Szereg geometryczny.docx

(144 KB) Pobierz

Szereg geometryczny

Niech będzie nieskończonym ciągiem liczowym. Wyrażenie

nazywamy szeregiem nieskończonym, a liczby wyrazami tego szeregu.

Zamiast przedstawionej powyżej nieskończonej sumy, stosuje się też symbol

Dodając wyrazy ciągu tworzymy ciąg sum

...

Ciąg nazywamy ciągiem sum częściowych danego szeregu.

Sumą szeregu nazywamy granicę ciągu sum częściowych jeżeli granica ta istnieje.

Piszemy wtedy

nadając w ten sposób sens liczbowy symbolowi

Jeżeli suma jest skończona, to szereg nazywamy zbieżnym, w przeciwnym razie (gdy suma jest równa lub granica wcale nie istnieje) nazywamy go rozbieżnym.

Najprostszym przykładem szeregu nieskończonego jest szereg geometryczny

Jego -ta suma częściowa jest równa

Ciąg ma granicę skończoną, gdy równą

Szereg geometryczny o pierwszym wyrazie i ilorazie jest zbieżny, jeżeli

Jego suma jest wtedy równa

Zad_1

Rozwiąż nierówność

Rozwiązanie
Lewa strona nierówności jest szeregiem geometrycznym, w którym i ma sens liczbowy, gdy tzn dla
Rozwiązaniem tej nierówności jest zbiór jest to dziedzina danej nierówności. Korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego, dla należących do dziedziny, mamy nierówność

czyli

która jest równoważna nierówności

Rozwiązaniem początkowej nierówności są takie wartości które spełniają ostatnią nierówność i należą do dziedziny.
Po obliczeniach otrzymujemy odpowiedź

Ciąg geometryczny

Definicja rekurencyjna

Niech będzie wyrazem pierwszym ciągu oraz niech dla każdego zachodzi równość Tak określony ciąg nazywamy ciągiem geometrycznym, a liczbę nazywamy ilorazem ciągu.

Ciąg geometryczny jest określony, gdy znamy jego wyraz pierwszy i iloraz
Z definicji tej wynika też, że stosunek wyrazu następnego do poprzedniego, dla wszystkich wyrazów, jest stały.