kart_egz_ściagaII termin.doc

Odwzorowanie Gaussa- Krügera- jest to równokątne walcowe poprzeczne odwzorowanie powierzchni elipsoidy obrotowej na płaszczyznę, przy czym środkowy południk obszaru odtwarza się wiernie. Obszaru całej powierzchni lub znacznej części elipsoidy nie można odwzorować bez dużych zniekształceń, dlatego obszar Ziemi należy podzielić na odpowiednie pasy południkowe. Każdy z takich pasów jest oddzielnie odwzorowany i stanowi dla siebie oddzielny układ  współrzędnych prostokątnych płaskich. Szerokości pasów ustalone są tak, ażeby każdy z nich można było odwzorować na płaszczyznę (tj. przedstawić na mapie) bez praktycznie odczuwalnych zniekształceń, które nie przekraczałyby stopnia dokładności map. W tym celu powierzchnie elipsoidy obrotowej dzieli się, począwszy od zerowego południka Greenwich, na 60 pasów południkowych po 6º każdy lub 120 pasów po 3º każdy. Południk środkowy w każdym pasie nazywamy południkiem osiowym; dzieli on pas na dwie równe części: zachodnią i wschodnią. Pasy odwzorowujemy według praw matematyki na boczną powierzchnie walca w ten sposób, ażeby została zachowana wiernokątność, tj. równość odpowiednich kątów na elipsoidzie i na płaszczyźnie. Teoretycznie biorąc, mapy w odwzorowaniu Gaussa-Krügera są obarczone zniekształceniami długości i mają w różnych niejednakową skalę, ale zniekształcenia te są tak małe, że skalę mapy w obrębie jednego arkusza można uważać za stałą. Najczęściej stosowane są pasy południkowe 3º i 6º długości geograficznej. Pasy 3-stopniowe obejmują mniejsze obszary, zapewniają uzyskanie mniejszych zniekształceń, co jest szczególnie ważne dla triangulacji, gdyż zniekształcenia na styku dwóch układów wynoszą zaledwie 17 cm na 1000 m. Pasy 6-stopniowe długości geograficznej mają tę zaletę, że pozwalają odwzorować obszar dwa razy większy niż pasy 3-stopniowe, zmniejszając do połowy liczbę styków siatek kilometrowych, jak również zmniejszają liczbę ewentualnych źródeł błędów przy najzupełniej wystarczającej dokładności liniowej. W Polsce osnowa geodezyjna ze względu na potrzebę dokładności jest wykonywana w pasach 3-stopniowych, a mapy - w pasach 6-stopniowych. Odwzorowanie to można traktować jako rozwinięcie poprzecznego odwzorowania Merkatora przez zastąpienie powierzchni kuli powierzchnią elipsoidy obrotowej. Z tego względu odwzorowanie Gaussa-Krűgera jest nazywane odwzorowaniem walcowym poprzecznym równokątnym powierzchni elipsoidy obrotowej.

Odwzorowanie Gaussa- realizowane w wąskich pasach południkowych.

Spełnia następujące warunki:

południk środkowy (osiowy) pasa odwzorowuje się na odcinek linii prostej;

skala długości na południku środkowym jest równa jedności: m0=1, a0=b0=1 ;

południk środkowy odwzorowuje się wiernie na odcinek linii prostej, pozostałe południki na krzywe symetryczne względem południka środkowego (wklęsłością do obrazu południka środkowego); równik odwzorowuje się na odcinek linii prostej, prostopadłej do południka środkowego, równoleżniki – na linie krzywe symetryczne względem obrazu równika (wypukłością do obrazu równika).

Długości odcinków w odwzorowaniu Gaussa-Krügera są obarczone zniekształceniami. Zniekształcenia zależą od skali odwzorowania, nie zależą od orientacji odcinka.

Maksymalne na styku dwóch stref 3º dla skali m = 0,999923 , wynoszą: -7,7 cm/1000m na południku osiowym).

Elementarne skale długości i pól

Odwzorowanie Gaussa-Krügera jest odwzorowaniem równokątnym, zatem elementarna skala długości w danym punkcie jest jednakowa we wszystkich kierunkach. Najłatwiej można ją obliczyć w funkcji odległości od południka środkowego:

              lub             

gdzie R – średni promień krzywizny.

Elementarną skalę pól obliczymy jako kwadrat skali m:

Odwzorowanie Gaussa-Krügera często realizowane jest w położeniu siecznym, co oznacza, że powierzchnia walca przecina powierzchnię elipsoidy wzdłuż linii przebiegających w przybliżeniu południkowo. Celem takiego postępowania jest zminimalizowanie zniekształceń:

-wzdłuż linii przecięcia obu powierzchni zniekształcenia będą zerowe,

-na obszarze między liniami przecięcia zniekształcenia będą mniejsze lecz ujemne (skurczenie) o maksymalnej wartości bezwzględnej na południku środkowym,

-na pozostałym obszarze zniekształcenia będą mniejsze ale dodatnie, tym większe im większa będzie odległość od linii przecięcia.

Współrzędne cechowane Z wzorów na współrzędne x,y w odwzorowaniu Gaussa-Krügera otrzymujemy wartości w układzie, którego początek zaczepiony jest w punkcie przecięcia południka środkowego pasa odwzorowawczego z równikiem czyli w układzie pojedynczego pasa. Wygodnie jest przesunąć początek tego układu tak, aby uzyskać jednolite i dodatnie współrzędne o jednakowej liczbie cyfr. Wymagania te spełniają współrzędne cechowane.

Zastosowanie odwzorowania Gaussa-Krügera w Polsce

1) W 1920 r. wprowadzono odwzorowanie Gaussa-Krugera do obliczeń wyników triangulacji państwowej (układ współrzędnych „Borowa Góra”):

-elipsoida Bessela,

-pięć 2-stopniowych pasów odwzorowawczych dla południków środkowych: 17°, 19°, 21°, 23°, 25°,

-skala m0 = 1,  X = x - 5 280 000 m, Y = y + 90 000 m

2) W 1947 r. wprowadzono skurczone odwzorowanie G-K dla map 1:10000 i większych:

-elipsoida Bessela,  -cztery 3-stopniowe pasy odwzorowawcze dla południków środkowych: 15°, 18°, 21°, 24°,  -skala m0 = 0.999935,  X = x, Y = y +(5 500 000, 6 500 000, 7 500 000, 8 500 000) m dla kolejnych pasów odwzorowawczych,   -Od 1949 r. zmieniono skalę na południkach środkowych na m0=1.

3)W 1952 r. wprowadzono nową wersję odwzorowania G-K (układ „1942”):

-elipsoida Krasowskiego,   -trzy 6-stopniowe pasy odwzorowawcze dla południków środkowych: 15°,  21°, 27°,   -skala m0 = 1,  X = x, Y = y +(3 500 000, 4 500 000, 5 500 000, 8 500 000) m dla kolejnych pasów odwzorowawczych.

4)W 1965 r. we wprowadzanym układem współrzędnych „1965”, w jednej jego strefie (V-strefa katowicka) zastosowano odwzorowanie G-K:

-elipsoida Krasowskiego,    -jeden pas odwzorowawczy L0 = 18°57¢30 (szerokość pasa ok.1.5°),

-skala m0 = 0.999983, X = x - 4 700 000 m, Y = y + 237 000 m.

5)W 1992 r. wprowadzono nowy układ współrzędnych „1992”, w którym zastosowano kolejną wersję odwzorowania G-K:

-elipsoida WGS-84,   -jeden 12-stopniowy pas odwzorowawczy dla całej Polski (L0 = 19°),

-skala m0 = 0.9993, X = x - 5 300 000 m, Y = y + 500 000 m.  -Odwzorowanie to jest obowiązującym (Rozp.R.M. z dnia 8.08.2000) odwzorowaniem dla map w skalach 1:10000 i mniejszych,

6)W 2000 r. wraz z utworzeniem nowego układu współrzędnych „2000”, wprowadzono nową wersję odwzorowania G-K:

-elipsoida WGS-84,  -cztery 3-stopniowe pasy odwzorowawcze (15°, 18°, 21°, 24°),  -skala m0 = 0.999923, X = x, Y = y + (5 500 000, 6 500 000, 7 500 000,      8 500 000) m dla kolejnych pasów odwzorowawczych.

-Odwzorowanie to jest obowiązującym odwzorowaniem dla mapy zasadniczej (Rozp.R.M. z dnia 8.08.2000),

Odwzorowanie płaszczyznowe (azymutalne) Postela

Konstrukcja odwzorowania równodługościowego, zwanego od nazwiska twórcy odwzorowaniem Postela (Guillaume Postel, 1510-1581) jest oparta na założeniu, że wszystkie koła wielkie przechodzące przez punkt styczności bryły z płaszczyzną odwzorowawczą zachowają wiernie długość, niezależnie od położenia tego punktu. Jeśli będzie nim biegun (położenie normalne), to takimi kołami wielkimi będą południki. Oznacza to, że w biegunowej siatce Posteła obrazy południków są liniami o wiernie odtworzonej długości. Odwzorowują się one zatem w postaci pęku odcinków przecinających się w punkcie głównym pod rzeczywistymi kątami. Różnice kątowe długości geograficznej między nimi są również zachowane. Równoleżniki tworzą okręgi współśrodkowe, ale ze względu na przyjęte założenie odstępy między nimi są rzeczywiste. Aby spełnić warunek odwzorowania równodługościowego, promień obrazu równoleżnika o szerokości geograficznej (, na którym leży punkt P, powinien być równy „wyprostowanemu" łukowi południka ( = OP' = OP), odpowiadającemu odległości biegunowej zB = 90° - (ryc. 23A). Ze wzoru:

                                                                      (45)

wynika, że aby w siatce tej przedstawić biegun przeciwległy do stycznego, należy zakreślić okrąg o promieniu równym R (w tym przypadku zB = 180°). W tym odwzorowaniu można więc przedstawić całą kulę ziemską; takiej możliwości nie stwarzają siatki azymutałne omówione poprzednio, jednocześnie, ponieważ biegun antypodalny odwzorowany jest w postaci okręgu, nie zaś punktu, zniekształcenia w kierunku równoleżnikowym, niedu­że w pobliżu bieguna stycznego (jedyne miejsce zerowych zniekształceń), znacznie rosną w kierunku bieguna przeciwległego, osiągając w nim wartość nieoznaczoną. Ze względu na przyjęte założenie w kierunku południkowym (wzn = l) nie występują zniekształcenia długości. Zniekształcenia pól i kątów zależą jedynie od wartości współczynnika znie­kształceń w kierunku równoleżnikowym. Równodługościowa siatka azymutalna w położeniu poprzecznym (równikowym) powstaje pod warunkiem zachowania wiernych długości łuków kół wielkich przecinających się w równikowym punkcie styczności, jedynymi liniami siatki geograficznej spełniającymi ten warunek są południk styczności (środkowy) i równik.

Odwzorowują się one w postaci wzajemnie prostopadłych odcinków, zachowujących rzeczywistą długość. Pozostałe połu­dniki i równoleżniki tworzą sieć linii krzywych rozmieszczonych symetrycznie względem tych dwóch wiernych długościowe linii. Odstępy między równoleżnikami na środkowym południku i między południkami na równiku są jednakowe i zgodne z odpowiednimi odległościami na kuli (ryć.23B).

W ukośnej siatce Postela, podobnie jak położeniach biegunowym i poprzecznym, cała kula ziemska odwzorowuje się w kole o promieniu R. Południk środkowy jest linią prostą o wiernie odwzorowanej długości. Dzieli on siatkę na dwie symetryczne części. W położeniu ukośnym południki i równoleżniki nie mają już charakteru siatki ortogonalnej, jak w siatce biegunowej. Wszystkie południki i równoleżniki wraz z równikiem, z wyjątkiem południka stycznego i południka oddalonego o 180° od niego, odwzorowują się na linie krzywe o skomplikowanym kształcie. Odstępy między obrazami równoleżników na środko­wym południku - ze względu na jego długość zgodną z rzeczywistym wymiarem - są równe i takie same jak na kuli ziemskiej (ryć.23C).

Dzięki zachowaniu rzeczywistych długości wzdłuż obrazów wertykałów siatka Postela jest stosowana przede wszystkim do sporządzania map radiokomunikacji morskiej i lądowej oraz map telekomunikacyjnych i pocztowych (ceny usług zależą m.in. od odległości). Siatka równodługościowa umożliwia bezpośrednie odczytywanie rzeczywistych odległości od stacji odbiorczej (przyjętej za punkt główny siatki) do stacji nadawczej. Odwzorowanie Postela jest także stosowane na mapach ilustrujących zjawiska sejsmiczne (umożliwia pokazanie rozchodzenia się fal sejsmicznych) i na mapach dostępności czasowej (izochronicznych). Znakomicie nadaje się do prezentacji obszarów polarnych (położenie biegunowe), kontynentów i planiglobów (zniekształcenia do 900 od punktu głównego nie są duże) oraz w astronomii - do opracowywania map półkul dał niebieskich.