Ekonometria I                            Eko I W5 big a.doc

Wykład 5

Wprowadzenie do modeli optymalizacyjnych

Modelowanie wybranych zagadnień decyzyjnych.

Przykład 1 (Ignasiak 2.1)

Możemy podjąć jedną z trzech decyzji inwestycyjnych: A, B, C.

Która z tych decyzji jest najlepsza (optymalna)? Nie możemy odpowiedzieć no pytanie. Nie ma kryterium wyboru.

Jeśli kryterium byłaby minimalizacja nakładów to najlepszą (optymalną) byłaby decyzja C.

Jeśli kryterium byłaby maksymalizacja zysków to optymalna byłaby decyzja A.

Jeśli kryterium byłaby maksymalizacja stopy zysku to najlepsze  decyzje to A i C (jednakowo dobre).

Pojęcie modelu decyzyjnego (modelu optymalizacyjnego).

Badania operacyjne – zespół modeli i metod poszukiwania optymalnych rozwiązań w danych warunkach ekonomicznych. Badania operacyjne należą do nauk o zarządzaniu. Podstawowym przedmiotem badań operacyjnych są decyzje.

Sytuacja decyzyjna – decydent stosując kryterium wyboru chce wybrać decyzję optymalną ze zbioru decyzji dopuszczalnych.

Opis sytuacji decyzyjnej to zagadnienie decyzyjne Matematyczny zapis zagadnienia decyzyjnego to model matematyczny – zadanie decyzyjne.

Warunki ograniczające – zapisywane przy pomocy równań i nierówności. W warunkach występują parametry i zmienne decyzyjne. Mogą też występować warunki dodatkowe ograniczające np. decyzje tylko całkowitoliczbowe.

Decyzje dopuszczalne – decyzje spełniające wszystkie warunki ograniczające.

Funkcja celu – funkcja pełniące rolę kryterium wyboru.

Wybór decyzji optymalnej – wybór decyzji ze zbioru decyzji dopuszczalnych zgodnie z kryterium wyboru, minimalizującą, maksymalizującą lub najbliższą ustalonej wartości funkcji celu.

Zapis zadania decyzyjnego – (modelu programowania matematycznego PM)

D               – zbiór decyzji dopuszczalnych

f                – funkcja celu

f(x) → max dla x D               – maksymalizacja funkcji celu

f(x) → min dla x D               – minimalizacja funkcji celu

Jeśli w modelu matematycznym (zadaniu decyzyjnym) wszystkie relacje są liniowe i wszystkie zmienne są ciągłe to zadanie nazywamy zadaniem programowania liniowego (PL). Będziemy zajmować się tylko zadaniami (PL) programowania liniowego.

Przykład 2

Produkujemy dwa produkty A i B. Do produkcji zużywamy te same zasoby: robociznę, surowiec S1 i surowiec S2, których ilość jest ograniczona. Tabela opisuje zależności technologiczne:

Mamy podjąć decyzję o wielkości produkcji. Decyzja to para liczb (xA, xB). Ograniczenia wynikające z tabeli technologii produkcji i wielkości zasobów określają decyzje dopuszczalne:

1.       (R)               30 xA +  30 xB ≤ 480

2.       (S1)               12 xA +  24 xB ≤ 312

3.       (S2)               18 xA +  6 xB ≤ 216

4.       xA ≥ 0 ;                xB ≥ 0 ;

Każda para liczb (xA, xB) spełniająca warunki (1)-(4) jest decyzją dopuszczalną.

Czy decyzja (5, 6) jest decyzją dopuszczalną?

1.       30 · 5 +  30 · 6 = 150 + 180 = 330 ≤ 480

2.       12 · 5 +  24 · 6 = 60 + 144 = 204 ≤ 312

3.       18 · 5 +  6 · 6 = 90 + 36 = 126 ≤ 216

4.       5 ≥ 0 ;  6 ≥ 0 ;

Decyzja (5, 6) spełnia warunki (1)-(4) jest więc decyzją dopuszczalną.

Czy decyzja (11, 4) jest decyzją dopuszczalną?

1.       30 · 11 +  30 · 4 = 330 + 120 = 450 ≤ 480

2.       12 · 11 +  24 · 4 = 132 + 96 = 228 ≤ 312

3.       18 · 11 +  6 · 4 = 198 + 24 = 222 > 216

Decyzja (11, 4) spełnia warunki (1)-(3) lecz nie spełnia warunku (3) nie jest więc decyzją dopuszczalną. Nie ma potrzeby sprawdzania pozostałych warunków.

Zbiór decyzji dopuszczalnych może być pusty, jednopunktowy, wielopunktowy. Jeśli zbiór jest wielopunktowy potrzebne jest kryterium wyboru decyzji optymalnych. W naszym przykładzie kryterium jest określone przez zysk jednostkowy:

To dodatkowe kryterium określa funkcję celu, którą chcemy maksymalizować. Szukamy decyzji optymalnej xO = (xOA, xOB) t.że:

32 xOA + 29 xOB = max {32xA + 29xB ; (xA, xB) – dec. dopuszczalna}

Decyzja dopuszczalna maksymalizująca zysk leży na prostej podpierającej wypukły zbiór decyzji dopuszczalnych i prostopadłej do wektora (32, 29) określającego zysk jednostkowy. Szukając decyzji optymalnej wystarczy zbadać punkty leżące na przecięciach prostych ograniczających wypukły zbiór decyzji dopuszczalnych.

Musimy więc wyznaczyć punkty przecięcia wyznaczone przez:

(RS1) robociznę R i surowiec S1

(RS2) robociznę R i surowiec S2 

(S1S2) surowiec S1 i surowiec S2 

(xA,0) najbliższy 0 punkt na osi XA

(0,x...