Modele równań i metody ich rozwiazywania.pdf

(292 KB) Pobierz
262638110 UNPDF
1
2
Modele równań i metody ich rozwiązywania
dr Kazimierz Nitkiewicz
Wydanie pierwsze, Toruń 2010
ISBN: 978-83-61744-25-2
Wszelkie prawa zastrzeżone!
Autor oraz Wydawnictwo dołożyli wszelkich starań, by informacje zawarte w tej publi-
kacji były kompletne, rzetelne i prawdziwe. Autor oraz Wydawnictwo Escape Magazine
nie ponoszą żadnej odpowiedzialności za ewentualne szkody wynikające z wykorzysta-
nia informacji zawartych w publikacji lub użytkowania tej publikacji.
Wszystkie znaki występujące w publikacji są zastrzeżonymi znakami firmowymi bądź
towarowymi ich właścicieli.
Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie całości lub fragmentu w jakiejkolwiek
postaci jest zabronione. Kopiowanie, kserowanie, fotografowanie, nagrywanie, wypoży-
czanie, powielanie w jakiekolwiek formie powoduje naruszenie praw autorskich.
Wydawnictwo Escape Magazine
bezpłatny fragment
3
Spis treści
Wstęp
5
1. Modele równań trygonometrycznych (Modele T)
7
1.1. Model 1T model wzorcowy
8
Wa 9
1.3. Model 3T c
sin
+ W
b
cos
=
0
a
sin
W
+
b
cos
W
=
9
1.4. Model 4T
af
2
(
W
)
+ c
bf
W
)
=
0
10
1.5. Model 5T równania sprowadzalne do modeli poprzednich
11
1.6. Model 6T
xR 12
(sin
,
cos
x
)
=
0
xR 13
1.8. Model 8T nierówności trygonometryczne
(sin
2
;
cos
2
x
;
sin
x
cos
x
=
0
14
2. Modele równań algebraicznych z parametrem (Modele P)
18
2.1. Model 1P równanie pierwszego stopnia 18
2.2. Model 2P ilość pierwiastków równania kwadratowego 18
2.3. Model 3P znaki pierwiastków równania kwadratowego 20
2.4. Model 4P związki między pierwiastkami równania kwadratowego 21
2.5. Model 5P pozycje pierwiastków równania kwadratowego
22
2.6. Model 6P metoda wykresu funkcji
23
2.7. Model 7P układy równań z parametrem
25
3. Modele równań wykładniczych (Modele W)
28
3.1. Model 1W model wzorcowy
28
3.2. Model 2W funkcja wymierna )
aR 28
( x
aW 29
3.4. Model 4W wielomian jednorodny stopnia n-tego
(
x
,
b
x
)
aW 29
n b
x
,
x
)
n aW 30
3.6. Model 6W model mieszany wykładniczo-potęgowy
( x
30
3.7. Model 7W model wzorcowy dla nierówności wykładniczych
31
4. Modele równań logarytmicznych (Modele L)
33
4.1. Model 1L model wzorcowy
33
4.2. Model 2L jednakowe podstawy, różne argumenty
34
4.3. Model 3L jednakowe podstawy i jednakowe argumenty
34
4.4. Model 4L różne podstawy, jednakowe argumenty
35
4.5. Model 5L model potęgowo-wykładniczo-logarytmiczny
35
1.2. Model 2T
(
1.7. Model 7T
3.3. Model 3W wielomian jednorodny stopnia 1-go
(
3.5. Model 5W wielomian n-tego stopnia )
4
5. Modele mieszane równań z parametrem
37
5.1. Równania wykładnicze z parametrem
37
5.2. Równania logarytmiczne z parametrem
38
5.3. Równania trygonometryczne z parametrem
40
6. Zadania
44
7. Odpowiedzi
51
8. Wskazówki i rozwiązania
55
5
Wstęp
W ciągu wieloletniej pracy dydaktycznej, zarówno w szkolnictwie średnim, jak
i w szkolnictwie wyższym, miałem możliwość dokonać wielu spostrzeżeń dotyczących
sposobów nauczania matematyki.
Obserwacje dotyczące sposobów podawania materiału przez nauczycieli szkół
średnich i akademickich na bezpośrednich zajęciach oraz analiza podręczników szkół
średnich i wyższych skłoniła mnie do opracowania specjalnych metod nauczania pew-
nych działów matematyki.
Wieloletnie stosowanie tych metod w pracy z uczniami upoważnia mnie do
stwierdzenia wniosku o dużej skuteczności tych metod.
Trudności w opanowaniu materiału z matematyki przez uczniów szkół średnich
są na pewno wielorakie i powodowane różnymi przyczynami. Niemniej jedną z nich
i wcale nie najmniejszą jest brak umiejętności rozpoznania problemu na etapie początko-
wym i umiejętności wyboru właściwych metod do rozwiązania problemu.
Opracowane podręczniki z reguły dają możliwości poznania teorii i podstaw me-
rytorycznych matematyki. Niemniej jednak stosowana najczęściej stara zasada „powta-
rzanie jest matką studiów” nie zawsze daje najlepsze rezultaty. Może ktoś całymi dniami
i całe życie gonić po boisku za piłką, ale mistrzem od tego biegania nie zostanie. Bez
wątpienia lepsze rezultaty osiągnąć można stosując odpowiednie metody treningu.
Oczywiście geniusze są wyjątkami.
Pogoń za ilością rozwiązywanych zadań, co można obserwować w szkołach, jest
często bezsensowna. Można było zauważyć, że w dawnych liceach matematyczno-fi-
zycznych i przy realizacji obecnego programu rozszerzonego preferowano często ilość
zadań, a nie jakość stosowanych metod. Oczywiście nie we wszystkich szkołach.
Analiza tych problemów i bardzo duże doświadczenie w pracy dydaktycznej
i pedagogicznej skłoniły mnie do próby opracowania wskazówek metodycznych, które
z jednej strony ułatwiłyby uczniom rozwiązywanie zadań i ograniczyłyby ich ilość,
z drugiej zaś strony może choć dla części nauczycieli byłyby przydatne.
W opracowaniu niniejszym nie są przedstawiane problemy teoretyczne. Wręcz
przeciwnie, zakłada się znajomość materiału określonego w programach i zawartego
w odpowiednich podręcznikach szkolnych na odpowiednim poziomie.
W wyjątkowych przypadkach podawane są znane np. wzory celem zwrócenia
uwagi na możliwości ich odpowiedniej interpretacji i łatwiejszego stosowania.
Metody zastosowane w tym opracowaniu wynikają ze spostrzeżenia, że w wielu
partiach materiału można podać i opracować modele tematycznie grupujące problemy
odpowiednich zadań. Modele te ułatwiają rozpoznanie problemu matematycznego posta-
wionego w danym zadaniu i zastosowanie specyficznych dla danego modelu metod uła-
twiających rozwiązanie zadania.
Operowanie różnymi modelami do rozwiązywania zadań nie jest w matematyce
nowością. Znana jest dobrze np. klasyfikacja typów równań różniczkowych w matema-

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin