Geometria rozniczkowa - A.Panasyuk.pdf
(
1422 KB
)
Pobierz
Geometriaró»niczkowa
AndriyPanasyuk
Wykład1:Poj¦ciepowierzchnigładkiej
n
;y = (y
1
;:::;y
m
) 2R
m
.
Oznaczenia: x = (x
1
;:::;x
n
) 2R
n
: jest to podzbiór U R
n
o tej własno±ci, »e wraz z ka»dym punktem x 2 U
Zbiór otwarty U R
zawiera te» pewn¡ otwart¡ kul¦ K 3 x.
Odwzorowanie gładkie f :R
n
U !R
m
: Jest to odwzorowanie odwzorowuj¡ce punkt x 2R
n
w punkt y 2R
m
zadawane przez m funkcji od n zmiennych
y
1
= f
1
(x
1
;:::;x
n
);
:::;
y
m
= f
m
(x
1
;:::;x
n
)
okre±lonych na U, o tej własno±ci, »e w ka»dym punkcie x
0
= (x
1
;:::;x
n
) 2 U istniej¡ wszystkie
pochodne cz¡stkowe
@f
i
@x
j
(x
0
) = lim
x
j
!0
(f
i
(:::;x
j
+ x
j
;:::)=x
j
);i = 1;:::;m;j = 1;:::;n. Z
reguły b¦dziemy wymaga¢ te», »eby te pochodne cz¡stkowe były funkcjami ci¡głymi. W szczególno±ci,
tak b¦dzie, je±li dla funkcji f
i
istniej¡ pochodne cz¡stkowe drugiego rz¦du
@f
i
@x
j
@x
k
.
Wykres
f
odwzorowania f :R
n
U !R
m
: jest to zbiór
f
= f(x;f(x)) j x 2 UgR
n
R
m
.
Inaczej
f
= f(x;y) 2R
m
j x 2 U;y = f(x)g.
Przykłady:Wykresy funkcji jednej i 2 zmiennych:
n
R
l
zadana
przez równania x
a
1
= 0;:::;x
a
lk
= 0 dla pewnego podzbioru A = fa
1
;:::;a
lk
gf1;:::;lg.
Przykładypłaszczyznwspółrz¦dno±ciowych:
k
l
: Jest to płaszczyzna wR
Wspólrz¦dzno±ciowa płaszczyzna k-wymiarowaR
A
R
R
A
R
2
: A = f1gf1; 2g
A = f2gf1; 2g
1
R
A
R
3
: A = f1gf1; 2; 3g
A = f2gf1; 2; 3g
A
R
3
: A = f1; 2gf1; 2; 3g
R
A = f2; 3gf1; 2; 3g
A
, gdzie A = f1;:::;lgnA.
(Gładka) k-wymiarowa powierzchnia S wR
l
: Jest to podzbiór S R
l
, który lokalnie jest
wykresem odwzorowania gładkiego zR
lk
l
=R
A
R
Uwaga:Wybór podzbioru A f1;:::;lg zadaje rozkładR
lk
. Dokładniej ostatnie zdanie oznacza, »e dla ka»dego
x 2 S istniej¡: 1) podzbiór A
x
f1;:::;lg; 2) zbiór otwarty U
x
R
k
wR
k
l
; 3) odwzorowanie gładkie
A
R
lk
A
f
x
: U
x
!R
l
; takie, »e S \O
x
=
f
x
.
Przykład:Niech S = f(x
1
;x
2
) j (x
1
)
2
+ (x
2
)
2
= 1gR
; 4) zbiór otwarty O
x
R
2
b¦dzie okr¦giem jednostkowym. Wtedy S
jest powierzchni¡ 1-wymiarow¡, bo dla x 2 O
x
= f(x
1
;x
2
) j x
2
> 0g mo»emy wzi¡¢ A
x
= f2g;U
x
=
(1; 1);f
x
(x
1
) =
p
1 (x
1
)
2
, dla x 2 O
x
= f(x
1
;x
2
) j x
2
< 0g mo»emy wzi¡¢ A
x
=
f2g;U
x
= (1; 1);f
x
(x
1
) =
p
1 (x
1
)
2
, dla x 2 O
x
= f(x
1
;x
2
) j x
1
> 0g mo»emy
wzi¡¢ A
x
= f1g;U
x
= (1; 1);f
x
(x
2
) =
p
1 (x
2
)
2
, dla x 2 O
x
= f(x
1
;x
2
) j x
1
< 0g
mo»emy wzi¡¢ A
x
= f1g;U
x
= (1; 1);f
x
(x
2
) =
p
1 (x
2
)
2
.
Innyprzykład: Zadajmy S R
2
jako obraz odwzorowaniaR!R
2
;t 7! (t
2
;t
3
). Wtedy S n
f(0; 0)g jest powierzchni¡ 1-wymiarow¡: mo»na j¡ przedstawi¢ jako wykres odwzorowaniaRnf0g3
x
2
7! (x
2
)
2=3
. Zauwa»my, »e to odwzorowanie nie jest gładkie w zerze: (x
2=3
)
0
(0) =
2
(2=3)x
1=3
j
0
= 1, czyli całe S nie koniecznie jest powierzchni¡ gładk¡. I rzeczywi±cie, istnienie
„dziubka” w zerze „przemawia” za tym, »e ona gładka w zerze nie jest.
Uwaga: Rozwa»my krzyw¡ S = f(x
1
;x
2
) j x
2
= x
1=
1
g. Jest ona wykresem funkcji f(x
1
) = x
1=
1
,
która nie jest gładk¡ w zerze ((x
1=
1
)
0
(0) = (1=3)x
2=3
j
0
= 1). Niemniej jednak, S jest powierzchni¡
gładk¡, bo mo»e te» by¢ przedstawiona w postaci f(x
1
;x
2
) j x
1
= x
2
g, czyli jest wykresem funkcji
gładkiej f(x
2
) = x
2
. Dlatego, »eby na pewno stwierdzi¢, »e krzywa z ostatniego przykładu nie jest
gładka w zerze (czyli, »e nie istnieje takiej funkcji gładkiej, której wykresem ona jest) potrzebne jest
dodatkowe jej badanie.
3
Wykład2:Sposobyokre±laniapowierzchnigładkich
Dwa sposoby zadawania powierzchni wR
l
: Przykłady z poprzedniego wykładu sugeruj¡ nast¦pu-
j¡ce sposoby zadawania powierzchni:
l
spełniaj¡cych równa-
nia F
1
(x) = 0;:::;F
lk
(x) = 0 dla pewnych funkcji F
1
;:::;F
lk
:R
l
zadaje si¦ jako zbiór punktów x 2R
I (poprzez równania) S R
l
!R(w pierwszym
przykładzie mamy jedn¡ funkcj¦ F(x
1
;x
2
) = x
1
+ x
2
1). Inaczej mówi¡c S jest poziomic¡
zerow¡ F
1
(0) pewnego odwzorowania F :R
l
!R
lk
.
II (poprzez parametryzacj¦) S R
l
zadaje si¦ jako obraz pewnego odwzorowania p :R
k
!R
l
(w drugim przykładzie jest to odwzorowanie t 7! (t
2
;t
3
)). Współrz¦dne wR
k
s¡ zwane te»
parametrami powierzchni S.
Wa»ne pytanie: Jakie warunki trzeba nało»y¢ na odwzorowanie F (przy I sposobie) oraz na p (przy
drugim), »eby S było powier»chni¡ gładk¡. Okazuj¦ si¦, »e samej gładko±ci F (lub p) nie wystarcza.
Istotnie, odwzorowanie t 7! (t
2
;t
3
) jest gładkie (pochodne (t
2
)
0
oraz (t
3
)
0
istniej¡ wsz¦dzie, nawet w
zerze), ale okre±lana przez nie powierzchnia nie.
Oznaczenia: Niech F :R
l
U !R
lk
b¦dzie odwzorowaniem gładkim zadawanym przez funkcje
F
1
(x
1
;:::;x
l
);
:::;
F
lk
(x
1
;:::;x
l
);
oraz niech A = fa
1
;:::;a
lk
gf1;:::;lg. Oznaczmy przez D
A
(F;x) macierz kwadratow¡
2
3
@F
1
(x)
@F
1
(x)
@x
a
lk
@x
a
1
:::
4
5
;
:::
@F
lk
(x)
@F
lk
(x)
@x
a
lk
@x
a
1
:::
a przez jD
A
(F;x)j jej wyznacznik. Ostatni b¦dziemy nazywa¢ „jakobianem cz¡stkowym”.
Teraz, z kolei, niech p :R
k
U !R
l
, gdzie k < l, b¦dzie odwzorowaniem gładkim zadanym praz
funkcje
p
1
(x
1
;:::;x
k
);
:::;
p
l
(x
1
;:::;x
k
);
a A = fa
1
;:::;a
k
g f1;:::;lg. W takiej sytuacji jakobianem cz¡stkowym jD
A
(p;x)j b¦dziemy
nazywa¢ wyznacznik macierzy kwadratowej
2
3
@p
a
1
(x)
@p
a
1
(x)
@x
k
@x
1
:::
4
5
:
D
A
(p;x) =
:::
@p
a
k
(x)
@p
a
k
(x)
@x
k
@x
1
:::
Twierdzenie I: Niech F :R
l
U !R
lk
b¦dzie odwzorowaniem gładkim oraz niech x
0
2 U b¦dzie
wybrany punktem, a y
0
= F(x
0
) 2R
lk
jego obrazem. Załó»my, »e istnieje takie A = fa
1
;:::;a
lk
g
f1;:::;lg, dla którego
jD
A
(F;x
0
)j6= 0:
4
Wtedy zbiór S = fx 2R
l
j F(x) = y
0
g jest gładk¡ powierzchni¡ k-wymiarow¡ w otoczeniu punktu
x
0
.
Dowód tego twierdzenia wynika ze znanego z analizy twierdzenia o funkcji uwikłanej. Mianowicie, to
twierdzenie mówi, »e je±li jD
A
(F;x
0
)j6= 0, to S w otoczeniu x
0
jest wykresem pewnego odwzorowania
gładkiego f :R
lk
A
.
Przykład: Niech S = f(x
1
;x
2
) j (x
1
)
2
+ (x
2
)
2
A
!R
= 1g R
2
, wtedy F(x
1
;x
2
) = x
1
+ x
2
;y
0
= 1.
Dla x
0
= (x
1
;x
2
) 2 S \O;O = f(x
1
;x
2
) j x
2
6= 0g, mo»emy wzi¡¢ A = f2g i mamy jD
A
(F;x
0
)j =
@x
2
(x
0
) = 2x
2
6= 0. Dla x
0
2 S \ O;O = f(x
1
;x
2
) j x
1
6= 0g, mo»emy wzi¡¢ A = f1g i mamy
jD
A
(F;x
0
)j =
@F
@F
@x
1
(x
0
) = 2x
1
6= 0.
Innyprzykład: Krzyw¡, któr¡ zadawali±my jako obraz odwzorowania t 7! (t
2
;t
3
) mo»emy te»
okre±li¢ jako S = f(x
1
;x
2
) j x
1
x
2
= 0g. Tutaj F(x
1
;x
2
) = x
1
x
2
, gradient tej funkcji gradF =
(
@F
@x
2
) = (3x
1
;2x
2
) znika w punkcie (0; 0). Dlatego nie znajdzie si¦ takiego A f1; 2g, »e
odpowiedni jakobian cz¡stkowy jD
A
(F; (0; 0))j6= 0. W konsekwencji, krzywa S jest gładk¡ wsz¦dzie
poza punktem (0; 0).
Jeszczeinnyprzykład: Niech S = f(x
1
;x
2
;x
3
) j x
1
+ x
2
x
3
= 0;x
3
= cg. Wtedy
F
1
(x
1
;x
2
;x
3
) = x
1
+ x
2
x
3
;F
2
(x
1
;x
2
;x
3
) = x
3
;y
0
= (0;c). Macierz Jakobiego tego odwzorowania
ma posta¢
@x
1
;
@F
"
@F
1
(x)
@x
1
#
2x
1
2x
2
1
0
@F
1
(x)
@x
2
@F
1
(x)
@x
3
=
;
@F
2
(x)
@x
1
@F
2
(x)
@x
2
@F
2
(x)
@x
3
0
1
= 0 dla A = f1; 2g f1; 2; 3g,
2x
1
2x
2
0
a cz¡stkowe jakobiany s¡ postaci: jD
A
(F;x)j =
0
= 2x
2
dla A = f2; 3g f1; 2; 3g. Oznacza to, »e w otoczeniu punktów x 2 S;x 6= (0; 0) zbiór S jest
powierzchni¡ gładk¡, natomiast w punkcie (0; 0) (który nale»y do S przy c = 0) nie koniecznie.
Istotnie, S jest przeci¦ciem powierzchni siodłowej f(x
1
;x
2
;x
3
) j x
1
+ x
2
x
3
= 0g z płaszczyzn¡
poziom¡ f(x
1
;x
2
;x
3
) j x
3
= cg. Dla c 6= 0 powierzchnia S jest hiperbol¡ fx
1
+ x
2
= cg le»¡c¡
w płaszczy¹nie x
3
= c, natomiast dla c = 0 hiperbola ta degeneruje si¦ w sum¦ dwóch prostych
fx
1
= x
2
g.
= 2x
1
dla A = f1; 3gf1; 2; 3g oraz jD
A
(F;x)j =
2x
1
1
0
2x
2
1
0
jD
A
(F;x)j =
1
1
Przykład:Niech S = f(x
1
;x
2
) j x
1
+ sin x
1
= x
2
+ cos x
2
g. Zauwa»my, »e jest trudnym pokazanie
wprost, »e S jest powierzchni¡ gładk¡ (jak wyrazimy x
1
przez x
2
lub x
2
przez x
1
?). Twierdzenie I,
natomiast daje nast¦puj¡c¡ odpowied¹: F(x) = x
1
+ sin x
1
x
2
cos x
2
; gradF = (1 + cos x
1
;1 +
sin x
2
). Gradient jest równy (0; 0) wtedy i tylko wtedy, gdy cos x
1
= 1; sin x
2
= 1 czyli x
1
=
+ 2N;x
2
= =2 + 2L;N;L 2Z. Łatwo sprawdzi¢, »e »aden z takich punktów (x
1
;x
2
) nie nale»y
do S. St¡d S jest powierzchni¡ gładk¡.
5
Plik z chomika:
mwt3
Inne pliki z tego folderu:
Modern Differential Geometry for Physicists - C.J.lsham.pdf
(15209 KB)
Differential Geometry - E.Kreyszig.epub
(9589 KB)
Riemannian Geometry. Modern Introduction - I.Chavel.pdf
(2536 KB)
A Course in Differential Geometry - T.Aubin.pdf
(6884 KB)
Riemannian Geometry - M.P.doCarmo.pdf
(10285 KB)
Inne foldery tego chomika:
Algebra
Analiza funkcjonalna
Analiza matematyczna
Analiza zespolona
Geometria kombinatoryczna
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin