Praca pochodzi z serwisu www.e-sciagi.pl

Przekształcenia liniowe.

Definicja:

              Odwzorowanie h:E®F przestrzeni wektorowej E w przestrzeń wektorową F nazywamy odwzorowaniem linowym, jeśli dla dowolnych wektorów x,yÎE  i dowolnej liczby lÎR spełnione są warunki:

              h(x + y) = h(x) + h(y)  -  (addytywność)

              h(lx) = l×h(x)              - (jednorodność)

Twierdzenie 1.

              W przekształceniu liniowym obrazem wektora zerowego 0 jest wektor 0.

Twierdzenie 2.

              Obrazem podprzestrzeni w przekształceniu liniowym jest podprzestrzeń.

Twierdzenie 3.

              Przeciwobrazem podprzestrzeni w przekształceniu liniowym jest podprzestrzeń

Definicja:

              Obrazem odwzorowania liniowego h nazywamy podprzestrzeń h(E) i oznaczamy ją:

Imh = h(E) = {h(x): xÎE}

Definicja:

              Jądrem odwzorowania liniowego h nazywamy podprzestrzeń h-1({0}) przestrzeni E i oznaczamy ją Ker h.

              Ker h:= h-1({0})={xÎ E: h(x)=0}

Definicja:

              Rzędem odwzorowania liniowego h nazywamy wymiar jego obrazu i oznaczamy go przez rg h

              Rg h:=dim (im h)

Przykład 1.

              Model „nakłady xi“ = wyniki yj . Gdy f : x®y jest przekształceniem liniowym.

Opisują równania liniowe:

              ...

Homotetie h : E® E  ; h(x):=ax jest odwzorowaniem liniowym.

       a = 1 – tożsamość, a ¹ 0  h – wzajemnie jednoznaczne

              a = 0 – odwzorowanie zerowe

Macierz przekształcenia liniowego

Liniowe:

              H : E® F jest określone jednoznacznie przez zadanie wartości na wektorach bazowych przestrzeni E.

              Niech a1, a2, ...,an baza E to:

              niech w przestrzeni F będzie dana baza: b1,b2,...,bm wówczas istnieją liczby

              ...

Definicja macierzy przekształcenia h:

              Macierz

Nazywamy macierzą przekształcenia h.

Oznaczenie M(h) :

              M(h):= [aik]m x n

F : R2®R2 obrót płaszczyzny wokół środka (0,0) o kąt a to:

Oznaczenie:

              L(E,F) – zbiór wszystkich odwzorowań liniowych przestrzeni wektorowej E w przestrzeń wektorową F.

Twierdzenie 4.

Twierdzenie 5.

Definicja:

              Jeżeli hÎL(E,F), gÎL(F,G) to iloczynem macierzy M(g) i M(h) nazywamy macierz M(g ° h). Iloczyn macierzy M(g) i M(h) oznaczamy M(g)×M(h).

Twierdzenie 6.

              Jeżeli hÎL(E,F); gÎL(F,G) i M(g)=[aij]p x m; M(h)=[bik]m x n to M(g ° h)=[gjk]p x n, gdzie

Przykład 4.

              Niech mamy do wyboru n koszyków z m dobrami każdy. Zakupu dokonujemy w dowolnym z p magazynów. Jeśli k -ta kolumna macierzy (bik)m x n przedstawia k -ty koszyk dóbr, a j -ty wiersz [aji]p x m ceny tych dóbr w j -tym magazynie , to współczynnik gjk macierzy   (aji)(bik) oznacza wartość k –tego koszyka w j –tym magazynie.

Przykład 5.

              Niech f,g będą obrotami płaszczyzny wokół punktu (0,0) o kąty a,b odpowiednio. Złożeniem tych przekształceń jest obrót wokół (0,0) o kąt a+b. Macierz złożenia = iloczyn macierzy tych przekształceń:

stąd mamy wzory na cos(a+b) i sin(a+b).

Niech hÎL(E,F) ; xÎE ; h(x)ÎF.

              Oznaczmy bazy:

{a1, a2,...,an} w E                           

{b1, b2,...,bm} w F                           

mamy:

Szukamy zależności między współrzędnymi b1,b2,...,bn wektora x, a współrzędnymi g1,g2,...,gm wektora h(x).

stąd                           

Przyporządkowując wektorowi x macierz jednokolumnową [bi]n x 1, oraz wektorowi h(x) macierz jednokolumnową [gk]m x 1, a przekształceniu h jego macierz , czyli  h(x)=M(h)×x.

Twierdzenie 3.

              Dowolne przekształcenie liniowe h : E®F jest dane wzorem:

Składanie przekształceń jest łączne, ale nie jest przemienne.

czemu odpowiadają wzory w rachunku macierzowym:

[oraz rozdzielność względem dodawania macierzy i łączność względem mnożenia przez liczbę]

Dla transponowania:

Przekształcenie tożsamościowe idE ma macierz

ponadto

czyli

A×I= I×A=A

Zadanie 1.

              Które z poniższych przekształceń są liniowe?

a)    f(x, y)=(2x-y; x+3y-1; 5x+2y)

b)   f(x, y, z)=(x+y+z; 2x-z; -2y-3z)

znaleźć ich macierz, obraz oraz rząd.

Zadanie 2.

              Znaleźć przekształcenie, które przekształca wektory [1,2] i [3,5] na wektory [-1,0], [0,2] odpowiednio.

Zadanie 3.

              Znaleźć jądra przekształceń z zadania 1. Wykazać, że jądro przekształcenia liniowego jest przestrzenią liniową (wektorową).

Zadanie 4.

Wyznaczyć macierz C=AB-BA, jeśli

Zadanie 5.

              Znaleźć f(A)=2A2-5A+5I, gdzie

Wyznacznik macierzy przekształcenia liniowego.

              Niech liniowe h : E®E ; gdzie E jest przestrzenią wektorową z bazą {a1, a2,..., an}.

              Wektory bazowe a1, a2,..., an rozpinają równoległościan o zorientowanej objętości Vol (a1, a2,..., an):=

A wektory h(a1), h(a2),..., h(an) – równoległościan o zorientowanej objętości Vol (h(a1), h(a2),..., h(an)).

Własności zorientowanej objętości:

1)    Vol (a1, a2,...,ai,...,aj,...,an) = 

   =Vol(a1, a2,...,aj,...,ai,...,an) , i¹j

2)    Vol(la1, a2,...,an)=l×Vol(a1, a2,...,an)

3)    Vol(a1’+ a...