6-Turing.pdf

(73 KB) Pobierz
24735591 UNPDF
5. Maszyna Turinga
A T
Q — skończony zbiór stanów
q 0 – stan początkowy
F – zbiór stanów końcowych
, T,
>
– skończony zbiór symboli taśmy
T
— alfabet wejściowy
b
T–
— symbol pusty (blank)
: Q
: 2 Q ×Γ
{L,R} — funkcja przejścia ( L –w lewo, R –w prawo)
dwustronnie
nieskończona
taśma
b
b
A
B
C
A
B
B
B
A
b
b
q 1
Q
urządzenie sterujące pracujące
według funkcji
Konfiguracja: (q,
)
q – stan
– niepusta część taśmy
–wskazanie położenia głowicy
Funkcja przejścia: (dla automatu deterministycznego)
(q 1 ,C)=(q 2 ,A,R)
(q 1 ,AB
CABBBA) = (q 2 ,ABA
ABBBA)
Konfiguracja początkowa: (q 0 ,
),
T *
Przykład:
Q = {q 0 , q 1 , q 2 , q 3 , q 4 , q 5 }
F = {q 5 }
= {1,2,b}
T = {1}
:
b
1
2
q 0 1 ,2,L
q 0 ,1,R
q 1 2 ,b,R
q 1 ,1,L
q 1 ,2,L
q 2
3 ,b,R
q 4 ,b,R
q 3 4 ,1,R
q 3 ,1,R
q 3 ,2,R
q 4 1 ,1,L
q 5 ,1,R
q 5
5 ,1,R
Start: (q 0 ,
11) , Stop: (q 0 , 1111
)
A = <Q, q 0 , F,
24735591.001.png
q 0
1 1
q 0
1
1
q 0
1 1
b
q 1
1
1
2
q 1
1 1
2
q 1
b 1 1
2
q 2
b
1 1
2
q 3
b
1
2
q 3
1
2
q 3
1 2
b
q 4
1 2 1
b
q 1
1 2
1 1
q 1
1
2 1 1
q 1
1 2 1 1
q 1
b 1 2 1 1
q 2
b
1 2 1 1
q 3
b
2 1 1
q 3
2
1 1
q 3
2 1
1
q 3
2 1 1
b
q 4
2 1 1 1
b
q 1
2 1 1
1 1
q 1
2 1
1 1 1
q 1
2
1 1 1 1
q 1
2 1 1 1 1
q 1
b 2 1 1 1 1
q 2
b
2 1 1 1 1
q 4
b
1 1 1 1
q 5
1
1 1 1
.
. . . . . . . . . . . . .
q 5
1 1 1 1
b
Obliczalność funkcji w sensie Turinga—definicja
N = {0,1,2,…} (zbiór liczb naturalnych z zerem)
Funkcję f
f: (x 1 ,…,x k )
N k : N
A
A T ) ((q 0 ,
1 x1 b1 x2 b…b1 x2 ) = * (q,1 f(x1,…,xk)
))
gdzie: q
F, T={1},
={1, b,…}
Funkcje rekurencyjne — definicja:
1. Funkcją rekurencyjną jest:
a) Z(x) = 0 — zero
b) S(x) = x+1 — następnik
c) I i,n (x 1 ,…,x i ,…x n ) = x i — projekcja (identyczność)
f(x 1 ,…,x k ), k=1,2,…
nazywamy obliczalną w sensie Turinga jeżeli
(
2. Jeśli f 1 ,…,f n są funkcjami rekurencyjnymi m argumentów, g jest funkcją rekurencyjną
n argumentów, to funkcją rekurencyjną jest
h(x 1 ,…,x m ) = g(f 1 (x 1 ,…,x m ), …, f n (x 1 ,…,x m )) — podstawienie
3. Jeśli f jest funkcją rekurencyjną n argumentów, g jest funkcją rekurencyjną n+2
argumentów, to h(y,x 1 ,…,x n ) (funkcja n+1 argumentów) jest funkcją rekurencyjną
określoną jako:
h(0,x 1 ,…,x n ) = f(x 1 ,…,x n )
h(y+1,x 1 ,…,x n ) = g(y, h(y,x 1 ,…,x n ),x 1 ,…,x n ) — rekursja prosta
4. Jeśli f jest funkcją rekurencyjną n+1 zmiennych to funkcja h(x 1 ,…,x n ) będąca funkcją
n zmiennych jest funkcją rekurencyjną określoną jako:
h(x 1 ,…,x n )=
y (f(y,x 1 ,…,x n ))
y (f(y,x 1 ,…,x n )) oznacza najmniejszą liczbę y spełniającą równanie:
f(y,x 1 ,…,x n )=0 dla danych x 1 ,…,x n — minimum efektywne
5. Nic innego nie jest funkcją rekurencyjną.
Funkcje budowane przy pomocy operacji 1,2,3 (i 5) nazywają się funkcjami pierwotnie
rekurencyjnymi
F PR — klasa funkcji pierwotnie rekurencyjnych
F R — klasa funkcji rekurencyjnych
F PR
F R
Przy rozpatrywaniu obliczalności funkcji pierwotnie rekurencyjnych możemy oszacować
liczbę taktów potrzebnych maszynie Turinga do obliczenia takiej funkcji, czyli określić
złożoność czasową algorytmu realizowanego przez maszynę Turinga.
Dla funkcji rekurencyjnych tworzonych przy pomocy operacji 4 (minimum efektywne) nie da
się w przypadku ogólnym przeprowadzić takiego oszacowania. Jednakże dowodzi się, że
maszyna Turinga w skończonej liczbie kroków jest w stanie funkcje te obliczyć (pod
warunkiem, że są one określone dla wszystkich argumentów swojej dziedziny).
Przykłady:
a) D(y,x)=y+x jest funkcją rekurencyjną, gdyż można ją otrzymać w drodze
podstawienia i rekursji prostej funkcji podstawowych:
D(0,x) = I 1,1 (x) = x
D(y+1,x) = S(I 2,3 (y,D(y,x),x)) = S(D(y,x)) = y+x+1
b) H(x)=2x jest funkcją rekurencyjną, gdyż można ją otrzymać w drodze podstawienia
funkcji rekurencyjnych do funkcji D(y,x) , o której wiemy z punktu a), że jest
rekurencyjna:
H(x) = D(I 1,1 (x), I 1,1 (x)) = D(x,x) = x+x = 2x
c) M(y,x)=yx jest rekurencyjna, gdyż:
M(0,x)=Z(x)=0
M(y+1,x) = I 2,2 (y,D(M(y,x),x)) = D(M(y,x),x) = yx+x = (y+1)x
d) E(y,x)=x y jest rekurencyjna, gdyż wykorzystując c) otrzymujemy:
E(0,x) = S(Z(x)) = S(0) = 1 = x 0
E(y+1,x) = I 2,2 (y,M(x,E(y,x)) = M(x,E(y,x)) = xx y = x y+1
gdzie
F R F PR
Zbiór B
N nazywamy przeliczalnie rekurencyjnym, gdy jego funkcja charakterystyczna
f(x) :
f(x)= { 1, dla x∈ B
0, dla x
B
jest funkcją rekurencyjną.
Maszyna Turinga jest wtedy w stanie w skończonej liczbie kroków stwierdzić, czy x
B , czy
B , czyli potrafi obliczyć funkcję charakterystyczną dla tego x .
Zbiór B
N nazywamy przeliczalnie rekurencyjnym , jeżeli B=
( B jest pusty) lub istnieje
taka funkcja rekurencyjna f(x,y) , taka że:
(
N ) (f(x,y)=0)
Klasa zbiorów rekurencyjnych Z R jest podklasą właściwą klasy zbiorów rekurencyjnie
przeliczalnych Z RP
Z R
B) (
y
Z RP ale Z R
Z RP
N jest zbiorem rekurencyjnie przeliczalnym, to maszyna Turinga jest w stanie w
skończonej liczbie kroków określić, czy x
B tylko wtedy, gdy x rzeczywiście należy do B .
N) (f(x,y)=0) , ale aby to sprawdzić trzeba przebadać wszystkie
liczby naturalne, a tych jest nieskończenie wiele, więc badania nie da się przeprowadzić w
skończonej liczbie kroków.
Pojęcia zbiorów rekurencyjnych i rekurencyjnie przeliczalnych odnosiły się do zbiorów liczb
naturalnych. Można je wszakże przenieść na grunt języków.
B to
(
y
Numeracja Gödla : Można ponumerować słowa języka:
1. numerujemy elementy alfabetu
T={a 1 ,a 2 ,…,a n }
2. niech p 1 p 2 p 3 p 4 … będzie ciągiem rosnącym liczb pierwszych, np. 2,3,5,7,11,13,…
3. określamy funkcję num(x) dla x
num
(
)
0
T *
k
num
(
a
a
2
a
)
p
i
j
i
i
2
i
k
j
j
1
Można pokazać, że odwzorowanie
num: T * : N
jest wzajemnie jednoznaczne (funkcja num(x) jest różnowartościowa).
Przykład:
1. T={a,b} , numerujemy litery => T={a 1 ,a 2 }
2. określamy rosnący ciąg liczb pierwszych: p 1, p 2 , p 3 ,… jako 2, 3, 5, 7,…
3. analizujemy słowo x = abaa
T * , x = a 1 a 2 a 1 a 1 ,
num(x) = p 1 1 p 2 2 p 3 1 p 4 1 = 2 1 *3 2 *5 1 *7 1 = 2*9*5*7 = 630
T * będzie językiem.
Zbiór num(L) określony jako
num(L) = {n
N | n=num(x)
x
L}
jest zbiorem numerów słów tego języka.
Język L nazywamy rekurencyjnym , gdy jego zbiór num(L) jest zbiorem rekurencyjnym.
Język L nazywamy rekurencyjnie przeliczalnym , gdy jego zbiór num(L) jest zbiorem
rekurencyjnie przeliczalnym.
też x
x
Jeżeli B
Gdy natomiast x
1
Niech L
Akceptowalność języka L przez maszynę Turinga
A = <Q, q 0 , F,
, T,
>
— alfabet taśmy
T
—alfabet wejściowy
b
T–
—symbol pusty (blank)
— funkcja przejścia
Maszyna Turinga A akceptuje język
L(A) = {x
T * | (
q
F) (
y
* ) ((q 0 ,
x) = * A (q,y
))}
gdzie: (q,y
) – konfiguracja stopująca
Stwierdzenia dotyczące zbiorów rekurencyjnych i rekurencyjnie przeliczalnych przenoszą się
na akceptowalność języków rekurencyjnych i rekurencyjnie przeliczalnych przez maszynę
Turinga.
L R — klasa języków rekurencyjnych
L RP — klasa języków rekurencyjnie przeliczalnych
L TUR — klasa języków akceptowanych przez maszynę Turinga
Jeżeli L
L R to maszyna Turinga potrafi stwierdzić czy x
L , czy też x
L w skończonej liczbie
L tylko wtedy, gdy x rzeczywiście
należy do L , w przeciwnym razie w przypadku ogólnym nie zatrzyma się po wykonaniu
skończonej liczby kroków.
L R
L RP to maszyna Turinga potrafi stwierdzić, że x
L TUR
L RP = L TUR = L KOMB
gdzie: L KOMB —klasa języków kombinatorycznych (klasa 0 (zero) w klasyfikacji
Chomsky’ego)
L TUR ale L R
Z R
Tw. Klasa zbiorów rekurencyjnie przeliczalnych Z RP jest zamknięta ze względu na operacje
sumy, przecięcia (iloczynu mnogościowego), nie jest natomiast zamknięta ze względu na
uzupełnienie do N .
Jeżeli B
Z R to ( N –A)
Z RP to o zbiorze ( N –B ) nic nie można powiedzieć, w szczególności nie można
powiedzieć, że ( N – B) jest rekurencyjnie przeliczalny.
Gdyby ( N –B)
Z RP to korzystając z faktu, że jeżeli x
B to x
( N –B) maszyna Turinga
potrafiłaby w skończonej liczbie kroków stwierdzić, że x
( N –B), a zatem mogłaby
efektywnie określać, że x
B . To niestety nie ma miejsca.
A T
Q —zbiór stanów ( q 0 –stan początkowy, F –zbiór stanów końcowych)
kroków.
Jeżeli L
Tw: Klasa zbiorów rekurencyjnych Z R jest zamknięta ze względu na operacje sumy,
przecięcia (iloczynu mnogościowego) oraz uzupełnienia do N .
Jeżeli A

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin