kinematyka.pdf
(
196 KB
)
Pobierz
praca.dvi
Rozdział 2
Kinematyka
Definicja 3 Kinematyka jest to dział mechaniki opisuj acy ruch punktu
lub bryły, bez uwzgl edniania masy i przyczyn wywołuj acych zmian eruchu.
Kinematyczne równania ruchu punktu materialnego:
x = f
1
(t) ,y= f
2
(t) ,z= f
3
(t) - równania parametryczne toru punktu
lub
r = r (t) .
2.1 Pr edkosc
Rozpatrzmy ruch punktu P w przedziale czasu ∆t = t
2
−t
1
, w którym
punkt przebył drog e ∆s = P
1
P
2
. Dla dwóch kolejnych połoze
´
nmamy
r
2
= r
1
+∆r, ∆r = r
2
−r
1
.
Jesli ∆t → 0,to
v =im
∆t→0
∆t
=
dr
dt
=
→
r
Pr edkosc punktu jest wektorem okreslonym przez pierwsz a pochodn a
wektora połozenia wzgl edem czasu.
35
∆r
Składowe
v = xi + yj + zk,
v jest wektorem stycznym do toru.
Niech s (t) przedstawia drog e punktu P wprzedziale∆t,to
dt
=
dr
ds
dt
= s
τ
o
,
ds
gdzie
τ
o
-wektor jednostkowy styczny do toru w danym punkcie.
Mozna st ad wywnioskowac, ze moduł wektora pr edkosci, to pochodna
drogi po czasie.
2.2 Przyspieszenie
Rozpatrzmy z kolei, jak zmienia si e wektor pr edkosci w czasie ∆t.
Dla dwóch kolejnych połoze
´
nmamy
v
2
= v
1
+∆v.
Jesli ∆t → 0,to
a=im
∆t→0
∆t
=
dv
dt
=
→
v =
→
r.
Przyspieszeniem nazywamy wektor dany przez pierwsz a pochodn awek-
tora pr edkosci lub drug a pochodn awektorapołozenia wzgl edem czasu.
Składowe
a =xi+yj +zk.
Kierunek wektora przyspieszenia jest styczny do hodografu pr edkosci.
Równanie hodografu
v = v (t) ,
v
x
= v
x
(t) ,v
y
= v
y
(t) ,v
z
= v
z
(t) .
36
v =
dr
→
→
∆v
Przykład 4 Dane s a równania ruchu punktu
x = b
1
cos (ωt) ,y= b
2
sin (ωt) ,z=0.
Znalezc równanie toru, równanie hodografu pr edkosci oraz wartos
´
cpred-
kosci i przyspieszenia w chwili t = t
1
.
2.3 Ruch punktu we współrz ednych biegunowych
Równania ruchu we współrz ednych biegunowych
r = f
1
(t) , = f
2
(t) .
Zgodnie z twierdzeniem o sumie rzutów, rzut wektora na dowoln ao´sjest
równy sumie rzutów składowych danego wektora na t ˛aos, rzutujemy
v
x
,v
y
na kierunek r iprzyrostuϕ (w danej chwili). Inaczej- rzutujemy
v na r i ϕ.
v
r
= v
x
cos ϕ+v
y
sinϕ, v
ϕ
= −v
x
sin ϕ+v
y
cos ϕ.
Uwzgl edniaj ac zwi azki
x = r cos ϕ, y = t sin ϕ,
mamy
v
x
= x = r cos ϕ−r ϕ sinϕ, v
y
= y = r sinϕ + r ϕ cos ϕ.
St ad
v
r
=
dr
dt
= r, v
ϕ
= r
dϕ
dt
= r ϕ.
Pr edkosc promieniowa (radialna) jest pierwsz a pochodn apromienia
wodz acego wzgl edem czasu. Pr edkosc obwodowa (transwer-
37
salna) jest iloczynem promienia wodz acego przez pierwsz a pochodn a
k ata biegunowego wzgl edem czasu.
Podobnie z przyspieszeniem
a
r
= a
x
cos ϕ + a
y
sin ϕ, a
ϕ
= −a
x
sinϕ + a
y
sinϕ
a
x
= v
x
=r cos ϕ−2 r ϕ sin ϕ−rϕ sin ϕ−r ϕ
2
cos ϕ,
a
y
= v
y
=r sin ϕ+2r ϕ cos ϕ + rϕ cos ϕ−r ϕ
2
sinϕ.
St ad
a
r
=r−r ϕ
2
= v
r
−
v
ϕ
r
, (radialne)
a
ϕ
=2r ϕ + rϕ =
1
r
d
dt
(rv
ϕ
) , (transwersalne).
Przykład 5 Zbada´cruchokreslony równaniami r = At, ϕ = Bt.
2.4 Przyspieszenie styczne i normalne
Naturalny (normalny) układ współrz ednych
1. Pr edkosc v = v
τ
τ
o
+ v
n
n
o
+ v
b
b
o
. Poniewa z wektor pr edkosci jest
stycznydotorutov
n
= v
b
=0.
2. Przyspieszenie a = a
τ
τ
o
+ a
n
n
o
+ a
b
b
o
. Poniewa
˙
zwukładzie
lokalnym mozliwy jest rozkład przyspieszenia na styczne i nor-
malne to a
b
=0.
Wektor pr edkosci jest funkcj a czasu (zmienny co do kierunku i wartosci),
to
v = v (t) ,
v = vτ
o
,τ
o
- wektor jednostkowy w kierunku v wdanejchwili.
v = v (t) ,τ
o
= τ
o
(t) .
38
St ad
a =
dv
dt
τ
o
+ v
dτ
dt
.
Przyspieszenie
d
dt
= a
τ
nazywamy przyspieszeniem stycznym.
Znajdziemy pochodn a wektora jednostkowego po czasie. Skorzys-
tamy z iloczynu skalarnego
τ
o
◦τ
o
=1.
St ad
dt
(τ
o
◦τ
o
)=
dτ
o
◦τ
o
+τ
o◦
dτ
o
dt
=2τ
o
◦
dτ
o
d
dt
=0.
dt
Mamy zatem, ze wektor
dτ
o
dt
jest prostopadłydoτ
o
czyli do v. Zna-
jdziemy rozkład
dτ
o
dt
.
¯
∆τ
o
2
¯
=1in
∆ϕ
2
≈
∆ϕ
2
dla małych k atów,
¯
¯
¯
¯
dτ
o
dt
=lim
∆t→0
∆τ
o
∆t
=im
∆t→0
∆t
=
dϕ
dt
.
Oznaczaj ac wektor normalnej do v przez n
o
mamy
dt
=
dϕ
dt
n
o
,
astad
a =
dv
dt
=
dv
dt
τ
o
+ v
dϕ
dt
n
o
.
dv
dt
= a
τ
, v
dϕ
dt
= a
n
, a = a
τ
τ
o
+ a
n
n
o
.
Ile teraz wynosi moduł przyspieszenia a
n
?
a
n
= v
dϕ
dt
= v
dϕ
dt
= v
2
dϕ
ds
,
ds
39
∆ϕ
dτ
o
ds
Plik z chomika:
LaSylka
Inne pliki z tego folderu:
egzamin - pytania, opracowanie.rar
(1633 KB)
Engel_Giergiel_-_Dynamika.pdf
(33948 KB)
Engel_Giergiel_-_Kinematyka.pdf
(23066 KB)
Engel_Giergiel_-_Statyka.pdf
(19411 KB)
dynamika.pdf
(259 KB)
Inne foldery tego chomika:
Mechanika
mechanika budowli
Mechanika techniczna
Mechanika Techniczna(2)
Mechanika(1)
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin