13. Ekstrema lokalne.pdf

(122 KB) Pobierz
Ekstrema lokalne
EKSTREMA LOKALNE
Silne ekstrema lokalne
Definicja
Niech X – przestrzeń topologiczna,
f
:
0 X
X
R
,
x
.
z
def
.
1° f ma w silne minimum lokalne
x
:
V
*
Top
*
(
x
)
:
f
(
x
)
f
(
x
)
dla
x
V
*
0
0
istnieje takie
sąsiedztwo
punktu x 0
x
z
def
.
2° f ma w silne maksimum lokalne
:
V
*
Top
*
(
x
)
:
f
(
x
)
f
(
x
)
dla
x
V
*
0
0
Słabe ekstrema lokalne
Definicja
1° f ma w słabe minimum lokalne
x
:
V
*
Top
*
(
x
)
:
f
(
x
)
f
(
x
)
dla
x
V
*
0
0
2° f ma w słabe maksimum lokalne
x
:
V
*
Top
*
(
x
)
:
f
(
x
)
f
(
x
)
dla
x
V
*
0
0
Niech * oznacza następujące ogólne założenia
U
Top
R
n
*
f
:
U
R
x
0
U
Twierdzenie ( warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego )
Zakładamy, że zachodzi * oraz dodatkowo:
, tzn. f jest różniczkowalna w
i
f ma ekstremum lokalne w x 0 .
Teza:
D
( x
)
x
d x
0
f
0
(pierwsza różniczka funkcji f w punkcie x 0 jest równa 0).
Uwaga
Macierz pochodnych cząstkowych odpowiadająca danej różniczce jest równa zero wtedy i tylko
wtedy, gdy wszystkie pochodne cząstkowe tworzące macierz są równe zero,
d
f
0
f
0
j
1
,...,
n
x
0
x
j
Definicja
Punktem stacjonarnym funkcji różniczkowalnej f nazywamy taki punkt x 0 , w którym różniczka jest
równa 0; czyli
d x
0
f
0
1
f
10635291.004.png
 
Dygresja (przypomnienie z algebry)
Definicja
Niech - przestrzeń unormowana nad ciałem K
 
,
g
: K
X
.
Wtedy g jest formą kwadratową , jeśli
G L
2
(
X
,
K
),
G
symetryczn
ie
takie,
że
g
(
h
)
G
(
h
,
h
)
h
X
.
Definicja
g – określona dodatnio
g – określona ujemnie
g – półokreślona dodatnio
g – półokreślona ujemnie
g
(
h
)
0
h
X
\
0
0
g
(
h
)
0
h
X
\
g
(
h
)
0
h
X
g
(
h
)
0
h
X
Twierdzenie Sylwestera ( o określoności formy kwadratowej )
Zał: A – macierz formy kwadratowej g
A
 
ij
i
,
j
1
,...,
n
,
gdzie
a
ij
R
dla
i
,
j
1
,...,
n
 
d
k
det
a
ij
i
,
j
1
,...,
k
dla
k
1
,...,
n
minory wyznaczniki
główne podmacierzy
Teza: 1° forma g – jest określona dodatnio
(wszytskie minory (wyznaczniki) główne są większe od zera)
k
1
,...,
n
:
d
k
0
2° forma g jest określona ujemnie
k
1
,...,
n
:
(
1
k
d
0
k
Twierdzenie ( o półokreśloności formy kwadratowej )
Zał: A – macierz formy kwadratowej
A
 
a
ij
i
,
j
1
,...,
n
,
gdzie
a
ij
R
dla
i
,
j
1
,...,
n
 
d
k
det
a
ij
i
,
j
1
,...,
k
dla
k
1
,...,
n
Teza: 1° g – półokreślona dodatnio
2° g – półokreślona ujemnie
k
1
,...,
n
:
d
k
0
k
1
,...,
n
:
(
1
k
d
0
k
Koniec dygresji
2
X
a
10635291.005.png
Twierdzenie ( warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego )
Zał: Zachodzi * oraz
tzn. funkcja f jest dwukrotnie rózniczkowalna w punkcie x 0.
D
2
( 0
x
)
Teza: 1° Jeśli określona dodatnio f ma w x 0 minimum lokalne .
d
x
0 0
f
f
d
x
2
0
2° Jeśli określona ujemnie f ma w x 0 maximum lokalne .
d
x
0 0
f
f
d
2
0
Dowód (szkic):
Ad. 1°,
1
 
f
(
x
h
)
f
(
x
)
d
f
(
h
)
d
2
f
(
h
)
o
h
2
0
0

x
0

2
x
0
z zał.=0
  0
f
(
x
h
)
f
(
x
)
1
d
2
f
(
h
)
o
h
2
0
0
2
x
0



jest określona dowodzi się
dodatnio >0 że jest >0
więc w punkcie jest ekstremum (minimum) lokalne.
x
□
Wniosek ( warunek wystarczjący istnienia ekstremum lokalnego )
Zał: Zachodzi * oraz
f
C
2
m
 
U
,
j
1
,...,
2
m
1
:
d
j
x
0
f
0
Teza: 1° Jeśli jest określona dodatnio, to f ma w punkcie x 0 minimum lokalne .
d m
x
2
0
f
2° Jeśli jest określona ujemnie, to f ma w punkcie x 0 maksimum lokalne .
Twierdzenie ( silny warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego )
Zał:
d m
x
2
0
f
Zachodzi
*
oraz
f
D
2
(
x
)
.
0
Teza: 1° f ma minimum w półokreślona dodatnio)
x
d
f
0
d
2
f
0
(
tzn.
d
2
f
0
x
0
x
0
x
0
2° f ma maksimum w półokreślona ujemnie)
x
d
f
0
d
2
f
0
(
d
2
f
0
x
0
x
0
x
0
Wniosek
Jeśli jest nieokreślona w punkcie stacjonarnym , to wtedy w nie istnieje ekstremum
lokalne funkcji f.
f
x
x
Uwaga
Z półokreśloności formy
d x
2
0
f
nie
wynika
istnienie
ekstremum
lokalnego
w
x
0
.
3
f
x
d x 2 0
10635291.006.png
Przykład
Zbadać określoność drugiej różniczki funkcji
w punkcie P (3,1).
f
(
x
,
y
)
x
3
xy
2
y
2
7
x
5
y
3
f
3
x
2
y
7
x
f
x
4
y
5
y
2
f
f
6
x
x
2
x
x
2
f
f
4
y
2
y
y
2
f
f
f
2
f
1
x
y
x
y
y
x
y
x
Niech
h
   
h
1
,
h
2
,
h
0
.
Wtedy
2
f
2
f
2
f
d
2
f
(
h
)
(
P
)
h
2
1
2
(
P
)
h
h
(
P
)
h
2
18
h
2
1
2
h
h
4
h
2
P
x
2
x
y
1
2
y
2
2
1
2
2
bo zakładaliśmy, że
17
h
2
h
2
2
h
h
h
2
3
h
2
h
h
2
3
h
2
  0
h
2
h
  .
1
1
1
2
2
2

1


2

2
0
0
Z powyższych rozważań wynika że, jest formą określoną dodatnio.
Przykład
Zbadać ekstrema funkcji:
d 2
f
1)
f
 
x
, y
y
x
4
4
Pierwsza różniczka funkcji f musi być równa 0 (szukamy punktów stacjonarnych):
f
4
x
3
x
f
4
y
3
y
4
x
3
0
 
(
x
,
y
)
(
0
P
0
0
punkt
stacjonarn
y
4
y
3
0
0
Obliczamy drugie pochode cząstkowe
2
f
12
x
2
x
2
2
f
12
y
2
y
2
2
f
2
f
0
x
y
y
x
4
17
0
1
10635291.001.png 10635291.002.png
Stąd
12
x
2
0
d
2
f
P
0
12
y
2
oraz
forma kwadratowa drugiej różniczki jest półokreślona w punkcie P 0 , więc
może tam istnieć ekstremum. Aby je znaleźć sprawdzamy czy:
d
2
0 f
0
0
P
0
0
f
(
x
,
y
)
f
(
0
(
x
,
y
)
(
0
).
Ponieważ
x
4
y
4
0
(
x
,
y
)
(
0
zatem w P 0 istnieje minimum lokalne funkcji f.
2)
f
(
x
,
y
)
x
3
y
3
Postępujemy tak jak w przykł 1).
f
3
x
2
x
f
3
y
2
y
3
x
2
0
 
(
x
,
y
)
(
0
P
0
punkt
stacjonarn
y
3
y
2
0
0
2
f
6
x
x
2
2
f
6
y
y
2
2
f
2
f
0
x
y
y
x
d
2
f
6
x
0
P
0
6
y
forma kwadratowa jest półokreślona w punkcie P 0
d
0 f
2
0
0
P
0
0
w P 0 może istnieć ekstremum, więc wracamy do badania funkcji z definicji
5
?
10635291.003.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin