15. Ekstrema globalne.pdf

(95 KB) Pobierz
Ekstrema globalne
EKSTREMA GLOBALNE
Definicja
Niech
f : , gdzie
U
R
U R
n
oraz niech
0 P będzie pewnym punktem zbioru U, U
P 0 .
Wtedy
0 Pf – wartość największa funkcji f 

: P
UP
f
P
f
0
0 Pf – wartość najmniejsza funkcji f 

: P
UP
f
P
f
0
Definicja
Funkcja f ma w 0 P ekstremum globalne , jeśli 
0 Pf jest wartością największą lub wartością
najmniejszą funkcji f.
Uwaga
Ekstremum lokalne może być ekstremum globalnym.
Top .
Jeśli f ma ekstremum globalne w 0 P , to f ma w 0 P słabe ekstremum lokalne, a zatem
ekstremów globalnych będziemy poszukiwać w tych punktach, w których istnieją słabe
ekstre ma lokalne.
II. Niech U - obszar domknięty, tzn. U - domknięcie obszaru U.
Wted y
R , czyli
U R
n
0 int
wnętrze brzeg
obszaru obszaru
Zatem f ma ekstremum globalne w
 0
P
0
U
P
U
0 P f ma ekstremum lokalne w U
int
lub U
P
0
f ,
to na podstawie tw. Weierstrassa funkcja f osiąga swoje kresy
istnieje wartość największa i wartość najmniejsza funkcji f
wystarczy wyznaczyć punkty stacjonarne funkcji f we wnętrzu U
C
U
int oraz na brzegu U  i
bez badania określoności drugiej różniczki porównać wartości funkcji w tych punktach.
1
I. Niech U – obszar w n
UP
Jeśli dodatkowo przyjmiemy założenie:

10635302.002.png 10635302.003.png 10635302.004.png
Przykład
Wyznaczyć ekstrema globalne funkcji  2
f
x
, y
y
w obszarze domkniętym
x
2
y
  1

x
,
y
2
:
x
2
2
y
1
D
int D
1
x
f ekstremum globalne
C

I. Wyznaczamy punkty stacjonarne we wnętrzu obszaru 
int
D R .
y
  1
x
,
y
2
x
2
2
Pochodne cząstkowe muszą być równe 0,
f
2
x
0
x
0
x
0 P
(
0
- punkt stacjonarny, U
P
0
f
y
0
2
y
0
y
Tworzymy funkcję Lagrange'a    1
D R
y
  1
x
,
y
2
:
x
2
2
Warunek konieczny dla funkcji Lagrange'a:
x
,
y
y
x
2
y
2
x
2
2
0




P
0
x
1
0
P
2
0
1
y
P
1
3
x
2
y
2
1
P
1
4
III. Porównujemy wartości funkcji w punktach 0 P – 4 P .


 1
f
P
0
0
f
P
1
f
P
2
1
f
P
3
f
P
4
Odp.
Funkcja osiąga wartość największą równą 1 w punktach 3 P i 4 P oraz wartość najmniejszą
równą -1 w punktach 1 P oraz 2 P .
2
D R
D
:
II. Badamy brzeg obszaru 
10635302.005.png
Przykład
Aby wyznaczyć ekstrema globalne funkcji określonej w obszarze domkniętym D, którego
brzeg jest łamaną,
y
M 1
K 1
M 2
K 5
K 2
M 5
M 3
D
K 4
K 3
M 4
x
badamy:
I. D
int
II.
Funkcję zacieśniamy do poszczególnych krzywych i badamy we wnętrzach tych krzywych
K
1 K
K
2
K
3
K
4
5
1) K
int
1
2) K
int
2
5)
intK
5
III. Badamy “brzeg brzegu” - wystarczy podać punkty wspólne krzywych
K :
5
M
IV. Porównujemy wartości funkcji we wszystkich punktach wyznaczonych w częściach
I, II, III, i wybieramy te w których funkcja przyjmuje wartość największą lub najmniejszą.
, M
5
opracował Mateusz Targosz
3
D
1 ,
, K
1 ,
10635302.001.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin