Wyk%b3ady-RR.pdf

Rownania Rozniczkowe Zwyczajne

wyklad dla studentow na kierunku automatyka i robotyka wersja robocza (6 styczen 2006)

Boguslaw Bozek

Wydzial Matematyki Stosowanej AGH

Spis tresci

Rozdzial 1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Rozdzial 2. Elementy analizy funkcjonalnej . . . . . . . . . . . . . . . 9

Rozdzial 3. Twierdzenia o istnieniu i jednoznacznosci . . . . . . . . 11

Rozdzial 4. Proste typy rownan rozniczkowych skalarnych . . . . . 15

4.1. Rownanie rozniczkowe o zmiennych rozdzielonych . . . . . . . . . . . . . 15

4.2. Rownanie jednorodne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.3. Rownanie rozniczkowe zupelne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.3.1. Czynnik calkuj acy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.4. Rownanie Clairauta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Rozdzial 5. Liniowe rownania rozniczkowe . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.1. Rownania i uklady rownan rozniczkowych liniowych . . . . . . . . . . . . 21

5.2. Skalarne rownanie liniowe rzedu pierwszego . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.3. Rownanie Bernoulliego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.4. Rownanie Riccatiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.5. Rownanie Lagrange’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.6. Skalarne rownanie rozniczkowe liniowe

ntego rz edu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.7. Obnizanie rzedu rownania liniowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.7.1. Wzor Liouville’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.7.2. Rownania wyzszych rz edow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.8. Niejednorodne rownanie rozniczkowe liniowe

ntego rz edu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.9. Rownanie liniowe ntego rz edu o stalych wspolczynnikach . . . . . . . . . 31

5.10. Metoda przewidywan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.11. Uklad skalarnych rownan rozniczkowych liniowych rz edu pierwszego . . . 33

5.12. Uklady rownan liniowych o stalych

wspolczynnikach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.12.1. Metoda wartosci i wektorow wlasnych . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.12.2. Sprowadzanie macierzy ukladu do postaci Jordana . . . . . . . . 38

5.13. Rownanie ruchu harmonicznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Spis tresci

Rozdzial 6. Rozwi azania w postaci szeregow funkcyjnych . . . . . . 43

6.1. Rozwi azania w postaci szeregow pot egowych . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.1.1. Uklad rownan liniowych rzedu pierwszego o stalych

wspolczynnikach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6.1.2. Skalarne rownania rozniczkowe rzedu pierwszego i drugiego . . . 44

6.2. Rownania rozniczkowe liniowe rzedu drugiego – szeregi Frobeniusa . . . 46

Rozdzial 7. Stabilnosc rozwi azan rownan rozniczkowych . . . . . . . 49

7.1. Podstawowe deﬁnicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

7.2. Twierdzenie Lapunowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

7.3. Problem Routha–Hurwitza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

7.4. Punkty osobliwe rownania rozniczkowego zupelnego . . . . . . . . . . . . 54

Rozdzial 8. Transformata Laplace’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

8.1. Podstawowe deﬁnicje i twierdzenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

8.2. Wyznaczanie transformaty rownania rozniczkowego . . . . . . . . . . . . 58

8.3. Wyznaczanie funkcji na podstawie jej transformaty . . . . . . . . . . . . 59

Rozdzial 9. Dodatek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

9.1. Tablice transformat Laplace’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

9.2. Przykladowe tematy zadan egzaminacyjnych – studia dzienne . . . . . . 66

9.3. Przykladowe tematy zadan egzaminacyjnych – studia zaoczne . . . . . . 83

Bibliograﬁa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Rozdzial 1

Wprowadzenie

Rownaniem rozniczkowym nazywamy zwi azek mi edzy pewn a nieznan a funkcj a,

a jej pochodnymi; gdy funkcja niewiadoma jest funkcj a jednej zmiennej, to mowimy

o rownaniu rozniczkowym zwyczajnym, w przeciwnym wypadku o rownaniu

rozniczkowym cz astkowym. Zwi azek postaci

F(t,x(t),x

′

(t),...,x (n) (t)) = 0

nazywamy rownaniem rozniczkowym zwyczajnym ntego rz edu, jesli lewa strona

istotnie zalezy od x (n) . Nie musi oba zalezec od x i t. Przykladowo rownanie

′′′

+ t(x

′

) 30 −e x sin t = 0

jest rownaniem rozniczkowym rz edu trzeciego. Funkcja x moze byc funkcj a ska

larn a, albo wektorow a.

Rownania rozniczkowe w zagadnieniach technicznych powstaj a na ogol w wy

niku stosowania nast epuj acych metod post epowania:

a) Przedstawiania praw ﬁzyki w postaci matematycznoanalitycznej.

b) Przedstawiania zwi azkow geometrycznych w postaci analitycznej.

c) Rugowania parametrow z nparametrowej rodziny funkcji i n rownosci.

Ad a) Niech v :

R 3 ⊃[t 0 ,T]×

R 3 ∋(t,x)→v(t,x)∈

R 3

b edzie zadanym

= v(t,x) opisuje ruchy cz astek unoszonych w polu

v. Jesli dodatkowo przyj ac warunek x(t 0 ) = x 0 , to x(t) jest polozeniem w chwili

t tej cz astki, ktora w chwili t 0 znajdowala si e w punkcie x 0 .

Ad b) Niech y = f(x). Wielkosc

′

(1 + (y

) 2 ) 2

|y ′′ | (A)

′

ρ(A) =

polem pr edkosci. Rownanie x

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: