1
)
,
2 y
(
x
,
2
)
def
.
z
z
x
x
oraz y
y
1
2
1
2
1
2
2. Sumę liczb zespolonych określamy wzorem:
def
.
z
z
x
x
, y
y
1
2
1
2
1
2
3. Iloczyn liczb zespolonych określamy wzorem:
def
z
z
x
x
y
y
, y
x
y
x
.
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
Fakt 1.1.3 (własności działań w zbiorze liczb zespolonych)
Niech z 1 , z 2 , z 3 będą dowolnymi liczbami zespolonymi. Wtedy
1. dodawanie liczb zespolonych jest przemienne, tzn.
z
1
z
2
z
2
z
1
2. dodawanie liczb zespolonych jest łączne, tzn.
 
z
1
z
2
z
3
z
1
 
z
2
z
2
3. dla każdej liczby zespolonej z liczba zespolona
0
def
(
0
0
spełnia równość
z
z
 0
4. dla każdej liczby zespolonej
z
( y
x
)
liczba
z
def
( y
x
)
spełnia równość
z
z
( 
0
5. mnożenie liczb zespolonych jest przemienne, tzn.
z
1
z
2
z
2
z
1
6. mnożenie liczb zespolonych jest łączne, tzn.
   
z
1
z
2
z
3
z
1
z
2
z
3
7. dla każdej liczby zespolonej z liczba zespolona
1
def
(
)
spełnia równość
z
z
1
8. dla każdej liczby zespolonej
z
y
,( 
x
)
0
liczba zespolona
1
def
x
,
y
z
x
2
y
2
x
2
y
2
spełnia równość
z
z
1
1
9. mnożenie liczb zespolonych jest rozdzielne względem dodawania, tzn.
 
z
1
z
2
z
3
z
1
z
2
z
1
z
3
.
Uwaga . Liczby zespolone 0, –z, 1 oraz
1
wprowadzone odpowiednio w punktach 3, 4, 7 oraz 8 powyższego faktu są
z
jedynymi liczbami o żądanych w tych punktach własnościach. Liczby te nazywamy odpowiednio: elementem neutralnym
dodawania, elementem przeciwnym liczby z , elementem neutralnym mnożenia oraz elementem odwrotnym do liczby z .
1
Def. 1.1.2 (równość, suma i iloczyn liczb zespolonych)
Niech
z
1 y
1562053.025.png
Def. 1.1.4 (odejmowanie i dzielenie liczb zespolonych)
Niech z 1 , z 2 C będą dowolnymi liczbami zespolonymi.
1. odejmowanie liczb zespolonych określamy wzorem:
def
z
z
z
(
z
)
1
2
1
2
2. dzielenie liczb zespolonych określamy wzorem:
z def
1
z
1
z
, o ile z 2  0.
z
1
2
2
Uwaga . Wszystkie reguły czterech podstawowych działań algebraicznych (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie)
znane z liczb rzeczywistych obowiązują także w zbiorze liczb zespolonych. W szczególności prawdziwe są wzory skróconego
mnożenia, wzory na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego i geometrycznego itd.
Fakt 1.1.5 (zbiór liczb rzeczywistych jest podzbiorem zbioru liczb zespolonych)
Podzbiór R zbioru liczb zespolonych C złożony z liczb postaci ( x ,0), gdzie x R , ma następujące własności:
1.
(
x
1
,
(
x
2
,
(
x
1
x
2
,
,
2.
(
x
1
,
(
x
2
,
(
x
1
x
2
,
,
3.
(
x
1
,
0
)
(
x
2
,
0
)
(
x
1
x
2
,
)
,
4.
(
x
1
,
)
 ,
x
1
, gdzie x 2  0.
(
x
,
)
x
2
2
Uwaga . Z własności tych wynika, zbiór R można utożsamiać ze zbiorem liczb rzeczywistych R . Będziemy pisali x zamiast
( x ,0); w szczególności 0 = (0,0) oraz 1 = (1,0).
1.2 POSTAĆ ALGEBRAICZNA LICZBY ZESPOLONEJ
Def. 1.2.1 (jednostka urojona)
Liczbę zespoloną (0,1) nazywamy jednostką urojoną i oznaczamy ją przez i ;
def
i .
(
0
Fakt 1.2.2 (postać algebraiczna liczby zespolonej)
Każdą liczbę zespoloną można jednoznacznie zapisać w postaci:
z  ,
iy
, .
Uwaga . Ten sposób przedstawienia liczb zespolonych nazywamy ich postacią algebraiczną. Nie każde przedstawienie liczby
zespolonej w postaci x + iy jest jej postacią algebraiczną. Niezbędne jest dodanie warunku x , y R .
x
Def. 1.2.3 (część rzeczywista i urojona liczby zespolonej)
Niech x + iy będzie postacią algebraiczną liczby zespolonej z . Wówczas
1. liczbę x nazywamy częścią rzeczywistą liczby zespolonej z , co zapisujemy
Re
z
def
x
,
2. liczbę y nazywamy częścią urojoną liczby zespolonej z , co zapisujemy
Im .
Liczbę zespoloną postaci iy , gdzie y R \ {0}, nazywamy liczbą czysto urojoną.
z
def
y
Rys. 1.2.1 Interpretacja geometryczna jednostek rzeczywistej i urojonej oraz liczby zespolonej
w postaci algebraicznej.
2
gdzie R
1562053.026.png 1562053.027.png
 
Uwaga . Dodawanie, odejmowanie i mnożenie liczb zespolonych w postaci algebraicznej wykonujemy tak, jak dodawanie,
odejmowanie i mnożenie wielomianów zmiennej i , przy warunku
2
1
Fakt 1.2.4 (o równości liczb zespolonych w postaci algebraicznej)
Dwie liczby zespolone są równe wtedy i tylko wtedy, gdy ich części rzeczywiste i urojone są równe, tzn.
z
z
z
1
Re
z
2
.
1
2
Im
z
Im
z
1
2
1.3 SPRZĘŻENIE I MODUŁ LICZBY ZESPOLONEJ
Def. 1.3.1 (sprzężenie liczby zespolonej)
Sprzężeniem liczby zespolonej z = x + iy , gdzie x , y R , nazywamy liczbę zespoloną z określoną wzorem:
.
Liczba sprzężona do liczby zespolonej jest jej obrazem w symetrii osiowej względem osi Re z .
z
def
x
iy
Fakt 1.3.2 (własności sprzężenia liczb zespolonych)
Niech z , z 1 , z 2 C . Wtedy
1.
z
1
z
2
z
1
z
2
5.
zz Re
2
z
2.
z
1
z
2
z
1
z
2
6.
zz Im
2
i
z
7.   z
3.
z
1
z
2
z
1
z
2
z
z
z
8.    
Im 
z Im
z
4.
1
1
, o ile z 2  0
z
z
2
2
Uwaga . Równości podane w punktach 1 i 3 prawdziwe są odpowiednio dla dowolnej liczby składników i czynników.
Def. 1.3.3 (moduł liczby zespolonej)
Modułem liczby zespolonej z = x + iy , gdzie x , y R , nazywamy liczbę rzeczywistą | z | określoną wzorem:
z
def
x
2
y
2
.
Moduł liczby zespolonej jest uogólnieniem wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej. Geometrycznie moduł liczby
zespolonej z jest odległością punktu z od początku układu współrzędnych.
Uwaga . Moduł różnicy liczb zespolonych z 1 , z 2 jest długością odcinka łączącego punkty z 1 , z 2 płaszczyzny zespolonej.
Fakt 1.3.4 (własności modułu liczby zespolonej)
Niech z , z 1 , z 2 C . Wtedy
1.
z
z
z
5.
z
1
z
2
z
1
z
2
2.
z
z
z
z
6.
z
z
2
1
2
1
2
z
z
7.
Re
z
z
1
3.
1
, o ile z 2  0
z
z
2
2
4.
z
1
z
2
z
1
z
2
8.
Im
z
z
Uwaga . Warunki podane w punktach 2 i 4 powyższego faktu prawdziwe są także dla dowolnej liczby odpowiednio czynników
i składników. Przy obliczaniu ilorazu liczb zespolonych w i z  0 w y godnie jest stosować tożsamość:
w
w
.
z
z
2
3
i . Przy dzieleniu przez liczbę zespoloną x + iy ,
gdzie x , y R , należy dzielną i dzielnik pomnożyć przez liczbę x – iy , aby w mianowniku uzyskać liczbę rzeczywistą.
Re
1562053.001.png 1562053.002.png 1562053.003.png 1562053.004.png 1562053.005.png 1562053.006.png 1562053.007.png 1562053.008.png 1562053.009.png 1562053.010.png 1562053.011.png 1562053.012.png 1562053.013.png 1562053.014.png 1562053.015.png 1562053.016.png 1562053.017.png 1562053.018.png
1.4 POSTAĆ TRYGONOMETRYCZNA LICZBY ZESPOLONEJ
Def. 1.4.1 (argument i argument główny liczby zespolonej)
Argumentem liczby zespolonej z = x + iy  0, gdzie x , y R , nazywamy każdą liczbę   R spełniającą układ równań:
cos
x
z
.
y
sin
z
Przyjmujemy, że argumentem liczby z = 0 jest każda liczba   R . Argumentem głównym liczby zespolonej z  0 nazywamy
argument  tej liczby spełniający nierówność 0   < 2. Przyjmujemy, że argumentem głównym liczby z = 0 jest 0. Argument
główny liczby zespolonej z oznaczamy przez z
arg . Każdy argument  liczby zespolonej z  0 ma postać
arg 
z 2
k
, gdzie k  Z .
Rys. 1.4.1 Argument liczby zespolonej
Rys. 1.4.2 Argument główny liczby zespolonej
Uwaga . Argumenty liczby zespolonej są miarami z są miarami kąta zorientowanego utworzonego przez dodatnią część osi
rzeczywistej i wektor wodzący tej liczby (rys. 1.4.1). Argument główny liczby zespolonej jest najmniejszą nieujemną miarą
kąta zorientowanego utworzonego przez dodatnią część osi rzeczywistej i wektor wodzący tej liczby (rys. 1.4.2). Czasem
przyjmuje się, że argument główny liczby zespolonej jest liczbą z przedziału (-,].
Fakt 1.4.2 (postać trygonometryczna liczby zespolonej)
Każdą liczbę zespoloną z można przedstawić w postaci:
,
gdzie r  0 oraz   R . Liczba r jest wówczas modułem liczby z , a  jednym z jej argumentów.
z
r
cos i
 sin
Fakt 1.4.3 (równość liczb zespolonych postaci trygonometrycznej)
Liczby zespolone
z
1
r
1
cos
i
1
sin
1
,
z
2
r
2
cos
i
2
sin
2
, gdzie r 1 , r 2  0 oraz  1 ,  2 R , są równe
wtedy i tylko wtedy, gdy:
rr albo
2
0
rr oraz
1
2
0
 k
1
2
2
dla pewnego k Z .
Fakt 1.4.4 (mnożenie i dzielenie liczb zespolonych w postaci trygonometryczne)
Niech
z
1
r
1
cos
i
1
sin
1
,
z
2
r
2
cos
i
2
sin
2
, gdzie r 1 , r 2  0 oraz  1 ,  2 R będą liczbami
zespolonymi. Wtedy
1.
z
1
z
2
r
1
r
2
cos(
1
2
)
i
sin(
1
2
)
2.
1
r
1
cos(
)
i
sin(
)
, o ile z 2  0.
z
r
1
2
1
2
2
2
Inaczej mówiąc, przy mnożeniu liczb zespolonych ich moduły mnożymy, a argumenty dodajemy. Podobnie, przy dzieleniu
liczb zespolonych ich moduły dzielimy, a argumenty odejmujemy.
Uwaga . Pierwszy ze wzorów w ostatnim fakcie jest prawdziwy także dla dowolnej liczby czynników.
Fakt 1.4.5 (o argumentach iloczynu, ilorazu, sprzężenia oraz liczby przeciwnej)
Niech z , z 1 , z 2 C oraz niech n N . Wtedy
1.
z
1
z
2
)
arg
z
1
arg
z
2
2
k
dla pewnego k Z ;
2.  
z n
n
arg
z
2
k
dla pewnego k Z ;
4
1
z
arg(
arg
1562053.019.png 1562053.020.png 1562053.021.png
3.
arg
z
1
arg
z
arg
z
2
k
dla pewnego k Z , o ile z 2  0;
z
1
2
2
4.  
arg
z
arg
z
2
k
dla pewnego k Z ;
5.
arg(
z
)
arg
z
2
k
dla pewnego k Z ;
6.
arg
1
arg
z
2
k
dla pewnego k Z , o ile z  0;
z
Uwaga . W rzeczywistości k może przyjmować wartości 1. 0 lub –1 ; 2. dowolne ; 3. 0 lub 1 ; 4. 1 ; 5. 0, 1 lub –1 ; 6. 1 .
Fakt 1.4.6 (wzór de Moivre’a)
Niech
z
r
cos i
 sin
, gdzie r  0,  R oraz niech n N . Wtedy
z
n
r
n
cos 
n
n
i
sin
.
e )
Dla  R liczbę zespoloną cos + i sin oznaczamy krótko przez
e ;
i
e
i
cos i
sin
.
e )
Niech ,  1 ,  2 będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi oraz niech k będzie dowolną liczbą całkowitą. Wtedy
i
1.
e
i
 
1
2
e
1
e
i
2
5.
e
i
0
 
e
1
6.
e
i
1
e
i
2
2
l
, gdzie l Z
2.
e
i
1
2
1
2
e
2
3.  
e
k
e
ik
7.
e
i
1
4.
e
i
 
2
k
e
i
8.  
arg
e i
2
l
dla pewnego l Z
Fakt 1.4.9 (postać wykładnicza liczby zespolonej)
Każdą liczbę zespoloną z można zapisać w postaci wykładniczej, tj. w postaci
i
re
Fakt 1.4.10 (o równości liczb zespolonych w postaci wykładniczej)
Niech r 1 , r 2  0 oraz  1 ,  2 R . Wówczas
0
e
i
r
e
i
2
r
r
albo
r oraz
r
0
k
2
, gdzie k Z .
1
2
1
2
1
2
1
2
Fakt 1.4.11 (działania na liczbach zespolonych w postaci wykładniczej)
Niech
z ,
e
i
z ,
e
i
1
z , gdzie r , r 1 , r 2  0 oraz ,  1 ,  2 R , będą liczbami zespolonymi oraz niech k
e
i
2
1
2
będzie liczbą całkowitą. Wtedy
1.
z
re
i
4.
z
k
r
k
e
ik
2.
z
re
i
( 

)
5.
z
z
r
r
e
i
(

1
2
)
1
2
1
2
3.
1
1
e
i
, o ile z  0
6.
z
1
r
1
e
i
(
 
1
2
)
, o ile z 2  0
z
r
z
r
2
2
1.5 PIERWIASTKOWANIE LICZB ZESPOLONYCH
Def. 1.5.1 (pierwiastek z liczby zespolonej)
Pierwiastkiem stopnia n N z liczby zespolonej z nazywamy każdą liczbę zespoloną w spełniającą równość:
z
w n .
5
i
Def. 1.4.7 (symbol
def
Fakt 1.4.8 (własności symbolu
i
i
i
i
z ,
gdzie r  0,  R . Liczba r jest wówczas modułem liczby z , a  jej argumentem.
r
1
1562053.022.png 1562053.023.png 1562053.024.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin