02. Pochodna funkcji o dziedzinie jednowymiarowej.pdf
(
96 KB
)
Pobierz
Pochodna funkcji o dziedzinie jednowymiarowej
POCHODNA FUNKCJI O DZIEDZINIE JEDNOWYMIAROWEJ
Definicja
pochodnej w przestrzeni Banacha o dziedzinie zawartej w ciele K (o dziedzinie
jednowymiarowej)
Niech
Y
-
przestrzeń Banacha (np. przestrzeń wielowymiarowa
n
,
.
R
nad ciałem
K
)
f
:
K
,
Y
a
Y
(element w przestrzeni Banacha)
x
'
0
(pochodną określamy w punkcie należącym do dziedziny i będącym
punktem skupienia dziedziny)
D
f
D
f
Funkcja
f
ma
pochodną
(
różniczkę
) w punkcie
x
0
równą
Y
a
,
a
, jeśli:
f
f
x
0
0
h
f
x
0
ah
o
h
dla
x
h
D
po podzieleniu przez
h
wyrażenie
)
o
(
h
musi dążyć do zera, gdy
0
h
lub równoważnie
f
x
0
0
h
f
x
ah
o
h
Oznaczenie:
f
a
x
0
pochodna różniczka
f
'
x
0
d
Twierdzenie
Przy powyższych założeniach zachodzi
f
'
x
lim
f
x
0
h
f
x
0
lim
f
x
0
h
f
x
0
f
'
x
0
h
0
h
h
0
h
0
Dowód
f
'
x
f
x
h
f
x
ah
o
h
f
x
0
h
f
x
0
ah
0
0
0
0
h
h
0
a
h
f
x
0
h
f
x
0
a
0
lim
f
x
0
h
f
x
0
h
h
0
h
0
ڤ
Twierdzenie
Jeśli funkcja
f
jest różniczkowalna w punkcie
x
0
, to jest w tym punkcie ciągła, tzn.
)
.
D
(
x
0
x
f
C
(
0
1
f
)
Interpretacja pochodnej
Element
a
, występujący w definicji pochodnej, można traktować dwojako:
f
'
0
x
(
)
1.
Y
'
x
0
(traktujemy jako element przetrzeni Banacha)
f
traktujemy jako odwzorowanie liniowe i ciągłe
'
x
0
Zatem
h
'
0
x
K
:
h
a
h
f
0
'
jest wartością odwzorowania liniowego na wektorze h.
x
0
h
f
'
x
Pochodną traktowaną jako odwzorowanie liniowe i ciągłe nazywamy różniczką
f
d
x
0
.
Różniczka
(lub
pochodna
) odwzorowania
f
w punkcie
x
0
jest to odwzorowanie liniowe i
ciągłe
d
x
przybliżające różnicę funkcji
0
x
f
f
'
0
)
f
z dokładnością do
h
f
0
o
.
h
y
y=f
(
x
)
y
0
y –
y
0
=
f '
(
x
0
)(
x
-
x
0
)
równanie stycznej do funkcji
f
w punkcie (
x
0
,y
0
)
x
0
x
Pochodną policzoną w punkcie utożsamiamy z prostą styczną do tego punktu.
opracował Mateusz Targosz
2
f
2.
f
∋
Y
(
x
0
x
Plik z chomika:
Esme1991
Inne pliki z tego folderu:
Rachunek różniczkowy funkcji 2 i 3 zmiennych.pdf
(277 KB)
15. Ekstrema globalne.pdf
(95 KB)
14. Ekstrema warunkowe.pdf
(206 KB)
13. Ekstrema lokalne.pdf
(122 KB)
12. Twierdzenie Taylora dla funkcji wielu zmiennych.pdf
(78 KB)
Inne foldery tego chomika:
szeregi
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin