Zastosowania_pochodnej-v_stud.pdf

(595 KB) Pobierz
Pochodna funkcji    
xf , dla   0
g
x
xf .
PRZYKŁAD.
 
x
2
Obliczyć pochodną funkcji
xf 4
x
.
Metoda 1
Korzystając z tożsamości
b
ab e
ea ln
ln
b
a
,
dla 0
a
daną funkcję sprowadzamy do postaci
2
x
ln x
4
 
4 2
xf ,
e
dla 0
x .
Stosując teraz wzór na pochodną funkcji złożonej oraz pochodną iloczynu dwóch funkcji otrzymujemy
2
2
 
x
ln
x
4
x
ln
x
4
2
x
2
f
x
x
4
e
e
x
ln
x
4
2
2
1
 
2
x
x
ln
x
4
2
2
x
2
e
1
ln
x
4
x
2
x
x
4
ln
x
4
2
2
x
4
x
4
dla 2
x lub .2
x
Metoda 2
Logarytmujemy równanie
x
2
xy 4
stronami:
x
ln 2
y 4
ln
,
ln 2
xy .
 x
ln
4
 
y
y
x
Następnie różniczkujemy stronami pamiętając, że
, czyli
d
d
 4
2
 
ln
y
x
ln
x
.
dx
dx
Zatem
1
x
x
1
2
y y 2
ln
x
4
x
,
2
4
a stąd
1
2
yy 2
4
ln 2
x
4
x
x
.
x
Podstawiając za
x
2
xy 4
otrzymujemy
2
 
2
x
xy x
2
2
4
ln
x
4
, dla 2
x lub .2
x
2
x
4
1
797714121.046.png 797714121.047.png 797714121.048.png 797714121.049.png 797714121.001.png
 
Pochodna i jej zastosowania:
I. Różniczka funkcji
DEFINICJA. Niech funkcja f ma pochodna w punkcie o
x . Różniczką funkcji f w punkcie o
x
def
określoną wzorem  
  x
nazywamy funkcję df zmiennej o x
df
x
f
x
xx
o
obliczyć wartość 3 63 .
Przykład . Korzystając z przybliżenia df
f
Rozwiązanie. Stosujemy wzór:
  
  x
f
x
x
f
x
f
x
.
0
0
0
Przyjmujemy   3 x
0 x , 1
x .
, 64
xf
Wtedy    
'
1
1
1
3
63 3
  ...
oraz
3
64
1
.3
9792
f
x
x
x
64
0
48
3
16
48
II. TWIERDZENIE (Lagrange’a):
y
22
A
 
,3
21
20
18
16
14
12
10
  x
3
f 2
x
x
8
6
4
2
x
O
c
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
2
797714121.002.png 797714121.003.png 797714121.004.png 797714121.005.png 797714121.006.png 797714121.007.png 797714121.008.png 797714121.009.png 797714121.010.png 797714121.011.png 797714121.012.png 797714121.013.png 797714121.014.png 797714121.015.png 797714121.016.png 797714121.017.png 797714121.018.png 797714121.019.png 797714121.020.png 797714121.021.png 797714121.022.png 797714121.023.png 797714121.024.png 797714121.025.png 797714121.026.png 797714121.027.png 797714121.028.png 797714121.029.png 797714121.030.png 797714121.031.png 797714121.032.png 797714121.033.png 797714121.034.png 797714121.035.png 797714121.036.png 797714121.037.png 797714121.038.png 797714121.039.png
 
Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
jest ciągła na  
a , ,
b
ma pochodną na  
a , ,
b
   
a
f
b
f
a
to istnieje punkt  
 
ac ,
b
f
c
taki, że
.
b
WNIOSKI:
1 . Jeżeli pierwsza pochodna funkcji f jest dodatnia w każdym punkcie przedziału  
a , , to
b
f jest w tym przedziale rosnąca.
Dowód.
Niech 1 x oraz 2
x będą dowolnymi punktami z przedziału  
x . Z
1 x
a , , takimi, że
b
2
twierdzenia Lagrange’a zastosowanego do przedziału
1 , xx wiemy, że istnieje taki
2
, że   
f
x
c
f
x
  0
(pochodna w każdym punkcie jest dodatnia). Zatem
c
x
1 , x
2
1
f
2
x
x
2
1
x implikuje    
, czyli funkcja jest rosnąca.
1 x
xf
1 x
f
2
2
2 . Jeżeli pierwsza pochodna funkcji f jest ujemna w każdym punkcie przedziału  
a , , to f
b
jest w tym przedziale malejąca.
3 . Funkcja ciągła w przedziale  
a , , różniczkowalna w  
a , o pochodnej stale równej 0 jest
b
b
stała w  
a ,
b
b
a , , )
a
, b
a ,( ,
b
Tezy powyższych twierdzeń 1 i 2 są także prawdziwe dla przedziałów
,
,( , )
 b
a , )
,
,( 
 , o ile dodatkowo założymy, że funkcja f jest w nich ciągła.
ZADANIE . Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji  
x
f
x
x
e
.
III. Pochodna n - tego rzędu
PRZYKŁAD. Gdy  
 
, to  
 
2 5
10 4
xf 2
x
sin
x
xf 2
x
2
cos
x
zaś
 
 
4
3
10
xx 2
2
cos
2
40
x
4
sin
x
, dla R
x .
DEFINICJA . Jeżeli funkcja f ma pochodną i jeżeli funkcja f jest też różniczkowalna, to  
f
nazywamy pochodną drugiego rzędu funkcji f i oznaczamy f .
3
 
   
def
Podobnie określamy pochodną n - tego rzędu:    
n
n
1 dla 2
f
x
f
x
n ,Ponadto
xf def
   
 
0
przyjmujemy
f
x
.
ZADANIE. Obliczyć pochodną n - tego rzędu funkcji  
1
xf .
x
ln 
IV. Ekstrema lokalne funkcji.
DEFINICJA. (minimum lokalne właściwe funkcji). Funkcja f ma w punkcie R
x 0 minimum
   
f
x
f
x
lokalne (właściwe), jeżeli
.
0
0
x
S
x
,
0
DEFINICJA. (maksimum lokalne właściwe funkcji). Funkcja f ma w punkcie R
x 0 maksimum
   
f
x
f
x
lokalne (właściwe), jeżeli
.
0
0
x
S
x
,
0
Funkcja może mieć ekstrema lokalne tylko w punktach, w których jej pochodna równa się zero albo
w punktach, w których jej pochodna nie istnieje. Punkty podejrzane o ekstrema nazywamy punktami
stacjonarnymi . Ekstremum ostrzowe to ekstremum lokalne w takim punkcie, w którym funkcja jest
ciągła, lecz nie istnieje pochodna funkcji.
4
797714121.040.png 797714121.041.png 797714121.042.png 797714121.043.png
TWIERDZENIE (warunek wystarczający) . Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
1 o .   0
xf ,
0
 
 
f
x
0
dla
każ
deg
o
x
S
x
,
0
2 o .
 
,
 
f
x
0
dla
każ
deg
o
x
S
x
,
0
0
x ma maksimum lokalne właściwe.
to w punkcie 0
TWIERDZENIE (warunek wystarczający) . .
Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
    0
1 o .  
n
x
1
 
f
x
f
x
f
,
0
0
0
   
2 o .
    0
f n ,
f n ,
x
0
x
0
0
3 o . n jest liczbą parzystą, gdzie 2
n ,
x ma maksimum lokalne (minimum lokalne).
to w punkcie 0
Zadanie . Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji   x
xf ln
x
.
V. Ekstrema globalne
TWIERDZENIE
Funkcja ciągła na przedziale domkniętym i ograniczonym  
a , osiąga na tym przedziale wartość
b
największą i najmniejszą.
5
797714121.044.png 797714121.045.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin