4.Przestrzenie liniowe.pdf

Rozdzial 4

Przestrzenie liniowe

4.1 Przestrzenie i podprzestrzenie

4.1.1 Denicja i podstawowe wlasnosci

NiechXz dzialaniem dodawania `+' b edzie grup a przemienn a (abelow a).

Oznaczmy przez 0 element neutralny tej grupy, a przez (a) element prze-

ciwny do a2X. Zalozmy ponadto, ze wXzdeniowane jest dzialanie

`' mnozenia przez skalary, czyli elementy pewnego ciala K, ktore spelnia

nast epuj ace warunki:

(i)8a2X82K a = a2X

(ii)8a2X 1a = a (gdzie 1 jest jedynk a w K)

(iii)8a;b2X8;2K

( + )a = a + a

(a + b) = a + b

()a = (a).

Denicja 4.1 ZbiorXz dzialaniami o wyzej wymienionych wlasnosciach

nazywamy przestrzeni a liniow a nad cialem K i oznaczamyX jK (albo po prostu

X).

1 Zauwazmy, ze symbolu `' uzywamy zarowno do oznaczenia mnozenia skalaru przez

element z grupy jak i mnozenia skalaru przez skalar. Podobnie `+' oznacza zarowno

dodawanie w ciele K jak i w grupieX. Nie prowadzi to jednak do niejednoznacznosci, bo

z kontekstu zawsze wiadomo o jakie dzialanie chodzi.

ROZDZIAL 4. PRZESTRZENIE LINIOWE

Podamy kilka elementarnych wlasnosci przestrzeni liniowych:

8a2X 0a = 0

8a2X (1)a =a

82K8a2X [ a = 0()( = 0) lub (a = 0) ]

Pierwsza wlasnosc wynika z rownosci 0a = (0 + 0)a = 0a + 0a, a

druga z rownosci 0 = 0a = (1 + (1))a = a + (1)a. Implikacja w

praw a stron e w ostatniej wlasnosci jest oczywista. Aby pokazac implikacj e

w lew a stron e zalozmy, ze 0 = 0 i 6= 0. Wtedy

a = 1a = ( 1 )a = 1 (a) = 1 0 = 0:

jK . We wszyst-

kich tych przykladach mnozenie wektora przez skalar zdeniowane jest w

naturalny sposob \wyraz po wyrazie". Przestrzen liniow a nad R (albo nad

C) tworz a tez wielomiany stopnia co najwyzej (n1) o wspolczynnikach

rzeczywistych (albo zespolonych). Ozanczamy j a przezP n jR

(alboP n jC ).

4.1.2 Podprzestrzenie liniowe

Denicja 4.2 NiechX jK b edzie przestrzeni a liniow a. Niepusty podzbiorY

Xnazywamy podprzestrzeni a (liniow a) przestrzeniX jK , gdyYjest prze-

strzeni a liniow a nad K (z dzialaniami jak wX). Piszemy przy tym

Y jK

X jK :

Twierdzenie 4.1 Na to, abyY jK

X jK

potrzeba i wytarcza, ze:

(i)8a;b2Y a + b2Y

(ii)82K 8a2Y a2Y.

Dowod. Warunki bycia przestrzeni a s a w sposob oczywisty spelnione, bo

s a one spelnione wX.

Szczegolnymi przykladami podprzestrzeni s aY=X(podprzestrzen nie-

wlasciwa) orazY=f0g(podprzestrzen zerowa).

Elementy przestrzeni liniowejX jK nazywamy zwykle wektorami, odwolu-

j ac si e do odpowiedniej interpretacji geometrycznej.

Przykladami przestrzeni liniowych s a R n jR , C n jR , C n jC , K m;n

4.2. BAZA I WYMIAR PRZESTRZENI

Twierdzenie 4.2 Cz esc wspolna dowolnej rodziny podprzestrzeni przestrze-

ni liniowejX jK

Dowod. NiechfY j g j2J , gdzie J jest (byc moze nieskonczonym) zbiorem

indeksow, b edzie dowoln a rodzin a podprzestrzeni. Oznaczmy

Y j :

j2J

Wobec twierdzenia 4.1 wystarczy pokazac, ze dzialania dodawania i mnozenia

przez skalar nie wyprowadzaj a poza zbiorY. Rzeczywiscie, warunek a;b2Y

oznacza, ze a;b2Y j dla wszystkich j2J, a st ad rowniez a + b2Y j . W

konsekwencji a+b2\ j2J Y j =Y. Podobne uzasadnienie dla mnozenia przez

skalar omijamy.

Waznymi przykladami podprzestrzni liniowych przestrzeni macierzy K m;n

4.2 Baza i wymiar przestrzeni

4.2.1 Liniowa (nie)zaleznosc

Niechfb j g j=1 Xoraz if j g j=1 K. Element

b =

j b j

j=1

nazywamy kombinacj a liniow a elementowfb j g, przy czym liczbyf j gs a

wspolczynnikami tej kombinacji.

Zauwazmy, ze

B = span(b 1 ;b 2 ;:::;b n ) :=

j b j :f j g j=1 K

;

j=1

czyli zbior wszystkich kombinacji liniowych danych elementowfb j g, jest pod-

przestrzeni a przestrzeniX jK . Mowimy, ze B jest rozpi eta na elementach

b 1 ;:::;b n .

jest tez podprzestrzeni aX jK .

s a TRIL m;n , TRIU m;n oraz DIAG m;n . Podprzestrzeniami liniowymi wP n jK s a

P k jK z kn, albo wielomiany w ktorych zmienna wyst epuje tylko w pot egach

parzystych. (Przyjmujemy przy tym, ze1, czyli stopien wielomianu zero-

wego, jest liczb a parzyst a.)

ROZDZIAL 4. PRZESTRZENIE LINIOWE

Denicja 4.3 Ukladfb j g j=1

Xjest liniowo zalezny jesli istnieje uklad

skalarowf j g j=1

K zawieraj acy liczby niezerowe, dla ktorego

j b j = 0:

j=1

Xjest liniowo niezalezny jesli nie jest li-

niowo zalezny, tzn. gdy dla dowolnych skalarowf j g j=1 z rownosci

j b j = 0

j=1

wynika, ze j = 0, 1jn.

Latwo zauwazyc, ze dowolny (niepusty) poduklad ukladu liniowo nie-

zaleznego jest ukladem liniowo niezaleznym. Z drugiej strony, jesli uklad ma

poduklad liniowo zalezny to uklad wyjsciowy jest liniowo zalezny.

Rozpatrzmy dowolny ukladfb j g j=1 . Jesli jest on liniowo zalezny to ist-

niej af j g j=1 takie, ze dla pewnego s mamy s 6= 0 oraz

j=1 j b j = 0.

Wtedy

b s =

b j ;

s6=j=1

czyli b s 2span (b 1 ;:::;b s1 ;b s+1 ;:::;b n ), a st ad

span(b 1 ;:::;b s ;:::;b n ) = span(b 1 ;:::;b s1 ;b s+1 ;:::;b n ):

Mozna tak post epowac dalej otrzymuj ac w koncu uklad liniowo niezalezny

rozpinaj acy t a sam a przestrzen cofb j g j=1 . (Poniewaz uklad wyjsciowy jest

skonczony, proces \wyjmowania" kolejnych wektorow musi si e skonczyc po

co najwyzej n krokach.)

Prawdziwe jest wi ec twierdzenie, ze z kazdego ukladu (b 1 ;:::;b n ) mozna

wyj ac poduklad (b j(1) ;:::;b j(k) ), 1j(1) << j(k)n (0kn) taki,

ze jest on liniowo niezalezny oraz

span(b 1 ;:::;b n ) = span(b j(1) ;:::;b j(k) ):

Denicja 4.4 Ukladfb j g j=1

4.2. BAZA I WYMIAR PRZESTRZENI

4.2.2 Baza i wymiar, twierdzenie Steinitza

Denicja 4.5 Ukladfb j g j=1 nazywamy baz a przestrzeniY jK

X jK

gdy:

(i) jest on liniowo niezalezny,

(ii)Y= span(b 1 ;b 2 ;:::;b n ).

Mamy nast epuj ace wazne twierdzenie.

Twierdzenie 4.3 W danej przestrzeniY jK

wszystkie bazy s a rownoliczne.

Twierdzenie to, ktore zaraz udowodnimy w przypadku przestrzeni dla

ktorych istniej a bazy skonczone, prowadzi do nast epuj acej waznej denicji.

Denicja 4.6 Liczb e elementow bazy danej przestrzeniY jK

nazywamy jej

wymiarem i oznaczamy dim(Y jK ).

Dowod twierdzenia o rownolicznosci baz opiera si e na nast epuj acym bar-

dzo pozytecznym twierdzeniu.

Twierdzenie 4.4 (Steinitza o wymianie) Niech

span(b 1 ;:::;b n )span(c 1 ;:::;c m ) =X;

przy czym ukladfb j g j=1 jest liniowo niezalezny. Wtedy n elementow ukladu

fc j g j=1 mozna wymienic nafb j g j=1 otrzymuj ac uklad rozpinaj acyX.

Uwaga. W twierdzeniu Steinitza ukryta jest rowniez teza, ze nm, bo

tylko wtedy wymiana elementow jest mozliwa.

Dowod. (Indukcja wzgl edem n.)

Dla n = 0 teza jest oczywista. Zalozmy, ze teza zachodzi dla n1. Wtedy

n1m oraz

X= span(b 1 ;:::;b n1 ;c n ;c n+1 ;:::;c m ):

(Zakladamy bez zmniejszenia ogolnosci, ze wymienilismy n1 pocz atkowych

elementow ukladufc j g j=1 .) Poniewaz b n 2Xto mozna go przedstawic w

postaci kombinacji liniowej

b n =

j b j +

j c j :

j=1

j=n

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: