Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 28
Na wykładzie dotyczącym fal w ośrodkach sprężystych omawiane było nakładanie się fal. Wykazanie, przez Thomasa Younga (w 1801 r.) istnienia takiej interferencji dla światła było pierwszym eksperymentem wskazującym na falowy charakter światła.
Young oświetlił światłem słonecznym ekran, w którym był zrobiony mały otwór S0. Przechodzące światło padało następnie na drugi ekran z dwoma otworami S1 i S2 i rozchodzą się dalej dwie, nakładające się fale kuliste tak jak na rysunku. Warunki stosowalności optyki geometrycznej nie są spełnione i na szczelinach następuje ugięcie fal. Mamy do czynienia z optyką falową. Jeżeli umieścimy ekran w jakimkolwiek miejscu, tak aby przecinał on nakładające się na siebie fale to możemy oczekiwać pojawienia się na nim ciemnych i jasnych plam następujących po sobie kolejno.
Przeanalizujmy teraz doświadczenie Younga ilościowo.
Zakładamy, że światło padające zawiera tylko jedną długość fali (jest monochromatyczne). Na rysunku poniżej punkt P jest dowolnym punktem na ekranie, odległym o r1 i r2 od wąskich szczelin S1 i S2.
Linia S2b została poprowadzona tak, aby PS2 = Pb. Trzeba zwrócić uwagę, że stosunek d/D przedstawiony na rysunku jest dla większej jasności przesadnie duży. Naprawdę d << D i wtedy kąt S1S2b jest równy q z dużą dokładnością.
Oba promienie wychodzące ze szczelin S1 i S2 są zgodne w fazie, gdyż pochodzą z tego samego czoła fali płaskiej. Jednak drogi, po których docierają do punktu P są różne więc i ich fazy mogą być różne. Odcinki Pb i PS2 są identyczne (tak to skonstruowaliśmy) więc o różnicy faz decyduje różnica dróg optycznych tj. odcinek S1b. Aby w punkcie P było maksimum to odcinek S1b musi zawierać całkowitą liczbę długości fal. Jest tak dlatego, że po przebyciu odcinka równego l faza fali powtarza się więc dla drogi ml fala ma fazę taką jak na początku tej drogi; odcinek S1b nie wpływa na różnicę faz a ponieważ fale były zgodne w źródle (szczeliny S1 i S2) więc będą zgodne w fazie w punkcie P. Warunek ten możemy zapisać w postaci
S1b = ml, m = 0, 1, 2, ......,
lub
dsinq = ml, m = 0, 1, 2, ......, (maksima) (28.1)
Zauważmy, że każdemu maksimum powyżej punktu O odpowiada położone symetrycznie maksimum poniżej punktu O. Istnieje też centralne maksimum opisywane przez m = 0.
Dla uzyskania minimum w punkcie P, odcinek S1b musi zawierać połówkową liczbę długości fal, to jest:
S1b = (m+1/2) l, m = 0,1,2,....,
dsinq = (m+1/2) l, m = 0, 1, 2, ......, (minima)
inaczej
dsinq = (2m+1)l/2, m = 0, 1, 2, ......, (minima) (28.2)
Przykład 1
Dwie szczeliny odległe od siebie o 1 mm oświetlono światłem zielonym (linia zielona lampy rtęciowej) o długości l = 546 nm. Jaka jest odległość między sąsiednimi prążkami interferencyjnymi obserwowanymi na ekranie umieszczonym w odległości 1 m od szczelin?
Najpierw sprawdźmy położenie kątowe np. pierwszego maksimum.
Dla m = 1 otrzymujemy: dsinq = l
skąd
sinq = l/d = (546·10-9 m)/(10-3 m) = 0.000546
co daje
q @ 0.03°
Dla tak małych kątów dobrym jest przybliżenie
sinq @ tgq @ q
Z rysunku widać, że tgq = y/D. Podstawiając to wyrażenie zamiast sinq w równaniu na maksimum interferencyjne otrzymujemy dla m-tego prążka
a dla następnego
Odległość między nimi wynosi więc
Uwaga: Jeżeli q jest małe to odległość między prążkami nie zależy od m, czyli prążki są rozmieszczone równomiernie. Jeżeli mamy więcej niż jedną l to powstaną oddzielne układy prążków (dla każdej z długości fal) o różnym odstępie między prążkami.
Równanie opisujące położenie kątowe maksimów może posłużyć do wyznaczenia długości fali
Z tej relacji T. Young wyznaczył długości fal światła widzialnego.
Podstawowym warunkiem powstania dobrze określonego obrazu interferencyjnego jest, aby fale świetlne które przybywają z punktów S1 i S2 miały dokładnie określoną różnicę faz j stałą w czasie. (Przypomnienie: faza jako określony stan fali w danym miejscu i czasie, patrz równanie opisujące falę E = Emsin(kx-wt)). Np. jest miejsce na ekranie, dla którego różnica faz wynosi p co oznacza fizycznie, że fale docierające tam wygaszają się (przy założeniu tej samej amplitudy); mamy ciemny prążek. I tak jest zawsze o ile różnica faz się nie zmieni. Gdyby taka zmiana nastąpiła to w tym miejscu natężenie światła nie będzie już równe zeru. Warunkiem stabilności obrazu jest więc stałość w czasie różnicy faz fal wychodzących ze źródeł S1 i S2. Mówimy, że te źródła są koherentne czyli spójne.
Jeżeli szczeliny S1 i S2 zastąpimy przez dwa niezależne źródła fal (np. żarówki) to nie otrzymamy prążków interferencyjnych, ekran będzie oświetlony prawie równomiernie. Interpretujemy to w ten sposób, że różnica faz dla fal pochodzących z niezależnych źródeł zmienia się w czasie w sposób nieuporządkowany.
W krótkim czasie są spełnione warunki dla maksimum, a za chwile (b. krótką np. 10-8 s) dla minimum, a jeszcze za chwilę warunki pośrednie. I tak dla każdego punktu na ekranie. Natężenie (w danym punkcie) jest więc sumą natężeń od poszczególnych źródeł. Mówimy, że te źródła są niespójne, niekoherentne.
Podsumujmy więc podstawową różnicę w opisie, podyktowaną oczywiście przez fakty doświadczalne:
· dla fal spójnych najpierw dodajemy amplitudy (uwzględniając stała różnicę faz), a potem celem obliczenia natężenia podnosimy otrzymaną amplitudę wypadkową do kwadratu (przypomnienie dla ruchu harmonicznego: Energia ~ A2).
· dla fal niespójnych najpierw podnosimy do kwadratu amplitudy, żeby otrzymać natężenia poszczególnych fal a potem dopiero sumujemy te natężenia.
Pozostaje jedynie pytanie jak wytworzyć światło spójne. Na tym etapie zapamiętajmy tylko, że zwykłe źródła światła takie jak żarówki (żarzące się włókno) dają światło niespójne dlatego, że emitujące atomy działają zupełnie niezależnie. Natomiast współcześnie szeroko stosowanymi źródłami światła spójnego są lasery.
Szczegóły dotyczące emisji światła przez lasery jak i zasadę działania lasera poznamy na dalszych wykładach.
Załóżmy, że składowe pola elektrycznego obu fal w punkcie P zmieniają się następująco
E1 = E0 sinwt
E2 = E0 sin(wt+j)
gdzie w = 2pv jest częstością kołową fal, a j różnicą faz między nimi.
· j zależy od położenia punktu P a tym samym od kąta q
· załóżmy natomiast, że E0 nie zależy od q (szczeliny są dostatecznie wąskie, tak że światło ugięte na każdej ze szczelin oświetla środkową część ekranu równomiernie)
Wynika stąd, że wypadkowe pole elektryczne w punkcie P jest równe
E = E1 + E2
Uwaga: Mówimy o polu E, a nie polu B (fali EM) ponieważ działanie tego drugiego na detektory światła (w tym oko ludzkie) jest znikome. Równanie powyższe powinno być wektorowe ale w tych przypadkach wektory E są do siebie równoległe więc wystarczy równanie algebraiczne.
Podstawiając równania dla obu fal obliczamy pole wypadkowe
E = E0sin(wt+j) + E0 sinwt = 2E0cos(j/2) sin(wt+j/2)
E = Eqsin(wt+b)
gdzie b = j/2 oraz Eq = 2E0cosb
Teraz chcemy obliczyć natężenie fali wypadkowej
Iq ~ E...
pkoszla