Praca pochodzi z serwisu www.e-sciagi.pl
Przekształcenia liniowe.
Definicja:
Odwzorowanie h:E®F przestrzeni wektorowej E w przestrzeń wektorową F nazywamy odwzorowaniem linowym, jeśli dla dowolnych wektorów x,yÎE i dowolnej liczby lÎR spełnione są warunki:
h(x + y) = h(x) + h(y) - (addytywność)
h(lx) = l×h(x) - (jednorodność)
Twierdzenie 1.
W przekształceniu liniowym obrazem wektora zerowego 0 jest wektor 0.
Twierdzenie 2.
Obrazem podprzestrzeni w przekształceniu liniowym jest podprzestrzeń.
Twierdzenie 3.
Przeciwobrazem podprzestrzeni w przekształceniu liniowym jest podprzestrzeń
Obrazem odwzorowania liniowego h nazywamy podprzestrzeń h(E) i oznaczamy ją:
Imh = h(E) = {h(x): xÎE}
Jądrem odwzorowania liniowego h nazywamy podprzestrzeń h-1({0}) przestrzeni E i oznaczamy ją Ker h.
Ker h:= h-1({0})={xÎ E: h(x)=0}
Rzędem odwzorowania liniowego h nazywamy wymiar jego obrazu i oznaczamy go przez rg h
Rg h:=dim (im h)
Przykład 1.
Model „nakłady xi“ = wyniki yj . Gdy f : x®y jest przekształceniem liniowym.
Opisują równania liniowe:
...
Homotetie h : E® E ; h(x):=ax jest odwzorowaniem liniowym.
a = 1 – tożsamość, a ¹ 0 h – wzajemnie jednoznaczne
a = 0 – odwzorowanie zerowe
Macierz przekształcenia liniowego
Liniowe:
H : E® F jest określone jednoznacznie przez zadanie wartości na wektorach bazowych przestrzeni E.
Niech a1, a2, ...,an baza E to:
niech w przestrzeni F będzie dana baza: b1,b2,...,bm wówczas istnieją liczby
Definicja macierzy przekształcenia h:
Macierz
Nazywamy macierzą przekształcenia h.
Oznaczenie M(h) :
M(h):= [aik]m x n
F : R2®R2 obrót płaszczyzny wokół środka (0,0) o kąt a to:
Oznaczenie:
L(E,F) – zbiór wszystkich odwzorowań liniowych przestrzeni wektorowej E w przestrzeń wektorową F.
Twierdzenie 4.
Twierdzenie 5.
Jeżeli hÎL(E,F), gÎL(F,G) to iloczynem macierzy M(g) i M(h) nazywamy macierz M(g ° h). Iloczyn macierzy M(g) i M(h) oznaczamy M(g)×M(h).
Twierdzenie 6.
Jeżeli hÎL(E,F); gÎL(F,G) i M(g)=[aij]p x m; M(h)=[bik]m x n to M(g ° h)=[gjk]p x n, gdzie
Przykład 4.
Niech mamy do wyboru n koszyków z m dobrami każdy. Zakupu dokonujemy w dowolnym z p magazynów. Jeśli k -ta kolumna macierzy (bik)m x n przedstawia k -ty koszyk dóbr, a j -ty wiersz [aji]p x m ceny tych dóbr w j -tym magazynie , to współczynnik gjk macierzy (aji)(bik) oznacza wartość k –tego koszyka w j –tym magazynie.
Przykład 5.
Niech f,g będą obrotami płaszczyzny wokół punktu (0,0) o kąty a,b odpowiednio. Złożeniem tych przekształceń jest obrót wokół (0,0) o kąt a+b. Macierz złożenia = iloczyn macierzy tych przekształceń:
stąd mamy wzory na cos(a+b) i sin(a+b).
Niech hÎL(E,F) ; xÎE ; h(x)ÎF.
Oznaczmy bazy:
{a1, a2,...,an} w E
{b1, b2,...,bm} w F
mamy:
Szukamy zależności między współrzędnymi b1,b2,...,bn wektora x, a współrzędnymi g1,g2,...,gm wektora h(x).
stąd
Przyporządkowując wektorowi x macierz jednokolumnową [bi]n x 1, oraz wektorowi h(x) macierz jednokolumnową [gk]m x 1, a przekształceniu h jego macierz , czyli h(x)=M(h)×x.
Dowolne przekształcenie liniowe h : E®F jest dane wzorem:
Składanie przekształceń jest łączne, ale nie jest przemienne.
czemu odpowiadają wzory w rachunku macierzowym:
[oraz rozdzielność względem dodawania macierzy i łączność względem mnożenia przez liczbę]
Dla transponowania:
Przekształcenie tożsamościowe idE ma macierz
ponadto
czyli
A×I= I×A=A
Zadanie 1.
Które z poniższych przekształceń są liniowe?
a) f(x, y)=(2x-y; x+3y-1; 5x+2y)
b) f(x, y, z)=(x+y+z; 2x-z; -2y-3z)
znaleźć ich macierz, obraz oraz rząd.
Zadanie 2.
Znaleźć przekształcenie, które przekształca wektory [1,2] i [3,5] na wektory [-1,0], [0,2] odpowiednio.
Zadanie 3.
Znaleźć jądra przekształceń z zadania 1. Wykazać, że jądro przekształcenia liniowego jest przestrzenią liniową (wektorową).
Zadanie 4.
Zadanie 5.
Znaleźć f(A)=2A2-5A+5I, gdzie
Wyznacznik macierzy przekształcenia liniowego.
Niech liniowe h : E®E ; gdzie E jest przestrzenią wektorową z bazą {a1, a2,..., an}.
Wektory bazowe a1, a2,..., an rozpinają równoległościan o zorientowanej objętości Vol (a1, a2,..., an):=
A wektory h(a1), h(a2),..., h(an) – równoległościan o zorientowanej objętości Vol (h(a1), h(a2),..., h(an)).
Własności zorientowanej objętości:
1) Vol (a1, a2,...,ai,...,aj,...,an) =
=Vol(a1, a2,...,aj,...,ai,...,an) , i¹j
2) Vol(la1, a2,...,an)=l×Vol(a1, a2,...,an)
3) Vol(a1’+ a...
stary_hipis