zadania_test.pdf

1.Niechf n (x)=nsin x 3n ,n2N.Ci¡gfunkcyjny(f n ) n2N :

(a) jestzbie»nypunktowodofunkcjif(x)= x 3 nazbiorze[−3,1]iniejestzbie»nyjednostajnie

dotejfunkcjinatymzbiorze.

(b) jestzbie»nyjednostajniedofunkcjif(x)= x 3 nazbiorze[−2,2].

(d) niemagranicyjednostajnejnazbiorze[−2,2].

(e) niemagranicypunktowejnazbiorzeR.

2.Niechf n (x)= n p x,n2N.Ci¡gfunkcyjny(f n ) n2N :

(a) jestzbie»nypunktowodofunkcjif(x)=1nazbiorze[1,2]aleniejestzbie»nyjednostajnie

dofna[0,1].

(b) jestzbie»nyjednostajniedofunkcji

0dlax=0

f(x)=

1dlax2(0,1] nazbiorze[0,1].

3.Niechf n (x)= n 2 x 3 +2x

1+n 2 x 2 ,n2N.

(a) Ci¡gfunkcyjny(f 0 n ) n2N jestzbie»nypunktowonazbiorzeR.

(b) lim

n!1

dx f n (x)= d dx (lim

n!1 f n (x)).

4.Danyjestszereg

1 P

x n .

n=1

(a) Szeregtenjestzbie»nynazbiorze[0, 1 2 ].

(b)SumaStegoszeregunazbiorze[0, 1 2 ]okre±lonajestwzorem

S(x)= .

(c)Wyrazytegoszeregumo»nacałkowa¢"wyrazpowyrazie"nazbiorze[0, 1 2 ].

5. Przedziałemzbie»no±ciszeregu

1 P

2 n n! jest[−2,2].

n=1

6. Pochodnakierunkowafunkcjif(x,y)=lnxcosywpunkciex 0 =(1,)wkierunkuwektora

h=[2,−3]jestrównaln.

7.Pochodnakierunkowafunkcjif(x,y)= p x+ywpunkciex 0 =(4,5)wkierunkuwektorah=[1,−1]

jestrówna... .

(2n)!x n

8. Ró»niczkazupełnafunkcjif(x,y)=x y wpunkciex 0 =(1,4)przydx=0.08,dy=−0.04jest

równa1,32.

9.Pochodnacz¡stkowafunkcjif:f(x,y,z)=cos(x 2 +y 2 +z 2 )wzgl¦demzmiennejywpunkciex 0 =

(1,0,−1)jestrówna @f

10. Pochodn¡funkcjif(x,y)=2xy+x 2 wpunkcie(2,1)jestoperatorT:R 2 !Rokre±lonywzorem:

T(x,y)=6x+4y.

@y (x 0 )= .........