POMIARY PRZEMIESZCZEŃ
WSKAZÓWKI WYKONANIA TEMATU 4:
WYZNACZENIE WSKAŹNIKÓW PRZEMIESZCZENIA I DEFORMACJI MASYWNEGO FUNDAMENTU
Literatura – według wykazu podanego na pierwszym wykładzie oraz materiał wykładów
Opis zadania:
1. Na obwodzie masywnego, kolistego fundamentu są zastabilizowane znaczki pomiarowe podlegające okresowym obserwacjom. Konstrukcja znaczków, ich rozmieszczenie i technika pomiaru zapewniają wyznaczenie składowych bezwzględnych (a więc w zewnętrznym, nie związanym z obiektem układzie współrzędnych) przemieszczeń tych znaczków z niepewnością (odchylenie standardowe) 0.2 mm, przy czym dopuszcza się założenie braku korelacji pomiędzy wyznaczanymi składowymi przemieszczeń.
Obliczenia zadania prowadzimy w lokalnym lewoskrętnym układzie współrzędnych, którego początek znajduje się w geometrycznym środku bloku.
2. Współrzędne znaczków obliczamy korzystając ze znajomości ich miar bieżących w lokalnym płaskim układzie współrzędnych oraz znajomości obwodu bloku. Znając obwód bloku obliczamy jego promień, znając miary bieżące, obliczamy azymuty poszczególnych znaczków, a następnie ich współrzędne.
3. Korzystając z modelu jednorodnego 2D przemieszczeń i odkształceń (1) wyznaczamy wskaźniki przemieszczenia, obrotu i deformacji bloku w płaszczyźnie {x,y}:
(1)
gdzie:
, - zaobserwowane składowe przemieszczenia i-tego punktu o współrzędnych ,
, - niewiadome składowe przemieszczenia punktu o współrzędnych 0,0
, , - niewiadome składowe tensora deformacji E
- niewiadoma wartość obrotu w płaszczyźnie xy (czyli wokół osi z)
Układ V=AX+W równań obserwacyjnych prowadzących do wyznaczenia wyżej wymienionych sześciu niewiadomych ma postać (tu - przykładowe równania generowane przez dwie zaobserwowane składowe poziome przemieszczenia jednego punktu):
(2)
Układ powyższy rozwiązujemy metodą najmniejszych kwadratów, uzyskując wartości niewiadomych i ich macierz wariancyjno-kowariancyjną, z której obliczamy odchylenia standardowe poszczególnych niewiadomych.
Następnie na podstawie wyznaczonych składowych , przemieszczenia centru bloku wyznaczamy wartość i azymut AΔ0 przemieszczenia wypadkowego oraz ich odchylenia standardowe. UWAGA - obliczając azymut należy korzystać z dwuargumentowej funkcji arcus tangens lub starannie przeliczyć czwartak na azymut; inżynier geodeta musi umieć obliczać azymuty, tu litości nie będzie! Ta sama uwaga odnosi się do realizacji wzorów 6 i 7.
Korzystając z wzorów wyprowadzonych na wykładzie, na podstawie wyznaczonych składowych tensora E wyznaczamy wartość ekstremalnego ścinania
(3)
oraz wartości λ1 , λ2 i kierunki Aλ1, Aλ2 ekstremalnych odkształceń liniowych (jest to znane z kursu matematyki na I i II roku studiów a przypomniane na wykładzie zagadnienie własne macierzy: wyznaczenie wartości własnych i odpowiadających im wektorów własnych symetrycznej macierzy; azymuty Aλ1, Aλ2 obliczamy ze składowych wektorów własnych, pewną kontrolę stanowi sprawdzenie warunku wzajemnej prostopadłości tychże wektorów). Ze względu na symetrię odkształceń względem punktu wyznaczenia azymuty Aλ1, Aλ2 podajemy w zakresie 0-π.
4. Składowe pionowe obserwowanych przemieszczeń punktów pozwolą na wyznaczenie wskaźników osiadania i obrotu bloku jako bryły sztywnej. Odpowiednie równanie obserwacyjne ma trzy niewiadome i znaną już z kursu Geodezji Inżynieryjnej postać:
(4)
gdzie niewiadomymi są:
- osiadanie punktu o współrzędnych 0,0 (centru bloku)
- wskaźnik obrotu wokół osi x
- wskaźnik obrotu wokół osi y
zaś to zaobserwowana składowa pionowa przemieszczenia punktu i o współrzędnych
N punktów o znanych przemieszczeniach pionowych generuje układ n równań liniowych typu (4). Układ ten rozwiązujemy metodą najmniejszych kwadratów uzyskując najprawdopodobniejsze wartości niewiadomych i ich odchylenia standardowe.
Znajomość wartości obrotów ωx, ωy pozwala obliczyć wartość obrotu wypadkowego ω
, (5)
wyznaczyć kierunek i zwrot dodatniej półosi osi obrotu wypadkowego Aosi:
(6)
oraz kierunek linii największego spadu (jest to kierunek, w którym przechyla się badany obiekt):
(7)
przy czym wzory powyższe są słuszne jedynie dla nieskończenie małych wartości i .
Złożenie obrotów wokół poziomych osi, czyli obrót wypadkowy, należy zilustrować rysunkiem rzutu wektora jednostkowego V o długości 1.0 m, pierwotnie pionowego, po obrocie obiektu - nachylonego, na płaszczyznę poziomą x,y. Składowe tego rzutu obliczamy w następujący sposób:
V = (0, 0, 1m) – oznacza wektor pionowy przed deformacją, zaś Φ jest poznanym na wykładach tensorem nieskończenie małych obrotów:
(8)
Jaki będzie kierunek wektora dV?.
Jeżeli w obliczeniach współrzędne będą wyrażane w metrach, a składowe przemieszczenia w mm, wówczas miarą obrotów i wydłużeń będą mm/m, zaś składowe wektora dV będą wyrażone w mm.
5. Temat należy opracować według wskazówek podanych na arkuszu danych. Oszacowanie dokładności przez obliczenie odchyleń standardowych należy wykonać tylko dla tych wielkości, dla których zostało to zalecone w niniejszym konspekcie.
Powodzenia!
2
danek.nowak