LOGIKA
Tautologie logiczne
tautologie logiczne – schematy reprezentujące zdania złożone wyłącznie prawdziwe –
(prawa logiki)
[aby sprawdzić, czy dane zdanie jest tautologią, czy też nie, należy przeprowadzić „sprawdzanie zerojedynkowe”]
przykład „sprawdzania zerojedynkowego” – czy następujące zdanie złożone jest tautologią?
[(p ® q) Ù q] ® p
a) p=1, q=1
[(1 ® 1) Ù 1] ® 1, czyli (1 Ù 1) ® 1, czyli 1 ® 1, czyli 1 (prawda)
b) p=1, q=0
[(1 ® 0) Ù 0] ® 1, czyli (0 Ù 0) ® 1, czyli 1 ® 1, czyli 1 (prawda)
c) p=0, q=1
[(0 ® 1) Ù 1] ® 0, czyli (1 Ù 1) ® 0, czyli 1 ® 0, czyli 0 (fałsz, to nie jest tautologia)
d) p=0, q=0
[(0 ® 0) Ù 0] ® 0, czyli (1 Ù 0) ® 0, czyli 0 ® 0, czyli 1 (prawda)
[w przypadku bardzo złożonych zdań metoda ta może okazać się pracochłonna;
da się ją uprościć przez szukanie przypadków, które mogą okazać się fałszywe]
przykład „uproszczonego sprawdzania zerojedynkowego” – należy przeanalizować tylko te przypadki, w których dany schemat może okazać się fałszem (kontrtautologią logiczną).
[(p Ù q) ® r] ® [(p Ù ~q) ® ~r]
ten schemat może okazać się kontrtautologią logiczną tylko wtedy, gdy pierwszy jego człon będzie prawdziwy, a drugi – fałszywy (z definicji implikacji). Zakładamy zatem fałszywość członu drugiego:
[(p Ù ~q) ® ~r]
Ten zaś będzie fałszywy tylko wtedy, gdy wyrażenie (p Ù ~q) będzie prawdziwe, a ~r – fałszywe.
(p Ù ~q) jest prawdą wtedy i tylko wtedy, gdy p=1 i ~q=1, czyli p=1 i q=0
~r jest fałszem wtedy i tylko wtedy, gdy r=1
Teraz należy podstawić uzyskane wartości logiczne pod zmienne zdaniowe w pierwszym członie implikacji:
[(p Ù q) ® r]
Uzyskujemy: [(1 Ù 0) ® 1], czyli (0 ® 1), czyli 1
Skoro pierwszy człon implikacji może być prawdziwy, podczas gdy drugi jest fałszywy, cała implikacja jest fałszywa (dany schemat nie jest tautologią logiczną).
lilinka971