STATYSTYKA
www.pure6.neostrada.pl
Wykład – 19.02.2004.
By GLad|
Zmienna losowa – zmienna, której realizacji nie można z całą pewnością przewidzieć (wartości nie można przewidzieć). W każdej realizacji przypisane jest prawdopodobieństwo, że zmienna się zrealizuje.
Zmienne losowe:
X
Y
Z …
Wartości zmiennych losowych:
x
y
z …
Dystrybuanta zmiennej losowej – funkcja podająca prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmie wartość mniejszą od określonej liczby.
Zmienna losowa skokowa – zmienna, która przyjmuje wartości ze skończonego lub co najwyżej przeliczalnego zbioru liczb.
(np. liczba osób w grupie na AE może mieć 20, 21, 23, ale nie może mieć 21,5 osoby)
pi = P(X = xi), i = 1, 2, …
Prawdopodobieństwo, że X przyjmie wartość xi wynosi pi.
Dystrybuanta:
Suma prawdopodobieństwa xi dla wszystkich i < k.
F(x) = P(X < xk) =
Suma prawdopodobieństw jest równa 1.
Rozkład zmiennej losowej skokowej opisujemy za pomocą funkcji rozkładu i dystrybuanty.
Zmienna losowa ciągła – zmienna, która przyjmuje wartości ze skończonego lub nieskończonego przedziału liczb rzeczywistych.
Zmienna losowa X jest zmienną ciągłą jeśli posiada dystrybuantę F(x), która jest funkcją ciągłą oraz posiada pochodną F’(x) oznaczoną F(x) i jest ona ≥ 0 i pochodna jest funkcją ciągłą z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów.
F’(x) = f(x) = ≥ 0
Funkcja f(x), która jest pochodną dystrybuanty F(x), jest funkcją gęstości prawdopodobieństw zmiennej losowej X.
F(x) = lim(Δx -> 0)
Jeśli funkcja gęstości jest pochodną dystrybuanty, to:
F(x) =
P(a < X < b) = P(a ≤ X ≤ b) =
= 1
Prezentacja graficzna dystrybuanty funkcji zmiennej ciągłej:
Funkcja gęstości:
Powierzchnia pod całą funkcją gęstości prawdopodobieństwa jest równa 1.
| a b | - część z całości (pole)
Parametry rozkładu zmiennej losowej:
Moment zwykły rzędu k:
Mk = E(Xk)
Moment rzędu 1:
m1 = E(X)
E(X) – wartość przeciętna lub wartość oczekiwana, nadzieja matematyczna zmiennej losowej
Moment centralny rzędu 2:
μk = E[X – E(X)]k
μ1 = E[X – E(X)] = 0
μ2 = E[X – E(X)]2 = D2(X) = V(X)
D2(X) – wariancja zmiennej losowej
D(X) = {E[X – E(X)2]}1/2 – odchylenie standardowe zmiennej losowej
Moment centralny rzędu 3 (miara asymetrii):
μ3 = E[X – E(X)]3
Parametry rozkładu zmiennej losowej skokowej:
E(X) =
=
≈ pi – można oszacować prawdopodobieństwo
Wariancja:
D2(X) =
Odchylenie standardowe:
D(X) =
Parametry rozkładu zmiennej losowej ciągłej:
Gdy liczba danych jest nieskończona.
Koteciek