24
Rozdział 3. Przekształcanie wyrażeń algebraicznych
Pierwszym zagadnieniem, które omówimy, jest kwestia rozkładu wyrażeń algebraicznych na czynniki, tzn. przekształcania ich do postaci iloczynu dwóch lub większej liczby wyrażeń algebraicznych. Wyrażenie algebraiczne rozkładamy zwykle na czynniki najprostsze, tzn. takie, które się już na czynniki nie rozkładają.
Najczęściej, aby rozłożyć wyrażenie algebraiczne na czynniki należy:
1. wyłączyć wspólny czynnik poza nawias;
2. zastosować do całego wyrażenia lub jego części wzory uproszczonego mnożenia;
3. pogrupować składniki wyrażenia algebraicznego w takie grupy, które zawierają wspólny czynnik, jednakowy dla wszystkich grup;
4. zastosować znane twierdzenie (postać iloczynowa funkcji kwadratowej, twierdzenie Bezout, itp.) lub inny własny pomysł.
Najczęściej używamy następujących wzory skróconego mnożenia:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
(vii)
(viii)
(ix)
(x)
(xi)
Przykłady. Rozłożymy na czynniki dane wyrażenia.
a)
b)
W razie potrzeby możemy kontynuować rozkładanie na czynniki w następujący sposób:
c)
d)
e)
f)
g)
Przykład. Wyznaczymy wszystkie pary liczb rzeczywistych, dla których wyrażenie
przyjmuje wartość najmniejszą.
Rozwiązanie. Mamy
Zatem wartość najmniejsza jest przyjmowana wtedy, gdy i , tzn. dla oraz
Działania na ułamkach algebraicznych są analogiczne do działań na ułamkach liczbowych.
Aby dodać albo odjąć ułamki algebraiczne, sprowadzamy je do wspólnego mianownika, a następnie dodajemy lub odejmujemy liczniki przy niezmienionych mianownikach.
Po pomnożeniu ułamka algebraicznego przez ułamek algebraiczny otrzymujemy ułamek, którego licznik jest iloczynem liczników danych ułamków, a mianownik – iloczynem mianowników.
Aby podzielić dane wyrażenie przez ułamek algebraiczny należy pomnożyć je przez odwrotność dzielnika.
Przykłady. Doprowadzimy do najprostszej postaci poniższe ułamki.
Zastrzeżenia: .
Zastrzeżenia:
Niech oraz Potęgą o podstawie a i wykładniku n nazywamy liczbę zdefiniowaną następująco:
Na mocy dodatkowej umowy dla definiujemy potęgę o wykładniku zerowym przyjmując, że .
Jeżeli i to potęgą o podstawie a i wykładniku całkowitym ujemnym nazywamy liczbę .
Pierwiastkiem arytmetycznym n - tego stopnia z liczby nieujemnej x nazywamy liczbę rzeczywistą nieujemną a, spełniającą równanie oznaczamy go symbolem . Istnienie i jednoznaczność rozwiązania tego równania wynika z zasady ciągłości zbioru liczb rzeczywistych.
Zauważmy, że jeśli i n jest liczbą parzystą, to równanie nie ma rozwiązań. Określamy natomiast pierwiastek stopnia nieparzystego z liczby ujemnej w następujący sposób: jeżeli i , gdzie to .
Z powyższych definicji wynika, że jeżeli n jest liczbą nieparzystą, to dla każdego x istnieje jeden pierwiastek ; jeżeli natomiast n jest liczbą parzystą, to dla x < 0 nie istnieją pierwiastki n‑tego stopnia, natomiast dla każdego istnieje dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty.
Niech w będzie liczbą wymierną różną od zera. Wówczas liczbę tę można zawsze przedstawić, i to tylko w jeden sposób, w postaci ułamka nieskracalnego takiego, że W związku z tym dla dowolnego możemy przyjąć, że
Uwaga. Można wykazać, że założenie nieskracalności ułamka nie jest konieczne. Natomiast pominięcie założenia a > 0 i próba zdefiniowania potęgi o wykładniku wymiernym w analogiczny sposób prowadzi do sprzeczności, gdyż np.
gdy tymczasem
Definicja potęgi o wykładniku rzeczywistym wymaga znajomości pojęcia kresu zbioru i zasady ciągłości liczb rzeczywistych lub granicy ciągu.
Niech a będzie liczbą rzeczywistą dodatnią, a x dowolną liczbą rzeczywistą. Gdy połóżmy . Można wykazać, że jest to zbiór niepusty i ograniczony z góry, a więc posiada kres górny. Potęgę definiujemy jako kres górny zbioru E:
Jeżeli to wobec poprzedniego możemy wtedy przyjąć, że
Inne podejście do potęgi o wykładniku rzeczywistym opiera się na pojęciu granicy ciągu liczbowego. Wiadomo, że każda liczba rzeczywista x jest granicą ciągu liczb wymiernych. Mogą to być na przykład ciągi jej przybliżeń z niedomiarem otrzymane przez odpowiednie obcinanie rozwinięć dziesiętnych x. Dowodzi się, że dla dowolnego , jeżeli ciąg liczb wymiernych jest zbieżny do liczby x, to ciąg jest ciągiem zbieżnym. Ponadto łatwo widać, że jeżeli mamy inny ciąg liczb wymiernych zbieżny do x, to Rzeczywiście, wówczas ciąg jest także zbieżny do x. Ponadto ciągi i są podciągami ciągu zbieżnego , a więc są zbieżne do tej samej granicy, co ten ciąg.
Możemy więc wprowadzić następującą definicję:
Dla i , gdzie jest dowolnym ciągiem liczb wymiernych zbieżnym do x.
Dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych a i b oraz dowolnych x i y prawdziwe są następujące wzory:
(vii) Jeżeli , to
...
Koteciek