8. pochodne_funkcji.pdf

Pochodnefunkcji

Wyk“adnr8(Budownictwo)

•Podstawowepojƒcia

•Twierdzeniaopochodnejfunkcji

De nicja1.(przyrostzmiennejiprzyrostfunkcji)

R ó »nicƒ

x−x 0 =:4x

nazywamyprzyrostemzmiennejrzeczywistejx,aodpowiadaj¡cyprzyrostowi

4xprzyrost

4f=f(x)−f(x 0 )

nazywamyprzyrostemfunkcjif.

De nicja2.(ilorazr ó »nicowy)

Ilorazprzyrost ó w 4f

4x = f(x)−f(x 0 )

x−x 0

nazywamyilorazemr ó »nicowymfunkcjif.

De nicja3.(pochodnafunkcjiwpunkcie)

Pochodn¡funkcjifwpunkciex 0 nazywamygranicƒilorazur ó »nicowegoprzy

x!x 0 ,tzn.

f(x)−f(x 0 )

x−x 0 .

Je»eligranicatakanieistnieje,tofunkcjawtympunkcieniemapochodnej.

Pochodn¡funkcjiy=f(x)oznaczamy:

4x =lim

lim

x!x 0

y 0 ,f 0 (x), dy

dx , df(x)

dx , ˙y

Pierwszedwasymbolewprowadzi“Lagrange 1 ,trzeciiczwartysymbol-

Leibniz 2 ,ostatnistosowanywmechanice-Newton 3 .

Uwaga1.Pochodnafunkcjiwpunkciex 0 jestr ó wnatangensowik¡ta,kt ó ry

tworzystycznadowykresufunkcjiwpunkciex 0

zdodatni¡czƒ–ci¡osiOX.

Uwaga2.Odnajdywaniepochodnejfunkcjinazywasiƒ

r ó »niczkowaniemfunkcji.Dzia“matematykitraktuj¡cyopochodnych,ich

w“asno–ciachizastosowaniachnazywamyrachunkiemr ó »niczkowym.

De nicja4.(funkcjar ó »niczkowalnawpunkcie)

Funkcjƒfnazywamyr ó »niczkowaln¡wpunkciex 0 ,je»eliistniejepochodna

funkcjif 0 (x 0 )wpunkciex 0 .

JosephLouisdeLagrange(1736-1813)-matematykfrancuski.

GottfriedWilhelmvonLeibniz(1646-1716)- lozofimatematykniemiecki

IsaacNewton(1642-1727)- zyk,astronomimatematykangielski

De nicja5.(funkcjar ó »niczkowalnanazbiorze)

Funkcjƒ,kt ó rajestr ó »niczkowalnawka»dympunkciezbiorunazywamyfunkcj¡

r ó »niczkowaln¡natymzbiorze.

‚ wiczenie1.Wyznaczpochodnepodanychfunkcji:

a)y=x;

b)y=x 2 ;

c)y=x 3 ;

d)y=sinx;

e)y=e x .

Pochodnewa»niejszychfunkcjielementarnych

1.(c) 0 =0,c2 R

2.(x a ) 0 =ax a−1 ,x>0,a2 R

3.(sinx) 0 =cosx

4.(cosx) 0 =−sinx

5.(tgx) 0 = 1

sin 2 x ,sinx6=0

7.(arcsinx) 0 = 1

p 1−x 2 ,−1<x<1,− 2 6 arcsinx 6 2

8.(arccosx) 0 = −1

1−x 2 ,−1<x<1,0 6 arccosx 6

9.(arctgx) 0 = 1

1+x 2 ,− 2 <arctgx< 2

10.(arcctgx) 0 = −1

1+x 2 ,0<arcctgx<

11.(e x ) 0 =e x

12.(a x )=a x lnx,a>0

13.(ln|x|) 0 = 1

x ,x6=0

14.(log a |x|) 0 = 1

xlna ,a>0,a6=1,x6=0

Twierdzenie1.(opochodnejsumy,r ó »nicy,iloczynuiilorazu)

Je»elifunkcjefigmaj¡pochodnewpunkciex,to

1.(c·f(x)) 0 =c·f 0 (x),gdziec2 R ;

2.(f(x)±g(x)) 0 =f 0 (x)±g 0 (x);

3.(f(x)·g(x)) 0 =f 0 (x)g(x)+f(x)g 0 (x);

f(x)

g(x)

= f 0 (x)g(x)−f(x)g 0 (x)

[g(x)] 2 ,oileg(x)6=0.

cos 2 x ,cosx6=0

6.(ctgx) 0 = −1

‚ wiczenie2.Obliczy¢pochodnepodanychfunkcji:

a)f(x)=x 5 +4x 3 −6x 2 − 2

x + p x;

b)g(x)=x 2 lnx;

c)h(x)= e x

sinx ;

d)s(x)= x 2 −1

x 2 +1 .

Twierdzenie2.(opochodnejfunkcjiz“o»onej)

Je»eli

1.funkcjafmapochodn¡wpunkciex,

2.funkcjagmapochodn¡wpunkcief(x),

[g(f(x))] 0 =g 0 (f(x))·f 0 (x).

‚ wiczenie3.Obliczy¢pochodnepodanychfunkcji:

a)f(x)=cos 3 x;

b)g(x)=(3x 2 +2x−10) 4 ;

c)h(x)=e sin 2 x ;

d)s(x)= 1

x 3 −1 .

‚ wiczenie4.Obliczy¢pochodnepodanychfunkcji:

a)f(x)=x x 2 ;

b)g(x)=x sinx .

min itworzyplamƒko“ow¡ogrubo–cid=2mm.Obliczy¢,zjak¡

prƒdko–ci¡bƒdziepowiƒksza“asiƒ–rednicaplamyropywchwili,gdybƒdzie

mia“a–rednicƒD=1000m.

‚ wiczenie6.Doczaszywkszta“ciep ó “kuliopromieniuR=20cmwlewa

siƒjednostajniewodazprƒdko–ci¡V=100 cm 3

sek .Obliczy¢prƒdko–¢,zjak¡

bƒdziepodnosi“siƒpoziomwodyh

wczaszynapocz¡tkuipodkoniecnape“niania.(Przypomnijmy,»eobjƒto–¢

odcinkakuliwyra»asiƒwzorem:V= 1 3 h 2 (3R−h))

Twierdzenie3.(r ó wnaniestycznejdowykresufunkcji)

R ó wnaniestycznejdowykresufunkcjifwpunkcie(x 0 ,f(x 0 ))jestpostaci:

y−f(x 0 )=f 0 (x 0 )(x−x 0 ).

cos 3 p

‚ wiczenie5.Ropazuszkodzonegotankowcawyciekazesta“¡prƒdko–ci¡

V=10 m 3

‚ wiczenie7.Napisa¢r ó wnaniastycznychdowykres ó wpodanychfunkcjiwe

wskazanychpunktach:

a)f(x)=e x ,(0,1);

b)g(x)=sinx,(,0).

‚ wiczenie8.Danes¡punktyA=(2,−1)orazB=(4,3).Nawykresie

funkcjiy=x 2 +1znale„¢punktCtaki,abypoletr ó jk¡taABCby“onajm-

niejsze.

x+1 znale„¢punkt

maj¡cyw“asno–¢,»eodcinekstycznejpoprowadzonejwtympunkcietworzyz

osiamiuk“aduwsp ó “rzƒdnychtr ó jk¡topoluS=2.

De nicja6.(pochodnewy»szychrzƒd ó w)

Drug¡pochodn¡funkcjiy=f(x)nazywamypochodn¡pierwszejpochod-

nej,tzn.

f 00 (x)= f 0 (x) 0 ,

podobnietrzeci¡pochodn¡funkcjiy=f(x)nazywamypochodn¡drugiej

pochodnej,itd.

f 000 (x)= f 00 (x) 0 ,

f (4) (x)= f 000 (x) 0 ,

f (n) (x)= f (n−1) (x) 0 .

dx 3 , ... y ,itd.

‚ wiczenie10.Obliczy¢pochodnef 0 ,f 00 ,f 000 podanychfunkcji:

a)f(x)=e x 2

;

b)g(x)=xlnx;

c)h(x)=sin 3 x.

‚ wiczenie9.Nakrzywejbƒd¡cejwykresemfunkcjiy= 1

Pochodnewy»szychrzƒd ó wfunkcjiy=f(x)oznaczamyr ó wnie»symbolami:

d 2 f(x)

dx 2 ,¨y; d 3 f(x)

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: