09. Różniczki wyższych rzędów.pdf

(102 KB) Pobierz
Różniczki wyższych rzędów
ODWZOROWANIA WIELOLINIOWE
Definicja
Niech X, Y – przestrzenie wektorowe nad ciałem K,
g
: Y
X
k
.
Odwzorowanie g nazywamy k -liniowym , gdy jest liniowe ze wzgledu na każdą zmienną
osobno, tzn:
j
1
,...,
k
:
g
   X
x
1 L
,...,
x
j
1
,
,
x
1
,...,
x
k
X
,
Y
,
gdzie
x
1
,...,
x
j
,
x
j
1
,...,
x
k
↑
tylko w tym miejscu
jest zmienna
Oznaczenie
Zbiór odwozrowań k -liniowych oznaczamy
k L
  .
X
, Y
Twierdzenie
Istnieje izomorfizm, tzn. liniowe odwzorowanie bijektywne pomiędzy
klasami
L
    ,
X
,
L
k
(
X
,
Y
)
i
L
k
1 Y
X
,
L
    ,
X
,
L
k
 
X
,
Y
~ Y
k
1
X
,
izomorfizm
Zatem odwzorowania z tych dwóch klas możemy ze sobą utożsamiać.
RÓŻNICZKI WYŻSZYCH RZĘDÓW
nad ciałem K,

X
,
,
Y
,
przestrzen
ie
unormowane
U
Top
X
,
f
:
U
Y
,

f
D
U
.
Wtedy
istnieje
funkcja
pochodna
f
'
,
L
f
'
:
U
x
f
'
  
x
d
x
f
X
,
Y
Definicja
Drugą różniczką odwozorowania f w punkcie
x
0
U
nazywamy różniczkę pochodnej f ' w
punkcie x 0 i oznaczamy ,
d 2 0
f
d
x
2
f
: 0
d
f
'.
0
x
Oczywiście różniczka wyznaczona w punkcie jest odwzorowaniem liniowym
d
2
f
L
   
X
,
L
 
X
,
Y
~
L
X
,
Y
x

2

0
z
tw
.
klasa
odwzorowań
dwuliniowy
ch
Zatem drugą różniczkę odwzorowania w punkcie utożsamiamy z odwzorowaniem dwuliniowym,
d x
2
0
f
L
2

X
,
Y
1
j
1
L
Niech
:
10635281.001.png 10635281.002.png
Jeśli
x
U
d
2
0 f
,
0
x
to można utworzyć odwozorowanie f'' ,
f
'
'
:
U
x
f
'
'
(
x
)
:
d
x L
2
f
 ,
X
,
Y
2
które nazywamy drugą pochodną funkcji f.
Załóżmy, że określimy k -tą różniczkę funkcji f w punkcie
Niech
x
0 U
.
x
U
d
k
x
0 L
f
L
  
X
, 1
L
(
X
,
Y
)
~
X
,
Y
0
k
k
Wtedy k -tą pochodną funkcji f nazywamy odwzorowanie:
f
 
k
:
U
x
f
k
(
x
)
:
d
k
f
L
   
X
,
L
1 L
 
,
Y
~
X
,
Y
x
k
k
możemy utożsamiać te klasy
ponieważ zachodzi izomorfizm
k +1-szą różniczką odwzorowania f w punkcie nazywamy różniczkę k -tej pochodnej w
punkcie (o ile istnieje) i oznaczamy ,
x
0
U
x
d x
1
f
0
d
k
x
1
f
:
L
d
f
  
k
L
  )
X
,
L
X
,
Y
(
X
,
Y
x
k
k
1
0
0
różniczka k-tej pochodnej
w punkcie
x
opracował Marcin Uszko
2
X
~

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin