4. uklady_rownan_liniowych.pdf

(107 KB) Pobierz
442931989 UNPDF
Uk“adyr ó wna«liniowych
Wyk“adnr4(Budownictwo)
•Podstawowewiadomo–ci
•Uk“adykwadratowe
•Uk“adyniekwadratowe
De nicja1.(uk“adr ó wna«liniowych)
Uk“ademmr ó wna«liniowychznniewiadomymix 1 ,x 2 ,...,x n ,gdziem,n2
N nazywamyuk“adr ó wna«postaci:
8
> > > <
a 11 x 1 +a 12 x 2 +···+a 1 n x n =b 1
a 21 x 1 +a 22 x 2 +···+a 2 n x n =b 2
..................................
a m 1 x 1 +a m 2 x 2 +···+a mn x n =b m ,
> > > :
gdziea ij ,b i 2 R dla1 6 i 6 moraz1 6 j 6 n.
De nicja2.(rozwi¡zanieuk“adur ó wna«)
Rozwi¡zaniemuk“adur ó wna«liniowychnazywamyci¡g(x 1 ,x 2 ,...,x n )liczb
rzeczywistychspe“niaj¡cychtenuk“ad.
De nicja3.(uk“adsprzeczny,oznaczonyinieoznaczony)
Rozpatrzmydowolnyuk“adr ó wna«liniowych.Zachodzijedna
ztrzechmo»liwo–ci:
1.Zbi ó rrozwi¡za«jestzbiorempustym.Uk“adtakinazywamyuk“adem
sprzecznym.
2.Zbi ó rrozwi¡za«zawieradok“adniejedenelement.Uk“adtakinazywamy
uk“ademoznaczonym.
3.Zbi ó rrozwi¡za«zawieraniesko«czeniewieleelement ó w.Uk“adtakinazy-
wamyuk“ademnieoznaczonym.
De nicja4.(posta¢macierzowauk“adur ó wna«)
Uk“adr ó wna«liniowychmo»nazapisa¢wpostacimacierzowej:
AX=B,
gdzie
2
a 11 a 12 ···a 1 n
a 21 a 22 ···a 2 n
. . . . . . . . . . . .
a m 1 a m 2 ···a mn
3
2
x 1
x 2
. . .
x n
3
2
b 1
b 2
. . .
b n
3
A:=
6 6 6 4
7 7 7 5
,X:=
6 6 6 4
7 7 7 5
,B:=
6 6 6 4
7 7 7 5
.
MacierzAnazywamymacierz¡wsp ó “czynnik ó wlubmacierz¡g“ ó wn¡uk“adu,
macierzX-macierz¡niewiadomych,macierzB-macierz¡wyraz ó wwolnych.
‚ wiczenie1.Podaneuk“adyr ó wna«zapisa¢wpostaci
macierzowej:
1
8
> <
3x 1 +2x 2 =5
7x 1 −4x 2 =3
x 1 −x 2 =0
a)
> :
;
8 > > > <
x−2y+3z=1
3y−2z=0
x+t=3
x+z−3u=−5
b)
> > > :
.
De nicja5.(uk“adCramera 1 )
Uk“ademCrameranazywamyuk“adr ó wna«liniowych
AX=B,
wkt ó rymAjestkwadratow¡macierz¡nieosobliw¡.
Twierdzenie1.(wzoryCramera)
Uk“adCrameraAX=Bmadok“adniejednorozwi¡zanieokre–lonewzorami:
8
> > > > > > > <
detA
x 2 = detA 2
detA
............
x n = detA n
> > > > > > > :
detA ,
gdzieA j dla1 6 j 6 njestmacierz¡uzyskan¡zmacierzyAprzezzast¡pienie
wniejj-tejkolumnykolumn¡wyraz ó wwolnych.
‚ wiczenie2.Rozwi¡za¢uk“adyr ó wna«:
( x+5y=2
−3x+6y=15 ;
a)
8 > <
3x+y−2z=6
x−2y+5z=4
x+y+z=8
b)
.
> :
De nicja6.(macierzuzupe“niona)
Macierz¡uzupe“nion¡nazywamymacierzpowsta“¡zmacierzyAprzezdo“¡cze-
niekolumnywyraz ó wwolnych.Macierzuzupe“nion¡oznaczamyprzezU.
1
GabrielCramer(1704-1752)-matematykszwajcarski.
2
x 1 = detA 1
 
Twierdzenie2.(Kroneckera 2 -Capelliego 3 )
Uk“adr ó wna«liniowychmarozwi¡zaniewtedyitylkowtedy,gdyrz¡dmacierzy
g“ ó wnejjestr ó wnyrzƒdowimacierzyuzupe“nionejuk“adu,tzn.
rzA=rzU.
Twierdzenie3.(wniosekztw.Kroneckera-Capelliego)
1.Je»elirzA=rzU=n,gdzienoznaczaliczbƒniewiadomych,touk“adjest
oznaczony.
2.Je»elirzA=rzU<n,touk“adjestnieoznaczony.
3.Je»elirzA6=rzU,touk“adjestsprzeczny.
‚ wiczenie3.Rozwi¡za¢podaneuk“adyr ó wna«:
8
> > > <
x+6y−z=0
−x−4y+5z=6
3x+17y=2
2x+13y+5z=8
a)
> > > :
;
8 > <
x+2y+3z−t=−1
3x+6y+7z+t=5
2x+4y+7z−4t=−6
b)
;
> :
8
> > > <
x−y−2z+2t=−2
5x−3y−z+t=3
2x+y−z+t=1
3x−2y+2z−2t=−4
c)
> > > :
.
2
LeopoldKronecker(1827-1891)-matematykniemiecki.
3
AlfredoCapelli(1855-1910)-matematykw“oski
3

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin