2-CAŁKI WIELOKROTNE.doc

CAŁKI WIELOKROTNE

CAŁKA PODWÓJNA

§ 1. Całka podwójna w prostokącie.

Niech dany będzie prostokąt P określony nierównościami P={(x,y): a<x<b, c<y<d}.

  Y

   d

  yk

    c

            a      xk                            b              X

Niech w prostokącie P będzie określona i ograniczona funkcja dwóch zmiennych (x,y)→f(x,y).

Podzielmy prostokąt P na n małych prostokątów Pk, k=1,...,n, o polach Δσk (Δn – podział prostokąta P na n małe części). Obierzmy w każdym prostokącie punkt Ak(xk,yk)Pk, k=1,...,n.

Obliczmy wartość funkcji w punkcie f(xk,yk) i obliczmy sumę:

              (1)

Jest to wzór na n-tą sumę całkową funkcji f w prostokącie P.

Średnicą podziału Δn nazywamy liczbę , gdzie dk – długość przekątnej prostokąta Pk.

Ciąg podziału {Δn} jest normalnym ciągiem podziału, jeżeli odpowiadający mu ciąg średnic {δn­} jest zbieżny do zera, tj.: δn­0.

• Definicja całki podwójnej w prostokącie:

Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziału prostokąta P ciąg sum całkowych {Sn} określonych wzorem (1) jest zbieżny do tej samej granicy właściwej niezależnie od wyboru punktu Ak, to tę granicę nazywamy całką podwójną funkcji f w prostokącie P i oznaczamy symbolem:

- jeżeli granica ta jest właściwa, to mówimy, że funkcja jest

   całkowalna (w sensie Riemanna) w prostokącie P.

Ograniczoność funkcji (wiadomo wtedy, że sumy są skończone) jest warunkiem koniecznym całkowalności.

Jeżeli funkcja jest całkowalna to jest ograniczona.

• Twierdzenie: warunek wystarczający całkowalności:

Funkcja ograniczona w prostokącie P i ciągła z wyjątkiem punktów nieciągłości leżących na co najwyżej skończonej liczbie krzywych postaci y=φ(x) lub x=ψ(y) jest całkowalna.

                     x=ψ(y)             

Funkcja, która jest nieciągła na skończonej liczbie krzywych jest całkowalna.

                                                y=φ(x)

Interpretacja geometryczna całki podwójnej w prostokącie:

Jeżeli f(x,y) jest stała [f(x,y)=c, (x,y)P] to Sn=c∙σ, gdzie σ jest to pole prostokąta P. Ciąg Sn jest stały, ponieważ jest zbieżny do c∙σ (Sn→c∙σ).

Jeżeli funkcja jest ciągła w prostokącie P i przyjmuje wartości nieujemne [f(x,y)>0, (x,y)P] to całka podwójna jest równa objętości bryły ograniczonej płaszczyznami: z=0, x=a, x=b, y=c, y=d i powierzchnią z=f(x,y).

                                  Z

                                                                 z=f(x,y)

                                              a                            b       

                        c                                                                      X

   d

   Y

Własności całki podwójnej w prostokącie:

1)     Jeżeli f(x,y) jest całkowalna w prostokącie P, a c jest dowolną liczbą rzeczywistą, to funkcja c∙f jest całkowalna w P i zachodzi równość:

2)     Jeżeli funkcje f i g są całkowalne w prostokącie P, to ich suma też jest całkowalna w P i spełniona jest równość:

3)     Jeżeli funkcja f jest całkowalna w prostokącie P i P jest sumą prostokątów P1 i P2, to funkcja jest całkowalna w P1 i P2 i spełniona jest równość:

4)     Jeżeli m jest kresem dolnym funkcji f(x,y) w prostokącie P i M jest kresem górnym funkcji f(x,y) w P to spełniona jest nierówność:

,               σ – pole prostokąta P

• Definicja wartości średniej funkcji:

Liczbę (gdzie σ – pole prostokąta P) nazywamy wartością średnią funkcji f w prostokącie P.

• Twierdzenie: o wartości średniej funkcji:

Jeżeli funkcja dwóch zmiennych (x,y)→f(x,y) jest ciągła w prostokącie P to istnieje taki punkt DP, że spełniona jest równość:

=f(D)∙σ

Dowód: Z własności 4) i definicji wartości średniej wynika, że:

m<μ<M

• Twierdzenie: o zamianie całki podwójnej na iterowaną:

Jeżeli funkcja f jest całkowalna w prostokącie P={(x,y): a<x<b, c<y<d} to spełnione są równości:

całki iterowane

Przykład: Obliczyć całkę podwójną: w prostokącie P={(x,y): -2<x<3, 0<y<1}

Przykład: Obliczyć objętość bryły ograniczonej płaszczyznami: z=0, x=1, x=2, y=1, y=3 i

     płaszczyzną z=x2+y2.

                                   Z                            z=x2+y2                            f(x,y)=x2+y2                            P={(x,y): 1<x<2, 1<y<3}

                                                1  2                            

                      1                                                              X

                   3

Y

§ 2. Całka podwójna w obszarze normalnym.

• Definicja obszaru normalnego:

Obszar domknięty ={(x,y): a<x<b, φ(x)<y<ψ(x)} gdzie funkcje φ i ψ są ciągłe w <a,b> nazywamy obszarem normalnym względem osi OX.

  Y

   d                               y=ψ(x)

                                     P      obszar normalny

                            D

   c                   y=φ(x)

           a      x                                b      X

Kres dolny funkcji φ(x):                                          Kres górny funkcji ψ(x):

P={(x,y): a<x<b, c<y<d}                           

Niech będzie dana funkcja (x,y)→f(x,y) określona i ciągła w . Rozważmy funkcję pomocniczą f*, która jest określona w następujący sposób:

                            (1)

W takim razie f* jest ciągła z wyjątkiem punktów nieciągłości położonych na krzywych y=φ(x) i y=ψ(x), czyli jest całkowalna w prostokącie P.

Całkę podwójną funkcji f w obszarze definiujemy w następujący sposób:

Z twierdzenia o zamianie całki podwójnej na iterowaną otrzymujemy:

Powstałą całkę rozbijamy na trzy i otrzymujemy:

Obszar domknięty określony następującym wzorem: ={(x,y): α(y)<x<β(y), c<y<d}, gdzie funkcje α i β są ciągłe w <c,d> nazywamy obszarem normalnym względem osi OY.

                                                             Y

                                                              d             

                                                                               x=α(y)                                 

x=β(y)

                                                                 c

                                                                        a                                               b  X

Przykład: Obliczyć całkę podwójną po obszarze , gdzie jest dany równaniami:

                                 x = y i y2 = x.

  Y                                                                      Obszar ...