J. Ossowski - Prognozowanie Na Podstawie Modeli Multiplikatywnych - Względne Błędy Prognoz.pdf

(182 KB) Pobierz
A.07.2.
Jerzy Czesław Ossowski
Katedra Ekonomii i Zarz dzania Przedsi biorstwem
Wydział Zarz dzania i Ekonomii
Politechnika Gda ska
XIII Ogólnopolska Konferencja Naukowa nt. „Mikroekonometria w teorii i praktyce”,
Katedra Ekonometrii i Statystyki Uniwersytetu Szczeci skiego, IADiPG w Szczecinie oraz PAN,
winouj cie 6-8 wrzesie 2007 r.
PROGNOZOWANIE NA PODSTAWIE MODELI
MULTIPLIKATYWNYCH - WZGL DNE BŁ DY PROGNOZ
1. Zało enia do prognostycznego modelu multiplikatywnego
Uznajmy, e t=1,2,...,n jest numerem okresu w próbie statystycznej, natomiast p=n+j
( j=1,2,...,s ) jest numerem okresu prognozowanego. Multiplikatywny model dla okresu próbkowego
zapiszemy nast puj co:
u
y
=
g
(
x
)
×
e
=
g
(
x
)
×
v
,
(1)
t
t
t
t
t
gdzie:
Ã
n
b
+
b
x
x
b
g
(
x
)
=
e
0
i
ti
=
e
,
(2)
i
=
1
t
t
a ponadto:
x
=
[
1
x
x
.
.
.
x
]
- wektor wierszowy zmiennych obja niaj cych,
t
t
1
t
2
tk
u
yv = - multiplikatywny składnik zakłócaj cy modelu (1).
Posta zlinearyzowan modelu (1) mo emy przedstawi w nast puj cych jego wersjach:
/
g
(
x
)
e
t
t
t
t
n
+= Ã = (3)
Uznajmy ponadto, e parametry strukturalne i parametry struktury stochastycznej modelu (1) s stałe
w czasie. W tych warunkach model prognostyczny dla zmiennej y zdefiniujemy nast puj co:
p
ln
y
ln
g
(
x
)
ln
v
=
b
+
b
x
+
u
=
x
b
+
u
t
t
t
0
i
ti
t
t
t
i
1
y = , (4)
gdzie v p jest multiplikatywnym składnikiem zakłócaj cym w okresie prognozowanym, natomiast g(x p )
jest nielosow i nieobserwowan funkcj prognozuj c zmienn y w okresie prognozowanym p .
Funkcj t definiujemy nast puj co:
b
g
(
x
)
v
p
p
x
g
(
x
)
=
e
,
(5)
p
p
gdzie:
p = - wektor wierszowy zmiennych prognozuj cych.
Model zmiennej prognozowanej y , zdefiniowany w (4) i (5), po obustronnym zlogarytmowaniu
przedstawia si nast puj co:
x
[
1
x
x
.
.
.
x
]
p
1
p
2
pk
ln
y
=
ln
g
(
x
)
+
ln
v
=
x
b
+
u
,
(6)
p
p
p
p
p
gdzie zakłócenie logarytmu zmiennej prognozowanej jest równe:
Ä
Ô
y
Å
Æ
Õ
Ö
p
u
=
ln
v
=
ln
y
-
x
b
=
ln
y
-
ln
g
(
x
)
=
ln
.
(7)
p
p
p
p
p
p
g
(
x
)
p
W wietle powy szego wzgl dne zakłócenie zmiennej prognozowanej wynosi:
1
793423504.024.png
y
p
-
x
b
v
=
=
y
e
(8)
p
p
p
g
(
x
)
p
Z powy szego wynika, e wzgl dne zakłócenie zmiennej prognozowanej okre la udział zmiennej
prognozowanej w funkcji prognozuj cej.
Przyj cie zało enia o stało ci parametrów strukturalnych i parametrów struktury
stochastycznej, równowa ne z uznaniem stabilno ci procesów ekonomicznych w czasie, oznacza, e
warto oczekiwana i wariancja składnika zakłócaj cego z okresu próbkowego jest równa warto ci
oczekiwanej i wariancji składnika zakłócaj cego w okresie prognozowanym:
)
2
u
2
u
N Ù (9)
Ponadto uznajemy brak autokorelacji w okresie próbkowym i okresie prognozowanym, co zapiszemy
nast puj co:
u
~
(
0
,
)
u
~
N
(
0
,
s
t
p
Eu
u
=
0
(10)
t
p
W nakre lonych warunkach stwierdzamy, e:
E
ln
y
=
E
(
x
b
+
u
)
=
x
b
=
ln
g
(
x
)
.
(11)
p
p
p
p
p
Tym samym otrzymujemy:
E
ln
y
x
b
g
(
x
)
=
e
=
e
(12)
p
p
p
Oznacza to, e przy przyj tych zało eniach:
·
logarytm funkcji prognozuj cej ln g(x p ) wyznacza zbiór punktów b d cych warunkowymi
rednimi arytmetycznymi logarytmu zmiennej prognozowanej,
·
funkcja prognozuj ca g(x p ) wyznacza zbiór punktów b d cych warunkowymi rednimi
geometrycznymi zmiennej prognozowanej.
f(lny p )
f(y p )
lny p
y p
x n+1
x n+1
x n+2
x n+2
Dy(x p )
My(x p )
Elny p =lng(x p )
Ey(x p )
gdzie: My(x p ) = g(x p )
Ey(x p ) = g(x p )exp(0,5 2 u )
Dy(x p ) = g(x p )exp(- 2 u )
x n+j
x n+j
Rys. 1 Obraz graficzny prognostycznego modelu multiplikatywnego w wersji pierwotnej
i zlinearyzowanej – przypadek modelu wykładniczego:
y p =g(x p )v p ln y p =lng(x p )+u p ,
gdzie:
g(x p )=exp(b 0 +b 1 x p ) lng(x p )=b 0 +b 1 x p ,
u p = lnv p , u p ~ N(0, 2 u )
Warunkow prognoz zmiennej y dokona mo emy na podstawie predyktora o nast puj cej postaci:
ˆ
x
ˆ
=
e
,
(13)
p
p
gdzie:
ˆ
T
-
1
T
=
(
X
X
)
X
y
(14)
2
793423504.025.png 793423504.026.png 793423504.027.png 793423504.001.png 793423504.002.png 793423504.003.png 793423504.004.png 793423504.005.png 793423504.006.png 793423504.007.png 793423504.008.png 793423504.009.png
 
jest estymatorem MNK parametrów strukturalnych postaci zlinearyzowanej modelu (1) zapisanej w
(3). Z tych te wzgl dów wyra enie (13) nazwiemy predyktorem MNK. Powy szy predyktor, po
obustronnym zlogarytmowaniu, zapiszemy nast puj co:
ˆ
ˆ
p = (15)
Uznaj c, i wyst puj cy w predyktorze estymator ma rozkład normalny, uznajemy jednocze nie, i
zlinearyzowany predyktor (15) ma równie rozkład normalny a tym samym predyktor (13) ma rozkład
logarytmiczno-normalny. Zauwa my, e funkcja (13) jest warunkowym predyktorem zmiennej
prognozowanej y p na poziomie redniej geometrycznej (mediany), jako e:
)
ln
x
p
ˆ
E
ln
=
E
ln
y
=
x
b
=
ln
g
(
x
,
(16)
p
p
p
p
a st d:
ˆ
E
ln
E
ln
y
x
b
== . (17)
Tym samym mo emy uzna , e predyktor MNK zdefiniowany w (15) jest nieobci onym
predyktorem zmiennej prognozowanej zdefiniowanej w (4) w tym sensie , i rednia
geometryczna predyktora jest równa redniej geometrycznej zmiennej prognozowanej (por.: [13]
s. 36-37 oraz [2]).
Na podstawie (6) i (13) definiujemy bł d prognozy dla postaci logarytmiczno-liniowej modelu
multiplikatywnego w nast puj cy sposób:
e
e
e
=
g
(
x
)
p
p
p
p
ˆ
ˆ
-= . (18)
Bł d prognozy składa si z dwóch cz ci. Pierwsza cz okre la bł d estymacji parametrów za
pomoc estymatora MNK. Druga cz bł du prognozy odzwierciedla pomini cie w predyktorze
przyszłych zakłóce losowych. Zauwa my, e przy przyj tych zało eniach warto rednia bł du
prognozy postaci logarytmicznej modelu jest równa:
f
ln
y
ln
ˆ
=
x
b
+
u
-
x
=
x
(
b
-
)
+
u
p
p
p
p
p
p
p
p
ˆ
ˆ
Ef
=
x
E
(
b
-
)
+
E
ln
v
=
x
E
(
b
-
)
+
Eu
=
0
(19)
p
p
p
p
p
a jego wariancja wyra a si wzorem:
2
Ç
×
y
p
2
p
2
2
2
2
ˆ
,
(20)
Ef
:
s
=
E
(ln
y
-
ln
)
=
E
ln
=
s
+
s
È
É
Ø
Ù
ˆ
f
(
p
)
p
p
ln
v
ln
(
p
)
ˆ
È
Ø
p
W
powy szym
wyra eniu
wyró niamy
obok
wariancji
składnika
zakłócaj cego
postaci
( 2 lnv ),
zlinearyzowanej
modelu
multiplikatywnego
wariancj
predyktora,
któr
definiujemy
nast puj co:
2
Ç
×
y
ˆ
p
2
ˆ
2
2
T
p
s
=
E
(ln
y
-
E
ln
)
=
E
[ln
y
-
ln
g
(
x
)]
=
E
ln
=
x
S
(
)
x
,
(21)
È
Ø
ˆ
ln
(
p
)
p
p
p
p
p
g
(
x
)
É
Ù
p
gdzie:
ˆ
2
T
-
1
= sS (22)
jest macierz kowariancji estymatorów MNK parametrów strukturalnych modelu. Niebci onym
estymatorem powy szej macierzy jest nast puj ca funkcja stochastyczna:
1
(
)
(
X
X
)
ln
v
ˆ
ˆ
2
T
-
ˆ
S
(
)
= s
(
X
X
)
(23)
ln
v
w której nast puj ce wyra enie:
(
1
) 2
ˆ
2
ˆ
s
=
ln
y
-
ln
(24)
ln
v
t
t
n
-
(
k
+
1
)
jest nieobci on statystyk wariancji składnika losowego ( 2 lnv ).
Wykorzystuj c powy sze zdefiniowania jeste my w stanie okre li nieobci on statystyk
wariancji predykcji (20) w nast puj cy sposób:
2
E
2
p
2
2
:
s
ˆ
=
s
ˆ
+
s
ˆ
(25)
f
(
p
)
ln
v
ln
ˆ
(
p
)
gdzie wyra enie:
ˆ
ˆ
ˆ
2
T
p
s
=
x
S
(
)
x
(26)
ln
ˆ
(
p
)
p
jest nieobci on statystyk wariancji predyktora zdefiniowanego w (21).
3
793423504.010.png 793423504.011.png
 
Zauwa my, e pierwiastkuj c wyra enie (20) wyznaczamy bł d standardowy prognozy, co
zapiszemy nast puj co:
-= (27)
Z kolei nieobci on ocen powy ej zdefiniowanego bł du standardowego prognozy jest
dodatni pierwiastek wyra enia (25):
2
ˆ
2
2
2
s
E
(ln
y
ln
)
=
s
+
s
f
(
p
)
p
p
ln
v
ln
ˆ
(
p
)
2
ˆ
ˆ
ˆ
(28)
s
=
s
+
s
ˆ
f
(
p
)
ln
v
ln
(
p
)
2. Wzgl dny i absolutny przedział ufno ci prognozy dla modelu multiplikatywnego
Je li utrzymamy zało enie o normalno ci rozkładu składnika losowego u t =lnv t oraz o jego
stabilno ci w okresie prognozowanym p , to automatycznie uznajemy, i bł d prognozy f p -
zdefiniowany w (18) – jest funkcj zmiennej losowej o rozkładzie normalnym. Oznacza to e
nast puj ce wyra enie:
ˆ
ln
y
-
ln
p
p
(29)
s
f
(
p
)
ma standaryzowany rozkład normalny N(0,1). Tym samym nast puj ca statystyka:
ˆ
ln
y
-
ln
p
ˆ
p
(30)
s
f
(
p
)
ma rozkład t-Studenta o n-(k+1) stopniach swobody.
Wykorzystuj c wła ciwo ci powy szego wyra enia zdefiniowa mo emy w nast puj cy
sposób przedział ufno ci:
Ç
ˆ
×
ln
y
-
ln
p
p
P
-
t
£
£
t
=
1
-
a
,
(31)
È
Ø
a
/
2
a
/
2
ˆ
s
É
Ù
f
(
p
)
gdzie t /2 jest odczytan z tablic rozkładu t-Studenta, przy n-(k+1) stopniach swobody dla ustalonego
poziomu istotno ci , warto ci krytyczn . Wyra enie (31) przekształci mo emy do nast puj cej
postaci:
Ç
×
y
p
ˆ
ˆ
P
-
t
×
s
£
ln
£
t
×
s
=
1
-
a
(32)
È
Ø
a
/
2
f
(
p
)
a
/
2
f
(
p
)
ˆ
É
Ù
p
Antylogarytmuj c wyra enie w nawiasie, wyznaczamy przedział ufno ci dla wzgl dnego bł du
prognozy. W konsekwencji, w uj ciu procentowym, otrzymujemy nast puj ce wyra enie:
Ç
×
y
-
t
×
s
ˆ
t
×
s
ˆ
p
P
e
×
100
%
£
×
100
%
£
e
×
100
%
=
1
-
a
(33)
È
a
/
2
f
(
p
)
a
/
2
f
(
p
)
Ø
ˆ
É
Ù
p
Na podstawie powy szego powiemy, e z prawdopodobie stwem 1- udział zmiennej prognozowanej
w prognozie mie ci si w wyznaczonym w nawiasie przedziale.
Na podstawie (33) jeste my w stanie wyznaczy przedział ufno ci dla absolutnego bł du
prognozy:
-
t
×
s
ˆ
t
×
s
ˆ
(34)
Z powy szego wynika, e z prawdopodobie stwem 1- zmienna prognozowana odchyla si od
prognozy w wyznaczonym w nawiasie przedziale.
Celem zilustrowania procedury wnioskowania o wzgl dnych i absolutnych przedziałach
ufno ci prognoz, posłu my si przykładem zaczerpni tym z podr cznika Theila ([21] s.: 121-154).
Rozwa any tam przykład dotyczy zwi zku przyczynowo-skutkowego pomi dzy konsumpcj
tekstyliów ( y t ) a dochodem realnym ludno ci ( x t1 ) i cen realn tekstyliów ( x t2 ) w USA w latach 1923-
1939. Zmienne zostały uj te w postaci indeksów, których podstaw ustalono na poziomie 1925r. =
100 . Rozwa any przez Theila model w postaci wyj ciowej miał nast puj c posta multiplikatywn :
P
[
ˆ
×
e
£
y
£
ˆ
×
e
]
=
1
-
a
a
/
2
f
(
p
)
a
/
2
f
(
p
)
p
p
p
b
1
b
y
=
B
×
x
×
x
×
v
(35)
1
2
t
0
t
t
2
t
4
793423504.012.png 793423504.013.png 793423504.014.png 793423504.015.png 793423504.016.png 793423504.017.png 793423504.018.png 793423504.019.png 793423504.020.png 793423504.021.png 793423504.022.png
Powy szy model po obustronnym zlogarytmowaniu zapiszemy nast puj co 1 :
)
(36)
ln
y
=
b
+
b
ln
x
+
b
ln
x
+
u
,
(
b
=
ln
B
),
(
u
=
ln
v
t
0
1
t
2
2
t
2
t
0
0
t
t
Oszacowana posta modelu przedstawia si nast puj co:
ˆ
ln
=
3
,
16
+
1
143
ln
x
-
0
,
829
ln
x
(37)
t
t
2
t
2
(
0
,
705
)
(
0
,
156
)
(
0
,
036
)
Pod ocenami parametrów zamieszczono bł dy standardowe szacunku. Ponadto model charakteryzował
si nast puj cymi wła ciwo ciami:
·
R 2 = 0,9744
współczynnik determinacji:
·
statystyka Durbina-Watsona:
DW = 1,9267
ˆ
·
odchylenie standardowe:
s
=
0
,
03118
ln
v
·
nieobci ona ocena macierzy kowariancji estymatorów parametrów strukturalnych:
0
,
4967
-
0
,
1074
0
,
000175
Ç
×
È
É
Ø
Ù
ˆ
ˆ
T
-
1
ˆ
S
(
)
=
l s
(
X
X
)
=
-
0
,
107
0
,
0243
-
0
,
00125
v
È
Ø
0
,
0000175
-
0
,
00125
0
,
001304
Zauwa my, e warto ci empiryczne statystyk t-Studenta wynosz odpowiednio:
ˆ
ˆ
t
=
/
s
=
3
,
16
/
0
,
705
=
4
,
49
0
0
b
0
ˆ
t
=
/
s
ˆ
=
1
143
/
0
,
156
=
7
,
33
1
1
b
1
ˆ
t
=
/
s
ˆ
=
-
0
,
829
/
0
,
036
=
-
22
,
95
2
2
b
2
Z powy szego wynika, e analizowane parametry uzna mo na za statystycznie istotnie ró ni ce si
od zera , tym samym zmienne wyst puj ce przy tych parametrach uznane mog by za statystycznie
istotnie oddziaływuj ce na zmienn obja nian .
Na podstawie bł du standardowego reszt szacujemy miary przeci tnego wzgl dnego
rozproszenia warto ci rzeczywistych w stosunku do ich warto ci teoretycznych:
-
s
ˆ
-
0
,
03118
v
=
e
=
e
=
0
,
969
ln
v
d
ˆ
s
0
,
03118
v
=
e
=
e
=
1
032
ln
v
g
Na podstawie powy szych miar powiemy, e w sensie standardowym przeci tny udział warto ci
rzeczywistych (obserwowanych) zmiennej y t w jej warto ciach teoretycznych, ustalonych na poziomie
rednich geometrycznych, waha si w granicach od 96,9% do 103,2%. Tym samym w sensie
standardowym warto ci zmiennej obja nianej odchylaj si od warto ci teoretycznych rednio
wprzedziale od -3,1% do do 3,2%.
Zauwa my, e parametry wyst puj ce przy zmiennych x t1 i x t2 s odpowiednio
elastyczno ciami dochodowymi i cenowymi konsumpcji wyrobów tekstylnych. Na podstawie ocen
tych parametrów powiemy, e:
· w warunkach stało ci pozostałych zmiennych, wzrost realnych dochodów ludno ci ( x t1 ) 0 1%
prowadził do wzrostu konsumpcji wyrobów tekstylnych przeci tnie 1,143% z przeci tnym bł dem
0,156%,
· w warunkach stało ci pozostałych zmiennych, wzrost cen realnych wyrobów tekstylnych ( x t2 ) o
1% prowadził do spadku konsumpcji wyrobów tekstylnych przeci tnie o 0,829% z przeci tnym
bł dem 0,036%.
W swoim podr czniku Theil (por.: [21] s. 153], w oparciu o oszacowany model, rozwa ał
prognoz warunkow konsumpcji uznaj c, e w okresie prognozowanym (p) zmienne prognozuj ce
przyjm warto ci: x p1 = 105 oraz x p2 = 65 . Oznacza to, e wektor wierszowy zmiennych
prognozuj cych dla postaci zlinearyzowanej modelu multiplikatywnego jest odpowiednio równy:
]
x
=
[
1
ln
x
ln
x
]
=
[
1
ln
105
ln
65
]
=
[
1
4
,
654
4
,
174
p
p
1
p
2
1 W swoim podr czniku Theil posługiwał si logarytmami dziesi tnymi (por.[21] s.:134-135). W niniejszy
opracowaniu posłu ono si logarytmami naturalnymi, co ułatwia proces wnioskowania o rozpatrywanych
rednich geometrycznych. Warto zaznaczy , e na skutek zastosowanego zabiegu zmiany podstaw logarytmów
zmieniła si jedynie ocena parametru wyrazu wolnego. Wraz z t zmian uległy jednocze nie zmianie elementy
z pierwszego wiersza i pierwszej kolumny macierzy kowariancji. Zmiany te jednak nie wpłyn ły na warto ci
statystyk t-Studenta oraz wielko prognoz oraz na ich absolutne i wzgl dne bł dy.
5
793423504.023.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin