2.Macierze liczbowe.pdf
(
90 KB
)
Pobierz
116013605 UNPDF
Rozdzial 2
Macierze liczbowe
2.1 Podstawowe denicje
Macierz a (nad cialem K) nazywamy tablic e prostok atn a
2
a
1;1
a
1;2
::: a
1;n
a
2;1
a
2;2
::: a
2;n
.
3
A =
4
.
a
m;1
a
m;2
::: a
m;n
5
;
gdzie a
i;j
2K, 1im, 1jn. B edziemy mowic, ze A jest macierz a
formatu mn, tzn. macierz a o m wierszach i n kolumnach. Zbior wszystkich
takich macierzy oznaczamy przez K
m;n
.
2.1.1 Macierze szczegolnych formatow
nn Macierze kwadratowe K
n;n
.
m1 Macierze jednokolumnowe nazywane wektorami.
Zbior wektorow oznaczamy przez K
m;1
= K
m
,
2
a
1
a
2
.
a
m
3
K
m
3A = (a
i;1
) = a = a = (a
i
)
i=1
=
4
5
:
11
.
12
ROZDZIAL 2. MACIERZE LICZBOWE
1n Macierze jednowierszowe nazywane funkcjonalami.
Zbior funkcjonalow oznaczamy przez K
m;1
= K
n
T
(albo K
n
H
),
K
nT
3A = (a
1;j
) = a
T
= a
T
= (a
j
)
j=1
= [a
1
;:::;a
n
] :
11 Macierze jednoelementowe, utozsamiane z K, tzn. K
1;1
= K.
2.1.2 Podzial blokowy
Cz esto wygodnie jest przedstawic macierz w postaci blokowej, ktora w ogo-
lnosci wygl ada nast epuj aco:
A =
2
4
A
1;1
::: A
1;t
3
5
2K
m;n
;
(2.1)
P
q=1
n
q
= n.
Na postac blokow a mozna patrzyc jak na macierz, ktorej elementami
s a macierze. Z drugiej strony, macierz liczbow a mozna interpretowac jako
macierz w postaci blokowej z blokami formatu 11.
Wazne szczegolne przypadki to podzial kolumnowy macierzy,
P
p=1
m
p
= m,
2
a
1;j
a
2;j
.
a
n;j
3
A = [a
1
;a
2
;:::;a
n
] ; gdzie a
j
=
4
5
; 1jn;
oraz podzial wierszowy macierzy,
A =
2
4
a
1
a
.
a
T
m
3
5
; gdzie a
i
= [a
i;1
;a
i;2
;:::;a
i;n
] ; 1im:
2.2 Dzialania na macierzach
2.2.1 Podstawowe dzialania
Mozemy na macierzach wykonywac rozne dzialania. Podstawowe z nich to:
.
A
s;q
::: A
s;t
.
gdzie A
p;q
2K
m
p
;n
q
, 1ps, 1qt,
2.2. DZIALANIA NA MACIERZACH
13
u2K;A2K
m;n
=)B = uA2K
m;n
, b
i;j
= ua
i;j
(mnozenie macierzy przez liczb e)
A;B2K
m;n
=)C = A + B2K
m;n
, c
i;j
= a
i;j
+ b
i;j
(dodawanie macierzy)
A2K
m;n
=)B = A
T
2K
n;m
, b
j;i
= a
i;j
(transpozycja macierzy)
A2C
m;n
=)B = A
H
2K
n;m
, b
j;i
= a
i;j
(sprz ezenie hermitowskie)
A2K
m;n
=)B =jAj2K
m;n
, b
i;j
=ja
i;j
j(modul macierzy)
W szczegolnosci, mamy tez dla u;v2KC, A;B2C
m;n
,
(uAvB)
H
= uA
H
vB
H
;
A
T
T
= A =
A
H
H
:
Zauwazmy, ze macierze formatu mn z dzialaniem dodawania s a grup a
przemienn a, przy czym elementem neutralnym jest macierz zerowa (gdzie
a
i;j
= 08i;j), a przeciwn a do (a
i;j
) jest macierz (a
i;j
).
Jesli macierze dane s a w postaci blokowej (2.1) to:
B = uA =)B
p;q
= uA
p;q
C = A + B =)C
p;q
= A
p;q
+ B
p;q
B = A
T
=)B
p;q
= A
q;p
B = A
H
=)B
p;q
= A
q;p
2.2.2 Mnozenie macierzy
Jesli A2K
m;l
i B2K
l;n
to
C = AB2K
m;n
;
gdzie
X
c
i;j
=
a
i;k
b
k;j
; 1im; 1jn:
k=1
l
14
ROZDZIAL 2. MACIERZE LICZBOWE
Zauwazmy, ze mnozenie AB jest wykonalne wtedy i tylko wtedy gdy
liczba kolumn macierzy A jest rowna liczbie wierszy macierzy B. Jesli A jest
w postaci wierszowej, a B kolumnowej,
2
4
a
.
a
T
m
3
A =
5
; B =
h
b
1
;:::;b
l
i
;
to c
i;j
= a
i
b
j
8i;j.
Podstawowe wlasnosci mnozenia macierzy s a nast epuj ace. (Zakladamy,
ze macierze s a odpowiednich formatow tak, ze dzialania s a wykonalne.)
(A + B)C = AC + BC
C(A + B) = CA + CB
(rozdzielnosc mnozenia wzgl edem dodawania)
u(AB) = (uA)B = A(uB) = (AB)u (u2K)
(AB)C = A(BC) (l acznosc mnozenia)
Dowody tych wlasnosci polegaj a na zwyklym sprawdzeniu. Dlatego, dla
przykladu, pokazemy tu jedynie l acznosc. Niech macierze A;B;C b ed a odpo-
wiednio formatow mk, kl, ln. (Zauwazmy, ze tylko wtedy odpowiednie
mnozenia s a wykonalne.) Mamy
X
l
X
X
k
!
((AB)C)
i;j
=
(AB)
i;s
c
s;j
=
a
i;t
b
t;s
c
s;j
s=1
s=1
t=1
X
k
X
X
=
a
i;t
b
t;s
c
s;j
=
a
i;t
(BC)
t;j
t=1
s=1
t=1
= (A(BC))
i;j
:
Mamy tez
(AB)
T
= B
T
A
T
; (AB)
H
= B
H
A
H
:
Rzeczywiscie,
X
l
(AB)
H
= (AB)
j;i
=
a
j;k
b
k;i
i;j
k=1
l
l
k
2.2. DZIALANIA NA MACIERZACH
15
X
X
=
a
j;k
b
k;i
=
b
k;i
a
j;k
k=1
k=1
X
=
B
H
A
H
k;j
=
B
H
A
H
i;j
:
i;k
k=1
2.2.3 Mnozenie macierzy w postaci blokowej
Jesli macierze s a podane w postaci blokowej to mozna je mnozyc `blok-po-
bloku' (tak jak w przypadku blokow 11) o ile formaty odpowiednich blokow
s a zgodne. Dokladniej, jesli A = (A
i;k
), B = (B
k;j
), 1im, 1kl,
1kn, oraz dla wszystkich i;j;k liczba kolumn bloku A
i;k
macierzy A
jest rowna liczbie wierszy bloku B
k;j
macierzy B to iloczyn
C = AB = (C
i;j
) ;
1im, 1jn, gdzie
X
C
i;j
=
A
i;k
B
k;n
:
k=1
Pokazemy to na przykladzie. Niech
A =
2
4
A
1;1
A
1;2
A
1;3
A
1;4
A
2;1
A
2;2
A
2;3
A
2;4
A
3;1
A
3;2
A
3;3
A
3;4
3
5
; B =
2
4
B
1;1
B
1;2
B
2;1
B
2;2
B
3;1
B
3;2
B
4;1
B
4;2
3
5
:
Wtedy
2
4
3
5
C
1;1
C
1;2
C
2;1
C
2;2
C
3;1
C
3;2
C =
;
gdzie
C
1;1
= A
1;1
B
1;1
+ A
1;2
B
2;1
+ A
1;3
B
3;1
+ A
1;4
B
4;1
;
C
1;2
= A
1;1
B
1;2
+ A
1;2
B
2;2
+ A
1;3
B
3;2
+ A
1;4
B
4;2
;
C
2;1
= A
2;1
B
1;1
+ A
2;2
B
2;1
+ A
2;3
B
3;1
+ A
2;4
B
4;1
;
C
2;2
= A
2;1
B
1;2
+ A
2;2
B
2;2
+ A
2;3
B
3;2
+ A
2;4
B
4;2
;
C
3;1
= A
3;1
B
1;1
+ A
3;2
B
2;1
+ A
3;3
B
3;1
+ A
3;4
B
4;1
;
C
3;2
= A
3;1
B
1;2
+ A
3;2
B
2;2
+ A
3;3
B
3;2
+ A
3;4
B
4;2
;
l
l
l
l
Plik z chomika:
wp-pl
Inne pliki z tego folderu:
1.Grupy i ciała, liczby zespolone.pdf
(97 KB)
10.Formy dwuliniowe i kwadratowe.pdf
(79 KB)
11.Przestrzenie euklidesowe.pdf
(82 KB)
2.Macierze liczbowe.pdf
(90 KB)
3.Normy wektorów i macierzy.pdf
(87 KB)
Inne foldery tego chomika:
Angielski dla początkujących
Angielski w 20 minut przez 60 dni
AutoCAD 2010 PL
Botanika
Botanika M
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin