Liczby Zespolone.pdf

Liczby zespolone

Zadania przygotowawcze

1. Przedstawi¢ w postaci a + bi nastepuj¡ce liczby zespolone:

(a)(2+ i )(3 ¡i )+(2+3 i )(3+4 i )odp.1+18 i

3+ i odp.10 ¡ 11 i

(c)(2+ i ) 3 +(2 ¡i ) 3 )odp. 4.

1 ¡i 3 odp. 2.

2. Obliczy¢ i 77 , i 98 , i ¡ 57 . Odp. i , ¡ 1, ¡i .

3.Dowie–¢ r ó wno–ci:

(a)(1+ i ) 8 n =2 4 n , n2 Z; (b)(1+ i ) 4 n =( ¡ 1) n 2 2 n , n2 Z

4. Rozwi¡za¢ uk“ady r ó wna«:

(a)(1+ i ) z 1 +(1 ¡i ) z 2 =1+ i (b) iz 1 +(1+ i ) z 2 =2+2 i

(1 ¡i ) z 1 +(1+ i ) z 2 =1+3 i 2 iz 1 +(3+2 i ) z 2 =5+3 i

Odp. (a) z 1 = i;z 2 =1+ i , (b) z 1 =2 ;z 2 =1 ¡i

5. Wyznaczy¢ liczby rzeczywiste x i y spe“niaj¡ce r ó wnanie

(2+ i ) x +(1+2 i ) y =1 ¡ 4 i

Odp. x =2 ;y = ¡ 3

6. Rozwi¡za¢ r ó wnania

(a) z 2 =5 ¡ 12 i

(b) z 2 ¡ 5 z +4+10 i =0

Odp. (a)= § (3 ¡ 2 i ), (b) z 1 =5 ¡ 2 i;z 2 =2 i , (c) z 1 =5 ¡ 3 i;z 2 =2+ i

(b) (5+ i )(7 ¡ 6 i )

(d) 1+ i 5

7. Udowodni¢, »e :

(a) liczba zespolona z jest liczb¡ rzeczywist¡ wtedy i tylko wtedy gdy¯ z = z

(b) liczba zespolona z jest liczb¡ czysto urojon¡ ( tzn. tak¡, ze jej

czƒ–¢ rzeczywista jest r ó wna0) wtedy i tylko wtedy gdy¯ z = ¡z

8. Wyznaczy¢ wszystkie liczby :

(a) sprzƒ»one do swojego sze–cianu

(b) kt ó re s¡ sprzƒ»one do minus swojego kwadratu

9 Przedstawi¢ w postaci trygonometrycznej liczby :

(a) 5; (b) i; (c) -2; (d) -3i; (e) 1-i; (f)1 ¡i p 3; (g) ¡ p 3 ¡i ; (h)cos ®¡i sin ®

Odp. (a)5(cos0+ i sin0); (b)cos 1 2 ¼ + i sin 1 2 ¼ ; (c)2(cos ¼ + i sin ¼ );

(d)3(cos( ¡ ¼ 2 )+ i sin( ¡ ¼ 2 )); (e) p 2(cos( ¡ ¼ 4 )+ i sin( ¡ ¼ 4 )); (f)2(cos( ¡ ¼ 3 )+ i sin( ¡ ¼ 3 ))

(g)2(cos( ¡ 5 6 ¼ )+ i sin( ¡ 5 6 ¼ ))(h)cos( ¡® )+ i sin( ¡® )

10. Obliczy¢:

(a)(1+ i ) 1000 ; (b)(1+ i p 3) 150 ; (c)(

p 3+ i

1 ¡i ) 30

Odp. (a)2 50 ; (b)2 150 ; (c)2 15 i

11. Wyrazi¢ w postaci wielomian ó w odsin x icos x funkcje : (a)sin4 x ; (b)cos4 x ; (c)sin5 x ;

(d)cos5 x

Odp. (a)4cos 3 x sin x¡ 4cos x sin 3 x ; obliczy¢(cos x + i sin x ) 4 stosuj¡c wz ó r de Moivre’a i

wz ó r Newtona. (b)cos 4 x¡ 6cos 2 x sin x +sin4 x ; (c)5cos 4 x sin x¡ 10cos x sin 3 x +sin 5 x ; (d)

cos 5 x¡ 10cos 3 x sin 2 x +5cos x sin 4 x .

12. Obliczy¢:

r 8+24 i

3 ¡i

Odp. ( a) f§ 1 ;§ 1 2 (1 + i p 3) ; § 1 2 (1 ¡i p 3 ) g , (b) f 1 § i ;¡ 1 §ig ,

8 p 3 i¡ 8; (d) 3

(a) 6 p 1; (b) 4 p ¡ 4; (c) 4 p

13. Zobrazowa¢ na p“aszczy„nie zbi ó r punkt ó w odpowiadaj¡cym liczbom zespolonym z spe“-

niaj¡cym warunki:

(a) jzj =1, (b) arg z = ¼ 3 , (c) jzj· 3, (d) jz +3+4 ij· 5, (e)1 ·jz¡ 2 ij< 2, (f)

j Re zj· 1, (g) Im z =1, (h) ¡ 1 < Re iz< 0(i) jz¡ 2 j =Re z +2

Odp.(a) Okr¡g o promieniu 1 i –rodku w punkcie(0 ; 0), (b) p ó “prosta wychodz¡ca z pocz¡tku

uk“adu wsp ó “rzednych i tworz¡ca k¡t ¼ 3 z dodatni¡ p ó “osi¡ rzeczywist¡ , (c) ko“o o promieniu 3 i

–rodku w punkcie(0 ; 0)w“¡cznie z brzegiem ,(d) ko“o o –rodku w punkcie( ¡ 3 ;¡ 4)i promieniu

5 razem z brzegiem (e) pier–cie« zawarty miƒdzy dwoma okrƒgami o –rodku w punkcie(0 ; 2)i

promieniach 1 oraz 2 z w“¡czeniem okrƒgu o promieniu 1 i wy“¡czeniem okrƒgu o promieniu 2,

(f) pas zawarty miƒdzy prostymi pionowymi x = ¡ 1oraz x =1, (g) prosta pozioma y =1, (h)

pas miƒdzy prostymi poziomymu y =0oraz y =1, (i) parabola y 2 =8 x

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: