Planimetria.pdf

Matura 2005

Z ADANIA DO POWTARZANIA PRZED MATUR Ą

Zestaw VI Planimetria

Zadanie 1.

W trójkącie ABC , w którym kąt ACB jest prosty, a kąt ABC ma 60°, poprowadzono dwusieczną kąta

ABC , przecinającą AC w punkcie D . Następnie przez punkt D poprowadzono prostopadłą do pro-

stej AB , przecinającą ją w punkcie E . Uzasadnij, Ŝe:

b) E jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC .

ED 1

Zadanie 2.

Czworokąt KLMN , w który moŜna wpisać okrąg, ma obwód 26,4 cm. Bok KL tego czworokąta jest

krótszy od boku LM o 3,8 cm, natomiast bok MN jest dłuŜszy od boku ML o 6 mm. Oblicz dłu-

gości boków czworokąta KLMN .

Zadanie 3.

Wierzchołki czworokąta KLMN , wpisanego w okrąg o promieniu 12 cm, podzieliły ten okrąg na

łuki KN , NM , ML i LK , których długości są w stosunku 1 : 5 : 3 : 9. Oblicz:

a) miary kątów wewnętrznych czworokąta,

b) długość boku ML .

Zadanie 4.

Jeden z boków trójkąta ma długość 18 cm, kąty przy tym boku mają 30

i 45

. Oblicz pole i obwód

tego trójkąta.

Zadanie 5.

Mając dane koło K i prostą m (patrz rysunek), skonstruuj:

tak, aby w przypadku a) figura złoŜona z prostej m oraz kół K i K

a) koło K ¢ m

b) prostą m

, zaś w przypadku b) z prostych m

i m

oraz koła K miała jednocześnie oś symetrii i środek symetrii. WskaŜ tę oś i ten środek.

Zadanie 6.

PrzedłuŜenia ramion KN i ML trapezu KLMN przecinają się w punkcie O . Mając dane:

cm,

cm i

cm, oblicz obwód trójkąta KOL .

Zadanie 7.

Krótsza podstawa trapezu równoramiennego ma długość 7 cm, przekątna tego trapezu ma długość

13 cm, a jeden z kątów wewnętrznych ma 120

. Oblicz:

a) pole trapezu,

b) pole koła opisanego na trapezie.

Zadanie 8.

Uzasadnij, Ŝe dla kaŜdej dodatniej liczby a trójkąt o bokach długości 2 a cm, 3 a cm i 4 a cm jest trój-

kątem rozwartokątnym. Ile, w przybliŜeniu, stopni ma kąt rozwarty takiego trójkąta?

Zadania dla poziomu rozszerzonego są wyróŜnione kursywą.

Matura 2005

Zadanie 9.

Uzasadnij, Ŝe wszystkie przekątne pięciokąta foremnego mają tę samą długość i oblicz miarę kąta

między dwiema przekątnymi wychodzącymi z tego samego wierzchołka.

Zadanie 10.

Punkty A , B , C , D , E i F są kolejnymi wierzchołkami sześciokąta foremnego. Wyraź sumę

za pomocą wektora AC .

Zadanie 11.

Przekątne czworokąta wypukłego ABCD przecinają się w punkcie O w ten sposób, Ŝe

. Uzasadnij, Ŝe czworokąt ABCD jest trapezem i wskaŜ jego podstawy.

Zadanie 12.

W dany wycinek kołowy OAB (patrz rysunek) wpisz okrąg tak, aby był on styczny do OA i do OB

oraz do łuku AB .

Matura 2005

Odpowiedzi:

1. a) Wsk a zówka : Skorzystaj z własności dwusiecznej i z własności trójkąta prostokątnego o ką-

tach

60 , kąt LMN =

100 , kąt MNK =

120 , kąt LKN =

b) ML = 12 cm

4. pole

( )

cm 2 , obwód

(

)

5. a) Koło K

jest kołem symetrycznym do koła K względem prostej m. Środkiem symetrii jest

punkt wspólny prostej łączącej środki kół i prostej m .

b) Prosta m

jest obrazem prostej w symetrii względem środka koła K . Osią symetrii tych trzech

figur jest prosta równoległa do m i przechodząca przez środek koła K .

6. 33,5 cm

7. a) 4

cm 2 b) 9

169p cm 2

8. ok.

105

11. Wsk a zówka : Zapisz podaną równość w postaci proporcji, a następnie uzasadnij, Ŝe trójkąty AOD

i COB są podobne. Podstawami trapezu są odcinki AD i BC .

12. Wsk a zówka : Najpierw skonstruuj okrąg styczny do OA i do OB ., a następnie przekształć go od-

powiednio przez jednokładność o środku O .

b) Wsk a zówka : Najpierw uzasadnij, Ŝe BD = AD

2. KL = 4,4 cm, LM = 8,2 cm, MN = 8,8 cm, KN = 5 cm

3. a) kąt KLM =

10.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: