1.Grupy i ciała, liczby zespolone.pdf

Rozdzial 1

Grupy i ciala, liczby zespolone

Dla ustalenia uwagi, b edziemy uzywac nast epuj acych oznaczen:

N =f1; 2; 3;:::g- liczby naturalne,

Z =f0;1;2;:::g- liczby calkowite,

W =

n : m2Z;n2N

- liczby wymierne,

R = W - liczby rzeczywiste,

C =f(a;b) : a;b2Rg- liczby zespolone.

Dwuargumentowym dzialaniem wewn etrznym `' w zbiorze X nazywamy

dowoln a funkcj e z iloczynu kartezjanskiego XX w X. Wynik takiego

dzialania na parze (x;y) b edziemy oznaczac przez xy.

1.1 Podstawowe struktury algebraiczne

Zaczniemy od przedstawienia abstrakcyjnych denicji grupy i ciala.

1.1.1 Grupa

Denicja 1.1 Zbior (niepusty) G wraz z wewn etrznym dzialaniem dwuargu-

mentowym ` 0 jest grup a jesli spelnione s a nast epuj ace warunki (aksjomaty

grupy):

ROZDZIAL 1. GRUPY I CIALA, LICZBY ZESPOLONE

(i)8a;b;c2G (ab)c = a(bc)

(l acznosc dzialania)

(ii)9e2G8a2G ae = a = ea

(istnienie elementu neutralnego)

(iii)8a2G9a 0 2G aa 0 = e = a 0 a

(istnienie elementow przeciwnych/odwrotnych)

Jesli ponadto

(iv)8a;b2G ab = ba

to grup e nazywamy przemienn a (lub abelow a).

Grup e b edziemy oznaczac przezfG;g.

Zauwazmy, ze juz z aksjomatow grupy wynika, iz element neutralny jest

wyznaczony jednoznacznie. Rzeczywiscie, zalozmy, ze istniej a dwa elementy

neutralne, e 1 i e 2 . Wtedy, z warunku (ii) wynika, ze e 1 = e 1 e 2 = e 2 .

Podobnie, istnieje tylko jeden element odwrotny dla kazdego a2G. Jesli

bowiem istnialyby dwa odwrotne, a 0 1 i a 0 2 , to mielibysmy

a 0 1 = ea 0 1 = (a 0 2

a)a 0 1 = a 0 2

(aa 0 1 ) = a 0 2

e = a 0 2 ;

przy czym skorzystalismy kolejno z wlasnosci (ii), (iii), (i) i ponownie (iii) i

(ii).

Latwo tez pokazac, ze w grupiefG;grownania

ax = b oraz yc = d

dla a;b;c;d2G maj a jednoznaczne rozwi azania. W uzasadnieniu, ograni-

czymy si e tylko do pierwszego r"wnania. Latwo sprawdzic, ze x = a 0 b jest

rozwi azaniem. Z drugiej strony, jesli x jest rozwi azaniem to a 0 (ax) = a 0 b,

czyli x = a 0 b.

Przykladami grup s a:

fZ; +g, gdzie elementem neutralnym jest e = 0, a elementem przeciw-

nym do a 0 do a jesta.

fWnf0g;g, gdzie e = 1 a a 0 = a 1

jest odwrotnosci a a.

1.1. PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE

Grupa obrotow plaszczyzny wokol pocz atku ukladu wspolrz ednych,

gdzie elementem neutralnym jest obr"t o k at zerowy, a elementem od-

wrotnym do obrotu o k at jest obr"t o k at.

Zwrocmy uwag e na istotnosc wyj ecia zera w drugim przykladzie. Poniewaz

0 nie ma elementu odwrotnego,fW;gnie jest grup a. Nie s a tez grupami

np.fN;g(nie ma elementow odwrotnych) orazfR;g(nie ma l acznosci

oraz elementu neutralnego).

1.1.2 Cialo

Denicja 1.2 Cialem (iscislej, cialem przemiennym) nazywamy (co naj-

mniej dwuelementowy) zbior K z dwoma dwuargumentowymi dzialaniami

wewn etrznymi, dodawaniem `+' i mnozeniem `', spelniaj ace nast epuj ace wa-

runki (aksjomaty ciala):

(i)fK; +gjest grup a przemienn a (w ktorej element neutralny oznaczamy

przez 0, a element przeciwny do a przeza),

(ii)fKnf0g;gjest grup a przemienn a (w ktorej element neutralny ozna-

czamy przez 1, a odwrotny do a przez a 1 ,

(iii)8a;b;c2K a(b + c) = ab + ac

(mnozenie jest rozdzielne wzgl edem dodawania).

Bezposrednio z denicji ciala mozna pokazac nast epuj ace ogolne wlasnosci

(uzasadnienie pozostawiamy jako proste cwiczenie):

1. 0 6= 1,

2.8a2K 0a = 0 = a0,

3.8a2K (1)a =a,

4. jesli ab = 0 to a = 0 lub b = 0,

5. jesli a 6= 0 i b 6= 0 to (ab) 1

= b 1 a 1 ,

1 Przyjmujemy konwencj e, ze w wyrazeniach w ktorych wyst epuj a i dodawania i

mnozenia najpierw wykonujemy mnozenia.

ROZDZIAL 1. GRUPY I CIALA, LICZBY ZESPOLONE

dla dowolnych a;b2K.

W ciele mozemy formalnie zdeniowac odejmowanie i dzielenie, mianowi-

cie

ab := a + (b) 8a;b2K;

a=b := ab 1 8a2K;b2Knf0g:

Przykladem ciala s a liczby rzeczywiste R z naturalnymi dzialaniami do-

dawania i mnozenia. Cialem jest tez zbior liczb

fa + b

2 : a;b2WgR

z tymi samymi dzialaniami.

1.2 Cialo liczb zespolonych

Waznym przykladem ciala jest cialo liczb zespolonych, ktoremu poswi ecimy

t a cz esc wykladu.

1.2.1 Denicja

Denicja 1.3 Cialo liczb zespolonych to zbior par uporz adkowanych

C := RR =f(a;b) : a;b2Rg

z dzialaniami dodawania i mnozenia zdeniowanymi jako:

(a;b) + (c;d) = (a + c;b + d);

(a;b)(c;d) = (acbd;ad + bc);

dla dowolnych a;b;c;d2R.

Formalne sprawdzenie, ze C ze zdeniowanymi dzialaniami jest cialem

pozostawiamy czytelnikowi. Tu zauwazymy tylko, ze elementem neutralnym

2 Zauwazmy, ze znaki dodawania i mnozenia wyst epuj a tu w dwoch znaczeniach, jako

dzialania na liczbach rzeczywistych oraz jako dzialania na liczbach zespolonych. Z kon-

tekstu zawsze wiadomo w jakim znaczeniu te dzialania s a uzyte.

1.2. CIALO LICZB ZESPOLONYCH

dodawania jest (0; 0), a mnozenia (1; 0). Elementem przeciwnym do (a;b)

jest(a;b) = (a;b), a odwrotnym do (a;b) 6= (0; 0) jest

a 2 + b 2 ;

a 2 + b 2

(a;b) 1 =

Zdeniujemy mnozenie liczby zespolonej przez rzeczywist a w nast epuj acy

(naturalny) sposob. Niech z = (a;b)2C i c2R. Wtedy

c(a;b) = (a;b)c = (ca;cb):

Przyjmuj ac t a konwencj e, mamy

(a;b) = a(1; 0) + b(0; 1):

W koncu, utozsamiaj ac liczb e zespolon a (a; 0) z liczb a rzeczywist a a, oraz

wprowadzaj ac dodatkowo oznaczenie

{ := (0; 1)

otrzymujemy

(a;b) = a + {b: (1.1)

a =<z nazywa si e cz esci a rzeczywist a, a b ==z cz esci a urojon a liczby

zespolonej. Sam a liczb e zespolon a { nazywamy jednostk a urojon a.

Zauwazmy, ze { 2 = (1; 0).

1.2.2 Postac trygonometryczna

Postac (1.1) jest najbardziej rozpowszechniona. Cz esto wygodnie jest uzyc

rowniez postaci trygonometrycznej, ktora jest konsekwencj a interpretacji

liczby zespolonej (a;b) jako punktu na plaszczyznie (tzw. plaszczyznie ze-

spolonej) o wspolrz ednych a i b. Dokladniej, przyjmuj ac

jzj:=

a 2 + b 2

oraz k at tak, ze

jzj ; cos = a jzj ;

otrzymujemy

z =jzj(cos + { sin ): (1.2)

Jest to wlasnie postac trygonometryczna. Liczb e rzeczywist ajzjnazywamy

modulem liczby zespolonej z, a jej argumentem, = argz.

Jesli z 6= 0 i zalozymy, ze 2[0; 2) to postac trygonometryczna jest

wyznaczona jednoznacznie. Piszemy wtedy = Argz.

sin = b

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: